1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Аналогично, область 0=0тл()0,, будет удовлетворять условию разрешимости, если при любой непрерывной на сс()бои граничной функции существует отвечающее ей непрерывное решение зздачи Дирихле в О. Теорема. Если система областей О,, О,, О, удовлетворяет критерию Шварца и если для областей О,л, Оя, выполнено услови ио (х, У) на От Ц о Ц 6; Решению задачи )АВРихле в О,л еа(х У)= с граничными условиями оо! ца=.у(з)=ио(х,У)( ць па Ь =ив(х У) Ь В дальнейшем последовательные приближения и„(х, у), о„(х, у) будут строиться следующим образом: о„т (х, у) на О, Ц а Ц о; решению задачи Дирихле в 0~ я с граничными условиями и„(„— ц,=у(з)=е„д(х, у) („— „,, ин1г=ои-т(х У)!г и„(х, у)= и„(х, у) на О, Ц а Ц у; решению задачи )Аирихле в Оал с граничными условиями ое!.Оь=.у(з) =и.
(х У) !.ца ~.!а=~.(~ УЙь ен(х, у)= Ойевидно, что каждая из функций и„(х, у), о„(х, у) по построению является непрерывной в О и принимает на границе значения г(з). Мы докажем, что последовательность иа оо ин оо и„..., о„;, им оа, аа.и рзвномерно сходится. Отсюда будет следовать, что ее предел будет непрерывной функцией, принимающей на а Ц 6 Ц о заданные значения Д(з). Легко показать, что этот предел будет в О функцией гармонической. )(ействительно, возьмем в 0 какую-либо внутреннюю точку (хы уа).
Эта точка будет внутренней хотя бы для одной из областей 0~ м Оа а. Рассмотрим, для определенности, случай (хм уа) ~ Охл Последовательность а 221 метод шВАРцА 261 разреги азрегиилгости, то вто условие выполнено и для составной области 0=0,л Ц Оа,з. доказательство. Пусть на ссЦ6Цо задана непрерывная граничная функция у(Ъ). Пусть я(х, у) — какая-либо непрерывная в 0 функция, равная у(з) на границе аЦ6 Цо. Мы сейчас опишем итерационный процесс, который, отправляясь от начального приближения й(х, у), приведет нас к решению задачи )Аирихле. Положим ио(х, У)=к(х, У) и определим ев(х, У) следующим образом: (гл. Рн УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА Ьо(» у) ис(х, у), ..., ип(х, у), ... гармонических в 01 о функций тоже РавномеРно сходитсЯ в О, о к томУ же пРеделУ как подпоследовательность сходяшейся последовательности.
По первой теореме Гарнака ее предел будет гармонической в О, а функцией, Если бы (х, у ) Е О, .„, то, аналогично, надо было бы выделить подпоследовательность и„ ес, по,... и установить гармоничность ее предела. Мы видны, что для обоснования условия разрешимости задачи Дирихле в О достаточно установить равномерную сходимость последовательности ио во инес имом" ° Переходя к этому исследованию сходимости, отметим, что ССР— ип 1 —— (л = 2, 3, 4,...) е -1 — пп-а на Оо()а0а; гармонической в Оь о функции, равной О на со)) а и равной Е 1 — Ппаиау; ип — ип; на О,оаоб; гзРмонической В О, о фУнкции, равной О на 86()о и Равной и — ип, на Р.
Пп Пп — 1 (п=1, 2, 3,...) Обозначим ап= таХ (и„(Х, у) — ип 1(Х, у) (, (п,у) е о Ьп= шах )е„(х, у) — пп,(х, у)/. (и у) Е ) Из выполнения критерия Шварца мы выводим следуюшие утверждения: а„( 8ЬР;, Ьп ( 8ап. Отсюда ип(8 а 1(8 — ао, о(п о) Ьп~(8 по (л) 2). Очевидно, что нз принципа максимума для решения задачи Дирихле следуют неравенства: ( и„ (х, У) — и ;(х, У)~ ~ Ь„ ; ~ сопя( 81", (е„(х, у) — пп 1(х, у)/ ( а„ =.Сопя(81"; (х,у)~0, п=2, 3, 4, ... Равномерная сходимость последовательностей ио и1 по ПО Ес ПО очевидна. Теперь заметим, что, начиная с п=1, функции еп — и„очевидно, будут гармоническими н непрерывными в каждой из областей МЕТОД ШВАРЦА 233 О, О, Оа и бУдУт Равны нУлю на внешней гРанице га()б() а.
Нз опРеделения очевидно также, что о„— и„=О на Од и на р, На дуге у функция п„по построению совпадает с о„дч Поэтому е„— и„на у равно о„— в„дч По принципу максимума (о„(х, У) — и (х У)~(шах~в„-и„!=шах!о„-в„д!=Ь„(сопа19а", т д Отсюда ясно, что составная последовательность им вм ыд, вд, ия, оя, . тоже равномерно сходится. Доказательство теоремы завершено. Оказывается, что принцип Шварца позволяет переносить на составные области не только разрешимость задачи Дирихле с непрерывными граничными значениями, но и выполнение принципз Дирихле.
Пусть непрерывная и кусочно гладкая функция л(х, у) имеет конечный интеграл Дирихле Ра(л)=Ра,(д)+Ра,(дг)+Ра,(А). Предположим также, что принцип Дирихле выполнен для каждой из областей Од „О а. Выполнение этого принципа означает, что для любой кусочно гладкой в О, функции в(х, у) и для гармонической там же функции и(х, у), совпадающей с о на границе 1д()а()б, справедливо неравенство Ра,, (и) ~ Рад, (и). В частности, для последовательности функций и„, о участвовавших в доказательстве предыдущей теоремы, Ра,л(и„)(Ра (в„-д), л=1, 2, 3, ...
