1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Дело в том, что из рассуждений Римана не следовало существование функции и(х, у), на которой достигается нижняя грань Р(и). Риман не сумел найти ответ на критику Вейерштрасса. Только через 32 года Гильберт сумел построить корректное обоснование принципа Дирихле. Так как идеология вариационных методов имеет чрезвычайно важные и многочисленные приложения, мы не можем обойти ее стороной. Нзчнем наше обсуждение с пояснений критики Вейерштрасса. Разберем пример вариационной задачи, для ко»порой не сущеслгвуелт функции, дающей минимум функционала Р(и).
Пусть и=О на границе круга ха+уз=1. Потребуем еще, чтобы и(0, 0)=1. Рассмотрим всевозможные кусочно гладкие функции и(х,у), удовлетворяющие сформулированным ограниченйям, и для каждой нз них вычислим интеграл Днрихле Р(и). Постараемся оценить нижнюю грань Р(и). Для этого введем полярные координаты х=гсозць у= = гз!п<р и определим функции и,(г, !р) (0<6<1) равенством 246 хвлвнвнне лапласа !гл гн Вычислим 0,(иь): 2«1 ' "»-) ) [Ф' ФФ'! ""- 2 1п« вЂ” 6 д 1⻠— ы б Ясно, что 0(иь)-ьО при 6-эО. Очевидно, что гй = —, 2п 1 1п— Ь иь(х, у)!«»+у» — !=О, гц(0» 0)=1, т.
е. пь(х, у) допустимы в нашей задаче. С другой стороны, мы показали, что 0(иг)-«0 при 6-ьО. Отсюда ясно, что !п! 0(и) ~ !и! 0(иг) = О. Из неотрнцательности 0(и) вытекает равенство 1п! 0 (и)'= О. Однако ни на одной допустимой функции зта нижняя грань не достигается. В самом деле, если Кг Ед ) +(дй) 1 «»+э» < ! то !!=сопя!, но постоянная не может принимать различных значений в центре круга и на окружности.
1 Тот же самый пример последовательности функций !иь) 6= 2, 1 1 —, ..., —, .„может играть еще одну роль. Он представляет собой интересный пример последовательности функций, принимающих на границе круга нулевые значения и имеющих интеграл Дирихле, стремящийся к нулю. Замечательно, что сами эти функции к нулю равномерно не сходятся, несмотря на то, что функция и(х, у)=0 является здесь экстремальной.
Мы видим, что даже в случае, когда экстремальная функция существует, минимизирующая последовательность можегп н ней не сходитьсж Есть еше одна трудность в вариационном подходе к задаче Дирихле. Выше был построен пример непрерывной на границе круга функции, которая не может быть продолжена внутрь круга так, чгобы иметь там конечный интеграл Дирихле (пример Адамара). Ясно, что для граничной функции Адамара нельзя решать задачу Дирихле с помощью вариационного принципа: Поэтому мы накладываем на граничную у(О) следующее ограничение: существует в области 0 непрерывная вплоть до границы, гладкая, или кусочно гладнат вюгиюдионнып поинцип днонхлв 4 сн функция о(х, у), имеющая конечныд интеграл Дирихле 0а(и) и инимающая на границе 0 значения Г(ьс). Только такие Г(Я), допускающие продолжение в 0 с конечным интегралом Дирихле, будут нами рассматриваться.
Только для них будет доказана разрешимость задачи Дирихле, да и то не для всех областей. 'Гак, нзпример, область, представляющая собой единичный круг с выколотым центром, не является допустимой. Рассмотренный нами пример функций ис(х, у) привел нас к выводу, что не для всякой допустимой непрерывной граничной функции существует продолжение с минимальным интегралом Дирихле. Функция 1 при х=О, у=О, ,Г(х, У)(г = О при ха+уз=! может считаться непрерывной функцией нз границе. Мы видели, что она допускает непрерывное продолжение внутрь области с как угодно малым интегралом Дирихле.
