1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Система уравнений акустики имеет вид ди 1 др — + — — =О, ро дх до 1 др — + — — =О, дг ро ду дсо ! др — + — — =О, дг р, дг др, /ди до сто! — + роси ~ — + — + — ~ = О. дС ~дх ду дг) Если исключить из этих уравнений скорости, то мы получим для давления р волновое 'уравнение Пусть при т= О нзм известно распределение р (х, у, х, 0)=р, (х, у, х); и,(х, у, г), оо(х, у, г), тр (х, у, х). Вычислим р, !с, с помощью последнего из уравнений нашей системы: , с'дио доо дсоо! Рс!с-о = — Рого ! — + — + — ) . 'еперь мы можем применить формулу Кирхгофа и найти р(х,у, х, с) всюду внутри той области, которая определяется теоремой единственности.
Распределение скоростей может быть после этого определено интегрированием по т (при фиксированных х, у, х) производных от ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ !ГЛ. П давления: и(х, у, г, 1)=гг(х, у, г, 0) — — ' ' ' с(т, 1 Р др(х, у, г, т) ро ~ дх п(х, у, г, 1)=п(х, у, г, 0) — — 1 ' ' ' с(т, 1 С др(х, у, г, т) р3 ду 0 те(х, у, г, 1)=ш(х,у, г, 0) — — 1 ' ' ' с1т. 1 Рдр(х,у,г,т) р, д дг о Мы показали, что формула Кирхгофа позволяет построить решение за-,".
дачи Коши для уравнений распространения звуковых волн. В сферически симметричном случае давление р надо считать функцией только от радиуса г = Ггх'+у'+ гг, а вектор скоровти считать направленным г вдоль радиуса-вектора х и=и,— г о=ив у г г г та=и —, г Дифференциальные уравнения для р, а, пишутся так: ди, 1 др — '+ — — =О, дг ро дг др рос, од — + — — (г и)=0, дт го дг г Мы ограничимся только тем, что приведем эти уравнения, не выводя их из ранее выписанной трехмерной системы. В дальнейшем мы будем опускать значок г у радиальной компоненты скорости и„и записывать нашу систему так: ди 1 др — + — — =О, дг ро дг др ~ Рого д (гои) 0 дт + го дг Дифференцируя второе из этих уравнений по Ф и подставляя в резульди тат — из первого, мы приходим к волновому уравнению для давления дт обшее решение которого имеет вид р= ) (г-со!)+у (с+сот) ВОЛНОВОЕ ХРДВНЕННЕ. ООПМКЛД КНПХГООД а !в! функция у отвечает волне, расходящейся от центра, а функция л — волне сходящейся.- Как мы уже отмечали, из формулы Кирхгофа следует, что если начальное возмущение было задано только в конечной области г ( й, то зона, где Р отлично от нуля е), будет иметь кзк задний, так и передний фронты и в нашем случае будет заключена в /з-окрестности «конуса» г — с (= О, т.
е. в области †/з ( г — свг ( /о. Поэтому естественно предполагать, что для достаточно больших 8 (на самом деле при 1) /з/со) решение будет описываться формулой Р= 1 (г оо0 с функцией /(г — со(), отличной от нуля лишь для.— /в(г — со((/ь 3 а д а ч а. докажите зто утверждение аккуратно, определив 1, д из начальнык условий (р (г, О) = Ро(г), Рг (г, О) = р, (г)): 1 (г) + л (г) = гро (г), — со/' (г)+соя' (г) = грт (г) ~ и из условия регулярности решения в центре (при г,= О). ди ! др Из уравнения — + — — =0 видно, что в вонах г — с 1) /г, г — со(( д( р, дг= о ( — /г, в которых давление постоянно, скорость и не зависит от вре. мени и, следовательно, иожет быть записана как и(г).
Из второго уравнения звуковой системы др р,с, 'д (гои) дт го дг следует, что в,этих зонах гаго=сопя!=т (лв — постоянная). По физическому смыслу рогзи является количеством .газа, протеказмцим за единицу времени через сечение с=сопя!. Так как через сечение г=О поток отсутствует (в центре нет ни источника, ни стока для газа), то гл= гзи= 0 внУтРи области с ) /т/со, г — со( ( — /з.
В области же г — со()/т равенство и=О вытекает из теоремы единственности. В самом деле, до точек этой области возмущение из зоны 1=0, г(/о не Успевает дойти, а всюду вне этой зоны мы задавали начальные данные Р=О, и=О, которым соответствует нулевое решение.
По теореме единственности другого решения нет. Если 1(г-со0 о то 1 др 1'(г — соб 1 (г — себ Ро дг Ро' Рог' ) Через р мы обозначаем разность между возмущенным давлением и давле""ем в состоянии покоя, 212 1гл и ГИПЕРбОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ откуда, интегрируя по ! равенство — + — — =О, получзем ди 1 др дг Ро дг г а — ом цо о $ [ Р а- оа ~( — о!а, /г-'а) ~ .
$ гамаа Рог Рога 1 Раоог Раоог~ г — А При этом интегрировании мы воспользовались тем, что при г — со(=(а Мы еше знаем, что п=0, р=0 при г — са(= — )ь Отсюда 0 = — — —, г'(ВЩ, О 1 Расо г Рагог~ л т. е. ~ Д$)и$=0. — л Мы видим, что г(е), а следовательно, и давление р должны обязательно принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Мы показали, что сферическая РФ волна сжатия должна обязательно '. сопровождаться волной разрежения. Пусть график г(Е) имеет вид, а изображенный на рис. 52. Мы показали, что площади верхней и нижней полуволн совпадают. В графике же давления Рис. 52. ! (. †г) р = ' (для некоторого г фиксированного Г) передняя полуволна должна иметь меньшую площадь, 1 чем задняя (так как для задней — больше). г Отметим еше очевидный из формулы р(г, 1)= ~( г факт, состоящий в том, что амплитуда волны давления убывает обратно пропорционально пройденному ей расстоянию. формула р(г, г)=, описывающая сходящуюся волну, удовлед (г+ сот) г творяющую волновому уравнению, позволяет построить следующий, важный в теоретическом отношении, пример.
