1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Естественно также, что левая граница ничем от правои не отличается. Если семейство сеточных функций удовлетворяет непрерывным начальным данным и граничным условиям с непрерывными коэффициентами и если эти сеточные функции подчиняются указанным выше неравенствам, обеспечивающим их компактность, то пределы сходящихся последовательностей таких функций (предварительно интерполированных) тоже будут удовлетворять тем же начальным и граничным условиям. ПУсть тепеРь' нам заданы два семеиства сеточных фУнкцин '(гггь'1 и (о,ь), связанных соотношениями иь ью — игь еи= а и удовлетворяющих неравенствам шах й У, 'и,'ь ( А, шах Ь Ч~ огь ( А, г ь ь ь ь Семейства проинтерполироззнчых функций (й), (д) будут при этом компактны.
Выбрав сходящуюся подпоследовательность функций (й), а из нее выделив подпоследозательность такую, чтобы соответствующие (ГЛ. И 1йо ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ б тоже сходились, мы построим предельные для этих подпоследователь- ностей функции и(х, ~), п(х, 1). Сейчас будет доказано, что е(х, й)= и одновременно установлено сушествование производной в правой части этого равенства.
Очевидно, что имеют место следующие цепочки равенств (хя) х,): й(х ~) — й(хт й)=й(~ — '1б 'П'т) — й(~» — '|Ь [ — ~т)+ (а~ +о()' +) б)= у' """' ""б+о(~' +~б)= "-% = ~ б(х, ~)йх+О(~х,— х,~уб)+О()/б)+О(~х,— х,~у'~С вЂ” )т~); х, Переходя к пределу при Ь, т-ьО, получаем для предельных функций и(х, Е), п(х, г): а(х„т) — и(х„1)= $ п(х, г)Ых. х~ Ясно, что это равенство можно продифференцировать по верхнему пределу. В результате этого дифференцирования как раз и получается доказываемое утверждение «-~"— '1-1 Х «-ф «-["— „'.~-~ ;.й+О (У т+)~ б); «-ф ! «1 ~«+ па пг«л= ~', ~ б(х, И)т(х+0((хя — хт~)%)= "-% хх ~ б (х, гт) Ых + О ( ! х, — х, ! 3/ Ь) + 0 (1 ' й) = й(х„1) — й(хт, Е)= ~ б(х, ~)их+0(Р' й+У т).
х1 теоРемА сяшестзоэлния РешениЯ смешлинои ВАдАчи !91 Замечание. Правые и левые разностные отношения и!,Ао! — и;о ига — иьо ! о!о= ' она= Ь ' А ди сходятся при д, т-ь0 к одному и тому же пределу —, если только к нему сходятся ооо (условия на разностные отношения, наложенные в предыдущем доказательстве, предполагаются выполненными и здесь).
доказательс~во следует из равенства для проинтерполированных функций: д(х, 1) — д(х, 1)=д(х, 1) — т!(х — й, 1)=0(3/ Ь~!. Предположим еще дополнительно, что разностные отношения иьци о — иоо по т удовлетворяют неравенствам шах й ~~ , 'ного «А, щах Ь,'~' ( '+! о "оо) «Вм о с граничными условиями П, = ит' а!унт У ко+! ло по= ~~ ()отит ! ! (1 1, 2,..., л,) при х=0, (1=л +1, ..., л) при х=1, Тогда можно выбрзть одновременно сходящуюся подпоследовательность сеточных функций (иоо(, (ооо), (гэ!А( и про их пределы и, о, мо утвержди ди ди дать, что о= †, и! = — . Равенство но= — доказывается совершенно д! ' ди так же, как было обосновано утверждение о= —. Мы не будем остадк' навливаться на повторении этого рассуждения.
Теперь мы закончили несколько громоздкое, хотя по существу очень элементарное, изучение сеточных функций и их пределов. Переходим собственно к теореме существования решений у гиперболических систем. Мы будем изучать в прямоугольнике 0«х«4, 0«1«Т систему уравнений д +ло(х' г) д + 7 и!!!и!=1! (1=1, 2, ..., ло), ди; ди! дг,ло(х г) — + 7 и!о!и!=..Г! (1=до+1 ° ° ° л) ремА сушестВОВАИНЯ РешениЯ смешАннОЙ 3АдАчи 193 $ !т! теОРемА предела сходяшевся подпоследовательности должны быть Поэтому для пр вып полнены равенства йо! !+.Х О вЂ” А=О ! илн, н, что то же самое, аи,. ди, д! — й! д +„~ т; У!=У!.