Отметим еще, что на Оа и„=о„д и поэтому Рад (ил) ~ Ра, (и -д). Объединяя два последние утверждения, имеем: Ра(и„)(Ра(о„-д), л=1, 2, 3, Аналогично, предполагай выполнение принципа Дирихле для О,а, мы без труда установим неравенство Ра(в„)~(Ра(и„), л=О, 1, 2, 3, Так как иа(х, у)=3, мы убедились в том, что интеграл Дирихле любой из функций последовательности ио иа и» и» им ом ! не превышает Ра(й). 1д(ы знаем, что это последовательность равномерно сходится к гармонической в области 0 функции и(х, у), совпадающей с л(х, у) на границе этой области.
Докажем, что Ра(и)«=Ра(л). Достаточно установить неравенство Р и, и н, и н, (и) = Рн, (и) + Рн, (и) + Рад, (и) ( Ра (и) 254 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 1гл. »и для любых внутренних подобластей Н» областей О» (Н,с-О„Н,С:.О, Н, -Оз) и воспользоваться затем равенством Оа (и) = зпрк и,ц и» ц и,(п). Внутри каждой из подобластей Н, последовательность »»м ем пз ог ам т»з является последовательностью гармонических функций, равномерно сходящихся вместе со своими первыми производными. (Вспомните теорему Гарнака и теорему о сходимости производных у равномерно сходящихся гармонических последовательностей.) Поэтому Пи,ци,ци,(п)=1(ш Ри,ци,ци„(пз) С другой стороны, Пи,ци,ци,(пз)» Оа(»»з)» Оа(з»).
На этом мы заканчиваем доказательство неравенства Ра(п)» Па(л). По теореме единственности решения задачи Дирихле функция»»(х, у) определяется по граничным значениям у(х, у)!. ц з ц. однозначно. Ее существование следует из доказанной теоремы о разрешимости задачи Дирихле в 0=0,()0 ()Оз. Функция, совпадающая с л(к, у) на границе а1.1 6 () а и имеющая интеграл Дирихле, равный 0о (и), единственна. Это было доказано в прошлом параграфе. Перечисленные сейчас факты составляют содержание принципа Дирихле для составной области О.
Итак, мы показали, что из критерия Шварца для Од, 0„0, из разрешимости задачи Дирихле для О» з, О, з и из выполнения принципа Дирихле для О, з, О, з следует разрешимость задачи Дирихле и выполнение принципа Дирихле для составной области 0=0,,00, з Прежде чем воспользоваться этими фактами, сделаем несколько замечаний относительно проведенного доказательства. В этой доказательстве нам было совсем не существенно, чтобы области были односвязными, а кзждая из дуг границы а, )), у, 6, а связной, Каждая из них может состоять из нескольких различных дуг, как это, например, изображено на рис.
61. На этом рисунке двусвязный многоугольник От()0зЦОз мы рассекли двумя параллельными прямыми 1)(х=О) и у(х=1/2) на несколько частей. Части О," и О,'з' мы считаем составляющими область О». Части Оз»', Оз", О',»' образуют область 0 л). Границы сз, 6 состоят каждая из трех ломаных сз», сзз, аз; би 6„6. Гра- ') Под областью обычно понимается открытое связное множество, так что, строго говоря, 6, н 6» не являются областями.
Однако нам при рассмотрении этого примера будет удобно, немного отклонившись от общепринятых определ ннй, называть 6» и 6» областями. 256 метод шваацл „нца о разбивается на шесть различных частей. На каждой из прямоли„йныя границ р, у должно рассматриваться по три отрезка; на рис, 62 бражены области Ом 0„0„расположенные так, что дуга о вообше Рис. 6!. отсутствует. Покажем, что облзсти, изображенные на рис.
61, удов- летворяют критерию Шварца. 2 Рассмотрим гармоническую функцию — (х+ 2), неотрицательную 5 в 0,() О, и равную 1 на у(х=1/2). Неотрицательность этой функции следует из того, что вся наша фигура расположена в полосе — 2» х» 2, как это видно из рисунка. Очевидно, что для любой непре- р л д у д, б рывной гармонической функции, не большей 1 на у и равной нулю на а() а, из принципа максимума следует неравенство (х, у)» — (х+2). 2 Рис. 62 Если мы знаем, что п(х, у) не меньше — 1 на у и равна нулю на а() о, то аналогично мы можем написать: и (х, у) --- — (х+ 2), 2 266 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 1гл. Иг Отсюда ясно, что если (п!~1 на Т и если и=О на сг() о, то при 2 4 х=О, т.
е. на ~3, имеет место неравенство (гг)( — (х+2)= —, Точно 5' таким же способом, с помощью гармонической функции 1 — х/2, поло жительной в ОАО О, и равной единице на р(х/ 6), показывается, что любая гармоническая функция, не превышающая 1 по модулю на () и равная нулю на б () о, удовлетворяет на у(х = 1/2) неравенству ( и ~ (3/4. Мы видим, что в рассматриваемом случае критерий Шварца выполнен, . если за 0 выбрать =5= щах(4, б) Если бы мы имели обоснование разрешимости задачи Лирихле н принципа Лирихле для односвязных областей О'," () Ояп Ц Ояям () ~)г () ()э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