Положим (0, если «(1 — с(, е (г+ со!) = ( (г+са( — 1)Чь если г) 1 — с,с 213 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. ФОРМУЛА КИРХГОФА '! 1 Соответствующее решение, регулярное для 1( —, в момент 1 =— гь гь превращается в т, е. в функцию, не имеющую в точке х=О, у=О, г=О вторых производных Ф»» Фхи Ф»» Исследованием формулы Кирхгофа нетрудно убедиться, что для того чтобы решение было дважды непрерывно дифференцируемым, достаточно, чтобы начальная фуяяцггя Ф, была трижды ыелрврызяо дифференцируелга, а Ф,— дважды непрерывно дифференцггруема. В нашем примере Фь имеет только две, а Ф, одну непрерывные производные.
Исследованием аналогичных формул для л-мерного пространствз было установлено, что от начальных данных для уравнения достаточно требовать непрерывности всех производных до порядка Н п1 — 1! +2. (Для случая Л=1 мы уже отмечали, что число непрерыв- 2) ных производных в начальных данных должно быть равно 2.) Примеры, аналогичные разобранному, показывают, что эти требования нельзя ослабить. Сделаем еше одно замечзние об установившейся терминологии. Выражения типа 1 —, ~ ~ Фь(х+сь!з!пдсозф, у+с»1з!Ебз!пф, з+ е о +с»1созв)с1!з з!Еб бй йр= ~ ~ ь!"+цг' "+Об +т'1 бз г ьы обычно называются запаздывающими потенциалами.
Основанием для этого названия является то обстоятельство, что такой интеграл совпадает с ньютоновским потенциалом зарядов, распределенных по сфере радиуса г с поверхностной плотностью Ф Я 1). Для определения решения в момент ВРемени !ь «потЕнциалы» нУжно вычислЯть по значениЯм РешениЯ и Его производной по 1 в начальный момент вРемени 1 =О на сфеРе РадиУса сз1». Вто отставание по времени используемой «плотности заряда» привело тому, что «потенциал» называется запаздываюшим. У нас запаэдываюший потенциал вызывается поверхностным распределением «зарядов».
В литературе термин чаще используется для 215 ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ 9 19] иметь на решениях исходной системы: ~ ~ ~ра ( й + дл)+Р~4 с* дс + д )] бхг(~+ г о + ~ (р и~р+ гг ф) г(х = О. 9 Г=о По предложению С. Л. Соболева, обобщенным решением называются такие р, и, что для них последнее тождество выполнено при любых гладких и финитных гр, 9р.
В этом определении нужно еще р ~ р=б оговорить, какому классу должны принадлежать функции р,и (измеримы, (с =т интегрируемы с квадратом...), но мы на этом останавливаться не будем. б Х Постараемся придать интегральному тождеству, лежащему в основе определения обобщенного решения, Рис. 53. некоторый наглядный смысл. Будем пока предполагать, что ф = О, и рассматривать тождество ~ ~ ~ряи ф+рф1б~ с(г+,~ретро=О. Г 9 Г-9 Рассмотрим некоторую специальную функцию ф(х, г), устроенную следующим образом. Пусть <р(х, 1)=1 внутри некоторого гладкого замкнутого контура у на плоскости х, 1 и а9(х, 1)=О вне другого, охватывающего у, контура у'(рис.
53). Мы будем предполагать, что контуры у и у' огранибп чивают некоторую замкнутую полоску, внутри которой <р(х, 1) плавно спадает г,~ от единицы до нуля. Если предполагать эту полоску очень узкой, то двойной б х интеграл по верхней полуплоскости (он Рис. 54. очевидно равен интегралу только по верх- ней, заштрихованной на рисунке, части полоски у, у') можно будег приближенно вычислить при помощи ~ледующего простого соображения. Внут19и узкой полоски можно предвдол полагать, что градиент ~р(х, Г) направлен по нормали к у и что р и, р 9 доль отрезка этой нормали, лежащей внутри у, у', почти постоянны. 216 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.
С! Интегрирование по полоске можно выполнять (рис. 54) как интегрирование по нормали к тс (дифференциал ссл) и вдоль )с (дифференциал Ыз): $ ~Рои лт +Р л ) с(и= $(рссиис+Ри) ~ д„с(и т (Роиис+Ри ) ~ д„с(и=(Р иис+Ри~)( 1)= Ра +Рона» (ис, л„ вЂ компонен единичного вектора нормали к )с, зв ㄠ†компонен единичного, касательного к у, вектора); т' [ ~ (Ро д~ +Р лд) сои]вса ~ (Ром໠— Рас)оса= од льт т щдоль С р и стх — р сс'г'. ьдоль С Поэтому равенство ~ ~ ~Рои лс +Р л - ~ сс» сто+ ~ РоисРсо» = с о с-о может быть приближенно записано в виде контурного интегрального равенства $роиасх — рсВ=О вдоль верхней (1) О) части контура у и замыкаюшего эту часть отрезка АВ оси х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
