1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В разобранном нами случае двух независимых переменных существуют; более элементарные способы доказывать теорему существования посрзвненню с тем, который мы выбрали. Наш выбор метода интегралов; энергии и простейших условий компактности был обусловлен тем, что '. идея этого метода допускает для симметрических гиперболических си- ' стем перенесение на случай большего числа пространственных переменных. Наиболее удобные и поэтому наиболее употребительные условия ~ компактности функций носят название «теоремы вложения С Л. Соболевз». '„ 8 18.
Волновое уравнение. Формула Кирхгофа Задача Коши и теорема единственности для волнового уравнения. Формула . решения задачи Коши в случае одного пространственного переменного. Вывод-" формулы Кирхгофа для решения в случае трех пространственных переменных. ' Обоснование этой формулы. Метод спуска и получение формулы Пуассона для .' решения двумерного волнового уравнения. Сводка формул для одномерного, дву- . мерного и трехмерного пространств.
Лакуна в области зависимости в трехмерном . случае. Резкий передний и задний фронты от возмущения в ограниченной области. а Другая ситуация в случаях одного и двух измерений. Диффузия волн. Сферическн ', симметричная звуковая волна. Необходимая гладкость начальных данных. Запаздывающие потенциалы. Мы не будем в нашем курсе изучать общие теоремы существования ' гиперболических уравнений с двумя или тремя пространственными перемен- ' ными. Мы ограничимся лишь тем, что построим явные формулы для" решения одного гиперболического уравнения второго порядка с посто. янными коэффициентами.
К этому уравнению, обычно называемому вол. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕННЕ ФОРМУЛА КНРХГОФА ь 1а1 новым уравнением, сводятся многие физические задачи. Волновое уравнение в случае одной, двух или трех пространственных переменных записывается так: дооп, доц1 = со —, да дхо Изучение волнового урзвнения мы начнем с теоремы единственности, доказзтельство и формулировку которой мы приведем только в случае двух пространственных переменных х, у. Повторение этого доказательства с соответствующим изменением формулировки для одной или трех пространственных переменных может служить полезным и несложным упражнением. Задача Коши для волнового уравнения ставится так.
В неко~арой области А) плоскости 1=0 задаются в качестве начальных данных Ф11-о=Фа(х у) Ф1(1 о=Фа(х, у). Нас интересует, в какой области пространства х, у, Е эти данные определяют единственное решение. Уравнение характеристической поверхности ф (х, у, т)=сопят для волнового уравнения ф) — ео(ф +фо)=0 имеет в точности такой же вид, как и уравнение характеристик для системы, описывающей распространение звука. Поэтому мы имеем основание надеяться, что граница области единственности будет как для ВОЛНОВОГО УРаВНЕНИЯ, таК Н ДЛЯ ЭтОй СИСТЕМЫ ОДИНаКОВа. 1чгЫ СЕЕЧаС подтвердим эти соображения доказательством. Область единственности мы 6Удем описывать как совокУпность всех точек (хо, УР ~о), 1о)0, для которых характеристический конус (х — хо)'+ (у — уо)' — ео (( — ~о)' = 0 пересекается с плоскостью г=0 по окружности (х хо) +(У Уо) =гого целиком лежащей, вместе с ограниченным ею кругом (х хо) + (У Уо) ~ сото в"утри области П.
Нам достаточно убедиться, что если при г=0 внутри круга (Х вЂ” хо) +(У вЂ” „Уо) (» еооо 198 1гл. и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ функции Ф,(х, у)=0, Фт(х, у)=0, то Ф = 0 внутри конуса (х хо) + (У Уо) '= со (г го) О~с~~о ' имеющего этот круг основанием. Для доказательства обозначим: дФ дФ дФ дГ " дк ' ду Очевидно, что этн функции р, и, о удовлетворяют уравнениям ди 'др дГ дк — + — =О, до др дг+ду — — О, 4 др , (ди до1 — +с',( — + — ~=0, дг 1дк дуг' которые совпадают с уравнениями распространения звука (р,=1). Из, условия Ф), о=О вытекает, что дФ! дФ ~ и) = — — ~ =0 о! = — — ! =О.
дк )г ' г о ду й о Условие же Ф,)г„о — — 0 перепишется как р(, о=О. Теперь мы можем уже воспользоваться теоремой единственности для; системы уравнений акустики и утяерждзть, что всюду внутри конуса ..! и= Ъ'=р=О или, что то же самое, Фк=Ф„=Фг — — О, т.е. что Ф=сопе(.. Так как Ф=О при 1=0, то Ф=О всюду внутри конуса. Доказательство", теоремы единственности для волнового уравнения закончено.
