1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Мы будел! сна. чала искать д(х,у), затем р(х,у) как сопряженную с ней функцию. И, на. конец, из равенства (1) определится р(я). Итак, попробуем найти в)(х, у) Из определения индекса Ф пары (а(я), Ь(я)) видно, что при движении . точки по единичной окружности против часовой стрелки после обхода всей окружности вектор обойдет окружность Ф раз.
Сле. а (я) + 1Ь (я) )' а' (я) + Ьв (я) довательно, д(х,у)[г (это просто аргумент указанного вектора) полу- ' чит приращение 2п1т1. Тем самым, при И~О д(х, у) даже на границе круга не является однозначной функцией, и наше построение функции . ся(х, у)+ф(х, у) незаконно. Чтобы построить функцию а (х, у) + 1р (х, у), нам придется отка.'", заться от требования, чтобы у этой фундции внутри круга не было ° нулей и полюсов. Заметим, что аналитическая функция (х+1у)а прв, обходе аргументом единичной окружности тоже увеличивает свой аргу-,' мент на 2п1т1.
Следовательно, после того, как аргумент з изменится '.- от О до 2п, аргумент функции а (я) + 1Ь (я) 1 а (я) + 1Ь (я) ! 'Р ая(я)+Ья(я) '(я+1Р)х [хя !уянл Р"ая+Ья сояАГя+1я!п А!я возвращается к первоначальному значению, Поэтому этот аргумент, ' определяется однозначно. Приняв эти значения аргумента ва граничные") знзчения функции в) (х, у), построим внутри круга аналитическуюгх функцию р (х, у) +!в7(х, у). Построение аналитической функции по граничным значениям ее мнимой части полностью аналогично восстановлению аналитической функции по граничным значениям ее действиями тельной части, так как — 1(р+1в))=д — 1р.
Произвольную постоянную'я действительной части р фиксируем каким-либо определенным образом. в Тем самым мы построили аналитическую внутри круга функцию" еРРР ю+'я<" Р>, которую мы обозначим пя(х, у)+ф,(х, у). На границе круга [сяя (х, у)+ ф, (х, у) [г = е Р'" Р'+'Я'" ю [г = Р < „„! а (я) + 1Ь (я) 1 г Ров(я)+ЬЯ(я) (х+1Р)М ~г' Следовательно, функция а (х, у) + ф (х, у) = [а, (х, у) + ф, (х, у) [ (х+ 1у)п на границе круга равна евьв '!1 ()+ () .
Множитель р(я) = а (я) + 1Ь (я) 'У Я(я)+Ьв(я) ' ев~ Р ~г называется регулярпзпрующвгм множителем. ' Р'ав (я)+ЬЯ (я) При достаточно гладких функциях а(я) и Ь(я) функция ая(х, у)+ + фя (х, у) будет дважды непрерывно дифференцируемой вплоть до 273 зАЦАчА ГильвеРТА в кРуГе а 24! (Из рзссмотрения способа построения функций р(х, у) )- +. ( у) в е 2 видно, что для этого достаточно, чтобы а(8) и Ь(8) были четырежды непРеРывно дифференцируемы.) .)17х,у в Приступим к доказательству сформулированной выше теоремы, П ть М ) О, В этом слУчае постРоеннаЯ аналитическаЯ фУнкциЯ а(х, У) ) 1р(х, у) имеет внутри круга единственный нуль порядка М в нзчал начале координзт.
Построим аналитическую в круге и непрерывную вплоть до границы функцию У(х, у)+Ю(х, у) по граничным значениям ее действительной части: Р (з) / (а) У(соз 8, 5)п8) =. Тогда фУнкциа и(х, У)+/в (х, У)=(а+1Р)(У+1Р) является иском функцией. Действительно, она по построению аналитична в круге и непрерывна вплоть до границы. Кроме того, она удовлетворяет граничному условию.