Непрерывная же функция с нулевым интегралом Дирихле, по необходимости,— константа и наших краевых значений принимать не может. Предположим теперь, что для некоторой области и для некоторой граничной функции Г(з) нам удалось построить такое продолжение и(х, у) внутрь 0 этой у(з) (и(г=г), что 0а(и) конечен и равен нижней грани !п( 0а(«) интегралов Дирихле функций «(х, у), удовлетворяющих граничному условию «(г=.г" (через 0а'(«) мы обозначили интеграл Дирихле от «(х, у) по области О).
Мы покажем, что такое экстремальное гладкое продолжение и(х, у) единственно. Пусть 0а (и) = 0а (о) = с! = )п ( 0а («), сс(г =о(г = у Докажем равенство 0а ( — ~ = — 0а (и) + — 0а (о) — — 0а (и — о). /и+о ! 1 1 1 2 ~ 2 2 4 Для этого достзточно сделать элементарные преобразования подынтег- рального выражении: ! Гд(а — о) Ы ! Гд(и — о) !яС 1 1 1 — — — — ') '(с(х с(у = — 0а (и)+ — 0а (о) — -0а (и — и). 4~ дх ! 4~ до ) ) 2 2 4 1гл.
Ун 2248 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА Из доказанного равенства и из неравенства 1 1 1 вытекает, что й( — й+ — й — 4 тго(и — в). Отсюда Йо (и — е)= (( ((» — и )я+ (иг — в„)а) йхйу ( О. а Таким образом, и — и=сопя(. На границе и — и=О. Равенство и — ив : О всюду в О доказано. Применение этой теоремы единственности экстремальной функции к случаю круговой области завершает для этой области обоснование принципа Дирихле. Повторим формулировку принципа в этом случае: Если у(гр) — непрерывная функция, допускающая хотя бы одно непрерывное кусочно гладкое продолжение К(р, ~р)' (й(р, Ф)=у(ф)) внутрь круга О«=р(К с конечным интегралом Дирихле Ол(д), то существует среди таких продолжений единственное гладкое продолжение и(р, ф) такое, что с)п(гт)=й, где й — нижняя грань интегралов Дирихле для таких продолжений.
Продолжение и(р, 1р) является гармонической в круге функцией, решающей задачу Ди- ихле р и(тс, <р)=Яр). В предыдущем параграфе мы показали, что уравнение Лапласа и интеграл Дирихле инвариантны относительно обратимых конформных преобразований х=х($, Ч), $=$(х, у), У=У(9 Ч) Ч=Ч(х У) независимых переменных. Отсюда вытекает, что если некоторая замкнутая область О+ Г может быть непрерывно и конформно отображена на круг, то мы можем ручаться, что задача Дирихле с непрерывнымн грзничными значениями для области разрешимз.
В чзстности, отсюда вытекает Рис. 59. разрешимость зздачи Дирихле для областей, изображенных нз рис. 59, т. е. для кругового сектора или для луночек, ограниченных дугами окружностей. В теории функций комплексного переменного приводятся простые формулы для отображений этих областей на единичный круг. Для всех этих областей справедлив и принцип Дирихле. Действи тельно, пусть à — граница О, и~У=~.
Г(окажем, что По(и) ~По(й), 249 МЕТОД ШВАРЦА 5 221 где в — какая угодно кусочно гладкая функция, определеннзя в 0 и принимающая те же самые граничные значения, что и и(х, у) (й'(г=у). П сть равенства У х=х(й, т!), у=у(~, )) определяют конформное отображение круга К($2+ч)2 ( 1[ на О. При этом и [х($, т!), У(в, т))1 — гаРмоническаЯ фУнкциЯ ог $, 2), и !2»+ .
=у[хЯ, т!), у(я, В)). Очевидно, что функция у(й,'т!)=и[х($, т!), у(й, т!)1 принимает на окружности $2+т!2=1 те же граничные значения, что и и [х(ь, т)), у(ь т!)3 В силу инвариантностн интеграла дирихле Ра (и) = Рк [и [х (я, т!), у (я, т!)и, Ра(й)=РкЫ[х(е ьЧ) у(е ьт!)Ц а в силу принципа Дирихле для круга Рк[д[х(й т!)„уЯ, т))Н ) Рк(и[х(й, т!), у($, 2)))[. Поэтому Ро(й))Ро(и).