Прежде чем переходить к выводу формул для решения волнового';- уравнения в трехмерном пространстве, рассмотрим одну специальную краевую задачу для одномерного волнового уравнения. Пусть Ф(х, 1) — дважды непрерывно дифференцируемая при х)0, а)0 функция, удовлетворяющая в этом квадранте уравнению УФ о доФ со др дко ' начальным условиям Ф (х, 0)= <р (х), Ф,(х, 0) =ор(х) и граничному условию Ф(0, г)=0. Постараемся найти явную формулУ;. для функции Ф(х, Г). Для этого продолжим функцию Ф(х, Г) на об-с ласть х(0, С)0 нечетным образом: Ф( — х, Г)= — Ф(х, г).
Так построенная функция будет, очевидно, в силу граничного условна"; непрерывна вместе с первыми производными. Так как в силу уравненвя" % !8! ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. ФОРМУЛА КИРКГОФА 199 д' (О, !)= —,—,(О, г)=0, то функция Ф(х, !) будет дважды непредхо со ывно дифференцируема при ! )О. А в таком случае, как мы знаем (2 5), решение задачи Коши вада» ется формулой Даламбера х+од ф(х а)= ф(х ~о!)+ф( +соО -)- 1 ~ ф(р т~ 2 2со х — сао плесь ф и $ — функции, полученные из заданных на положительной полуоси ф(х) и ф(х) нечетным продолжением на всю ось х.
В дальнейшем нас будут интересовать значения решения при 0~ х» о соб Перепишем формулу в этом случае, учитывая, что ф (х — со!) = — ф (со! — х) »+со! сао+х фам= $ фа)(в+ 3 фа)(в= $ фа) в. сас — х х — сао В результате мы получаем формулу од+» ф(х !) 'Р(х+ оГ) — ф(о — ") ( ~ ффффф 2 2со сн-х которая нам скоро понадобится. А теперь перейдем к получению формулы для решения волнового урзвнения в трехмерном случае УФ,! УФ УФ УФ) ,! „( ) дго ~ дхо дуо дго ) с начальными условиями Ф(х, у, г, 0)=ф,(х, у, г), Ф,(х, у, г, 0)=ф,(х, у, «). решение будем считать достаточно гладким и попытаемся найти формулу, выражаюшую через начальные данные среднее от функции Ф по ~фере радиуса г с центром в точке (хо, у„ «,) ф(г а)а 4 о ~ ~ Ф(х У «!)~2зс.
зг 3 десь 8„— УказаннаЯ сфеРа, где точка (хо, Уо, го) бУдет фиксиРована до копна вывода формулы. Если перейти от интегрирования по сфере радиуса г к Внтегрированию по единичной сфере Юп то можно ззписать другое выражение для Ф(г, !). Ф (г, г) = 4 — ~ ~ Ф (х, + аг, ус+ рг, «, + уг, г) Йо.
за 200 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАЬНЕНИЯ игл. П ! Здесь р(ю= — аа(з,— элемент плошади единичной сферы, или телесный Га угол, под которым из точки (ха, уо, га) вилен элемент плошадки а(з; а, р, у †координа точки на единичной сфере. Если ввести сферические координаты са=з(п 8 сов <р, 0 =.8 =. и, (3 = з(п 8 ып <р, 0 ( <р ( 2п, у=сов 9, и учесть, что элемент плошади Ыю=ыпдйрпй, то получим еше одну форму записи для Ф(г, г): 2«а Ф (Г, г) — 4 — Ф (хо+ г з(п 8 соз гр, Уо+ + г ып 8 ып ~, г, + г соз 8, «) з(п 9 йр ра9.
Всеми этими тремя видами записи для функции Ф(г, г) мы будем в дальнейшем пользоваться. Формулу, представляюшую Ф(г, г) . череа начальные данные. Ф(х, у, г, 0)=Ф,(х, у, г), Ф,(х, у, г, 0)=Ф,(х, у, г), мы выведем,' выписав дифференциальное уравнение, которому Ф(г, г) удовлетворяет., Конечно, это уравнение тоже будет уравнением с частными производ-: ными, но его решение нам удастся свести к использованию полученного'.