Действительно, Ри + Р" э " (" У) + ~з (л У) ) р (8) / (8) а' + $)а /г а (х, у) -)- ф (х, я) )г ( ' У) )г аз ( ) ) ра (8). Следовательно, пи+))о)г=р(8)/(8). Существование решения при М~О доказано. Исследуем теперь вопрос о его единственности (а точнее, о степени неединственности). Ясно, что решение задачи Гильберта (как и решение любой линейной зздачи) определяется с точностью до произвольного решения однородной задачи. Итак, пусть и(х, у)+1о(х, у) †решен однородной задачи: (аи+Ьо))У=О, а, следовательно, и (аи+))в)(Г=О.
Поэтому функция У+1)г= —.= — +1— и+па аз+ба пз — Ри а+Ф мз+))а м'+р' имеет вещественную часть У, обращающуюся в нуль на границе круга. Так как а(х, у)+1п(х, у) регулярна внутри круга, а а(х, у)+1Р(х, у) имеег в начале координат нуль кратности М, то функция У(х, у)+ +1Г(х, у) имеет в начале координат полюс порядка не выше чем М, Мы найдем сейчас общий вид аналитической функции У+1)г, имеющей в начале координат полюс кратности не выше М и такой, что У(х, у)=О на окружности х'+у'=1. Пусть У+1)г имеет в центре круга полюс с главной частью: УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 1гл. Пт Нетрудно проверить, что полипом ($» — п)») (х+ (у) " имеет вещественную часть, принимающую на границе те же значения что и вещественная часть главной части. Поэтому функция »- — ! Ф+ Р(г=' Я [(я»+ (т)») (х+ (У)» — (ь» — п)») (х+ (У) «] имеет вещественную часть, обращающуюся на границе в нуль, и ту же главную часть, что и (т + 1К Следовательно, ((т'+ г 'у') — (Ф+ (Чг) ограничена, и вещественная часть равности принимает на границе нулевые значения.
Отсюда с) — Ф=О, (г — 1(г=С*=сопзй Итак, У+Ю=1С" + 'Я [(й»+(т]»)(х+(у)» — (й» вЂ”.1»)»)(х+(у) "]. С другой стороны, постоянрые $», т]» могут быть выбраны произвольно. ", Функция У+1)г будет при этом аналитической с нулевой вещественной':. частью на окружности и с полюсом порядка не выше М в центре. Это,:. решение зависит от 2М+ 1 постоянных Мы показали, что при М)0 решение задачи Гильберта определяется' с точностью до 2М+ 1 линейно независимых решений однородной:.
задачи. (Почему они линейно независимыг) Рассмотрим теперь случай Лг~0. Пусть п(х, у)+(е(х, у) — решение задачи Гильберта. Так как построенная выше функция а(х, у)+ +1[)(х, у) имеет полюс порядка ]М! в начале координат, то функция у(х, у)+Ю(х, у) = "(х' у)+'," (х' ") а(х, у)+1б(х, у) имеет нуль в начале координат кратности не меньшей чем !М! Граничные значения вещественной части У(х, у) равны аи+ ВР а»+ Р«г ) . Пусть коэффициенты Фурье этой функции равны а„и Ь„. р (») г (х) Ранее, в й 7, было показано, что коэффициенты ряда Тейлора функции У+Ы=~ +а~~+~~~'+ " (~=~+(У) 275 ЗАДАЧА ГНЛЬБЕРТА В КРУГЕ и! пределя еляются по формулам ~.— —,+(С вЂ” (Ь, (л О) днозначн начно с точностью до постоянной С.
Так как первые (М! коэффииентов тов обРашзютса в нУль, то это означает, что все коэффициенты „а Тейлора функции У+1)l (а значит, и сама функция) определяются „означно по граничному условию. Следовательно, и+(о=(У+1)2) Х (со+(р) определяется однозначно. Итак, мы доказали, что при Ь((0 „е существует более одного решения задачи, и если задача разрешима, то ао — — а,=а,= ... =а,л~ т=Ь,=Ьв= '=Ь|л( 2=0. С другой стороны, если эти условия выполнены, то построенная функция У+1)г имеет нУль в начале кооРдннат поРЯдка не ниже чем )М( (постоянную С в соотношении (3) полагаем равной нулю).