Наше доказательство единственности экстремальной функции годится для произвольных областей, в том числе и для рассматриваемых сейчас. !«!ы заканчиваем на этом обоснование принципа Дирихле и разрешимости задачи Дирихле для всех областей, которые элементарными конформными преобразованиями могут быть непрерывно (вместе с границей) отображены на круг.
В частности, принцип Дирихле и разрешимость задачи Дирихле обосновзны для сектдра и луночек, изобрамгенных на рис, 59. В следующем параграфе будет изучен альтернирующий метод Шварца, с помощью которого нам удастся распространить теоремы о разрешимости задачи Дирихле и о применимости принципа Дирихле на любые многоугольники. Если воспользоваться теоремой о том, что всякую односвязную область со спрямляемой грзницей, содержащей не менее двух точек, можно непрерывно и конформно отобразить на круг, то после некоторого уточнения формулировок нетрудно обосновать рззрешимость задачи Дирихле и принцип Дирихле.
Однзко мы не будем пользоваться этой теоремой о конформных отображениях, так как ее доказательство в аккуратной формулировке, которая нас бы удовлетворяла, совсем не так просто. $ 22. йбетод Шварца Альтернирующий метод Шварца доказательства существования решения задачи Дирихле для составных областей. Критерий Шварца. Формулировка теоремы и ее доказательство. Использование метода Шварца для обоснования принципа Дирихле. Пример получения теоремы существования решения задачи Дирихле и принципа Дирихле в неодносвязном многоугольнике. Проверка критерия Шззрца с помощью геометрического «условия луночки». Схема доказательства принципа Дирихле и разрешимости задачи Дирихле для любых миогоугельиых областей.
250 !гл. Еп УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА В этом парзгрзфе будет рассмотрен альтернирующий метод Шварца решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в составных областях. Предположим, что область 0 разбивается на три части 0„ Оя, Оа так, как это показано на рис. 60. Обозначим теоретико-множественную сумму областей О, и О, вместе с их общей границей !) через О,я. Аналогично обозначим Оя,а= О,() Оа () у, где () означает знак объединения. Граница облзсти О,, состоит из дуг А а, у и о. Предположим, что для ча.
Ю стнчных областей О, я и Оя, рззрешима задача Днрихле с любыми непрерывными граничными значений, р ями. Нашей целью будет формулировка условия на области 0„ О„ С О,, при котором из разрешимосги Рнс. 60. задачи Дирихле для частичных об- ластей От я и Оа а будет вытекать ее разрешимость для всей обласгн О. Сначала мы сформулируем этот критерий в той форме, в какой он нужен для проведения доказательства существования, но из которой, на первый взгляд, совсем не видно эффективного способа проверки, выполнен ли он для конкретно задзнных геометрически областей. В дальнейшем будут указаны простые геометрически наглядные досгаточные условия выполнения нашего критерия. Критерий Шварца.
Мы будем говорить, что система областей О,, Оя, Оа с граничными дугами а, р, у, 6, а удовлетворяет критерию Шварца, если выполнены следующие два условия: 1. Любая гармоническая в О,л, непрерывная в О,л функция, равная нулю на а() и и не превышающая по абсолютной величине! на у, всюду на дуге р не превосходит по модулю некоторого 0 ( 1. 2. Любая гармоническая в Отм непрерывная в Оя, функция, равная нулю на 6() о и не превышающая по абсолютной величине 1 на 6, всюду на дуге у не превосходит по модулю 9(1.
В этом критерии предполагается, что постоянная 8 может быть выбрана для данной системы областей О» О, Ог раз и навсегда и, следовательно, она не зависит от рзссматриваемой непрерывной гармонической функции. (Напомним, что знак черты над множеством означает замыкание этого множества.) Будем говорить, что область Одл (О,л) удовлетворяет условию разрешимости, если при любой непрерывной на а о у() о (6 () 6 () и) граничной функции существует отвечаюнгее ей непрерывное решение задачи Дирихле в О,л (О,,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