нами варианта формулы Даламбера. Проинтегрируем волновое уравнение дла Ф(х, У, г, т) по шаРУ т),ЦХ вЂ” х,)'+(У вЂ” У,)'+(г — го)'( га]. Ии. теграл от левой части уравнения запишем в виде повторного (сначала по сфере зр радиуса р, ртзр — — раг(рйо, а затем по радиусу р), а к пра вой части применим формулу Гаусса — Остроградского Г (~ ~ дГ, рагрю~с(р=са ~ ~ (а — +)) — +у — )Нз,= / 5 СС (д =со ~д Ф(хо+сот уо+гнг га+уг а)1Г йо= а«+р«+у«1 =сот' (( Ф,(ха+аг, Уо+()Г* га+Уг, г)йо= ««+о«+1« — ~ =с«Г — ~ ~ Ф(ха+саг, уо+ра«Г, го+ уГ, «)йо= д ' ..+2«+т«=, =с';г' 4п — '- д«о (Г, 8 дг ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ.
ФОРМУЛА КИРХГОФА 201 Заметим еще, что Дифференцируя по г обе части равенства 4 д ао(Р 1) ( 4 Р ' Н дга Р саг н дг приходим после сокращения на 4тгга к уравнению Это уравнение описывает, между прочим, распространение сферически симметричных волн. Действительно, если Ф(х, у, г, 1) зависит лишь от г=)г(х — х,)'+(у — уа)а+(г — аа)а и от 1, то она совпадает со своим сферическим средним. Уравнение для Ф простой подстановкой Ф=Ф/г можно свести к стандартной форме одномерного волнового уравнения.
Действительно, дФ 1 дФ чт дг г дг га ' д а дФ дааа 1 дФ дФ даф — г' — =г + — — — =.г —, дг дг дга + дг дг ' дга ' откуда даав а даФ вЂ” =со— дм дга ' Функция Ф(г, 1), определенная при г)0, удовлетворяет при г=О граничному условию Ф(0, 1)=0 Ф(0, 1)=0. Легко выписать также начальные данные для Ф(г, 1) Ф(г, 0)=гФ(г, 0)= — ~ ~ Ф(х,у, г, 0)сЬ,= — ~ ~ Ф,(х, у, в)гЬ, 8 5 и аналогично Ф1(г О)— 1 Г г Ф-'"")"- 2 )а(а ~~ РР.а"а аале а*+а .1 1а — 1 аа+ур т)йо пр а даФ 1о, Г) 'а 20а ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ !гл,.
'! ' :!! Мы пришли, таким образом, к разобранной уже аадаче для однометсД ного волнового уравнения на полупрямой г.= 0 и можем выписа й формулу для ее решения. Правда, для полного обоснования нам на~~$ была бы проверить, что Ф(г, !) дважды непрерывно дифференцируаиД всюду в замкнутом квадранте, в том числе и при Г=О. Это нетрудна сделать, но необязательно. Все равно выведенную формулу придет~,д проверять, чтобы доказать теорему сушествования решения задачи Ком ф Ниже мы покажем, что функция Ф, определяемая по выведенной адес,) формуле, удовлетворяет волновому уравнению и начальным условиям. ~ Итак, для значений г(со! согласно формуле (1) имеем ссс+г Ф и (с+сот) ир (сот — г) + ! ~ . ое ~ ф сог — г где ф(Б)=Ф(Б, 0)=а— ~ ~ Фо(хс У* а) с(~! зе ф(ь)=Фс(ь, 0)= — $ $ Фт(х, у, «)с(ЮУ ! Теперь остается лишь заметить,' что Ф(х, у, ао, !)=Ф(0, !)= 1)ш — '= — (О, !)> и вычислить вту производную: л ~~ (о, !)= р'(,г)+ — ' р(,!).
Подставляя вместо функций ф и ф их выражения через начальные даи. нме, приходим к окончательной формуле для решения Ф(х, у, в, г), 'задачи Коши: оР......О--",— ~( о.( Ос*,] с)г! згИо то 'о) с=со! згИо то со) г=ссг — [л(,—, ~ Ф,с)4 —, ~ о,сф Эта формула носит название формулы Кирхгоййа. Здесь в обозначении. сферы 8, явно указаны координаты хо, у, ао ее центра. 203 волновов уравнение. эормрлл кнрхгофл сх, у, «) — любая точка из числа тех, для которых сфера 8 с пеликом ограниченным задания нача данных то м, нУ Ри той области, для ко ления реш доказана теорема единственности Правда в приведенном нами выводе мы исход ходили из того, что решение поставленной задачи существует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