Тогда функция и+(о=(а+(р)(У+1Ъ') аналитична в круге и, по построению У, удовлетворяет граничным условиям. Записав явные выражения для коэффициентов Фурье, получим необходимые и достзточные условия разрешимости задачи Гильберта: 25 1(5) (), 1, совлвд5=0 (Л=О, 1, 2, ...> )М( — 1), о +,() з(плзв15=0 (л=1, 2, ..., (М( — 1). 1 (5) о Обозначив в)п Ав сов(А5 — (Ф(з) ~ ~) (А( +1 2 ( ((1 1) мы можем, переписав эти равенства в виде ~У(5)гов(5)г(5=0, А=1, 2, ..., 2(М( — 1, о сказать, что для разрешимости задачи Гильберта при М(0 необходимо и достаточно, чтобы правая часть Г (5) была ортогональна к 2(М( — 1-- мерному пространству функций, являющихся линейными комбинациями врт, гов, ..., фв,л, т, (Вопрос: почему функции ф между собой линейно незазисимыг) Теорема полностью доказана., В заключении рассмотрим одну задачу для уравнения Лапласа, тесно связанную с зздачей Гильберта.
276 УРАЗНИННИ ЛАПЛАСА !гл, гп Задача с косоИ произв одной. Найти реьяение ~р(х,у) уравкения Лапласа — + — =0 непрерывное вплоть до граница вместе дьр д р дхь дуа с первыми производными и удовлетворяюгцее граничному условию: д~Р ! д~р — ~ =з(в).
Здесь — означает производную по некоторому направлед |г д нию ч. Если обозначить направляющие косинусы этого направления через а(в), — Ь(з), то граничное условие перепишется следующим образом: а(в) — — Ь(в) — =г(в). д~р дя! дх др Положим и=~р,п= — ~р . Очевидно, что и„= — и . Кроме того, и„— и„= =(!Р»)» — ( — ф„)„=ф»»+ф У=О. Мы выиснилн, что и(х, У), п(х, У) связаны условиями Коши — Римана. Функция и+ 1и — аналитическая.
Граничное условие аф„— Ь<р '=,г перепишется для этой аналитической функции так: Таким образом, каждому решению задачи с косой производной соответствует решение задачи Гильберта по формулам и=у„, и= — <р . Обратно, по решению задачи Гильберта можно однозначно, с точностью до произвольной аддитивной постоянной, определить решение !р задачи с косой производной. Таким обрззом, в случае единичного круга было доказано следующее: если индекс граничного условия д!) О, то по доказанной теореме задача Гильберта, а с ней и задача с косой производной всегда разрешимы.
При этом функция ф определяется с точностью до 2Д(+ 2 линейно независимых решениИ однородной задачи (одна произвольная пос-- тоянная появляется при переходе от и, и к <р). Если же индекс !Уч О, то для разрешимости задачи необходимо и достаточно выполнения 2!!У) — 1 условия, и решение у определяется с точностью до одной произвольной постоянной.
В качестве примера можно рассмотреть так называемую вадачу Неймана †частн случай задачи с косой производной, когда направление у совпадает с нормалью. Для круга в этом случае а(з)=созе, Ь(з)= = — и!пв и, следовательно, индекс равен — 1. Условие разрешимости, как это вытекает из теоремы (и из разобранного ранее примера 2), записывается в виде ) у(з)г(з =О. Решение задачи Неймана определяется о с точностью до произвольной аддитивной постоянной. На етом мы заканчивзем изучение задачи Гильберта. Сделаем лишь еще одно терминологическое замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