д! ' дх роа д н е начале парагРафа рассмотрения пок предельн редельные функции удовлетворяют начальным данным и граничным условиям. Р докааанную нами теоре при этом условия. 1. Область, где строится рещение, является прямоугольником 0(х -Е, О~!(Т. !!. Система уравнений дл! ди; — '+й! — !+л~ттооио=У! (1=1, 2, ..., и ), д! дх ! ди! ди! С! ~ — й! — + т тии,=Л (1=п,+1, ..., и), ! й! (х, !) ) О. Коэффициенты и правые части предполагаются достаточно гладкими.
1!1. Граничные условия на левой границе и!= г', а!!и! (1=1, 2„..., по) / хо+! на правой аранице' и,.= 'у; !)Оит (1=п,+1, ..., ). ! ! Здесь аот(!), Роу(!) — достаточно гладкие функции времени Граничные условия предполагаются диссипативными.
Это озна~ает, что "юбая функция, удовлетворяющая граничным условиям, удовлетворяет также и неравенствам ло — У, 'дои,'+ .~Ч, 'кои!(Π— на правой границе, ! ! ! ло+! л ло — дои!+ ~ кои) =-0 — на левой границе. ло+ ! о-! 7 С. К. гллтлол 194 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВИЕНИЯ [ГЛ. П 11с'. Начальные данные ис(х, 0)=срс(х) предполагаются достаточно гладкими и согласованными с граничными условиями вместе со своими производными достаточно высокого порядка.
'»с. ссрсс предпологкениях ! — 1Ч существует единственное решение поставленной задачи в прямоугольнике 0 =х =1., 0«1«с (единственность была доказана в в 14). Вля этого решения были получены оценки с постоянными, выражающимися через размеры прямоугольника, через коэффициенты уравнений и граничных условий, начальные данные и через производные этих функций достаточно высокого порядка. Вот эти оценки: ) и;! « сопя[, ! — « Сопя[, — ( « сопя[, дю ( '1 ( «соив[()с ~[„ — 1,! +)с !хд †Г) [»о с [. с. сс — — — ~«сопя[([сс[с! »я[+ [ ! "к! хв[)' [»ь с, [ис[х, [)~ Се ', ~ дгс[ Се ', — — — ! «В ~[„Са) (рс~ [а [ли сс [»,, сс — — ф~ («ПР„1,)(У'([, !»с, сс [»с, сс ф)«с.~, — [ ~ +'[с ~ ха — х! [) Экспоненциальная зависимость констант от времени следует из оценки для роста разностных «интегралов энергии», полученной в конце $15.
Сделаем несколько замечаний относительно доказанной теоремы и ее формулировки. 3 а меч ание 1. В формулировке пункта В! можно отказаться от требования диссипативности граничных условий. В случае, если грзнич- с ные условия имеют тзкой вид, как в пункте 111, то преобразованием неиз- « вестных ис[х, [) ма кно добиться выполнения условий дисснпативности.
Это преобразование приведет только к некоторому изменению констант в окончательных оценках. Если коэффициенты граничных условий и уравнений не зависят от времени с, то преобразовзние неизвестных функций также можно сделать не зависящим от времени. 3 а м е ч а н и'е 2. Если система с коэффициентами и граничными условиями, не зависящими от с, и с нулевыми правыми частями ~~=0 задана в области 0 «с < со, 0 «= х «1., то решение поставленной задачи существует для всех с ) 0 и удовлетворяет оценкам вида 4 п1 тзогимл сящвствовлния авшвния смвшлнноп задачи 19б (Постоянная М в этой оцвнке не зависит от;высоты по 1 прямоугольццка, так как мы предположили, что коэффициенты не зависят от 1.) Сделанное в этом замечзнии утверждение понадобится нам в дальнейшем в гл.
4 при построении теории метода Фурье и преобразования Лапласа. Замечание 3. Нами была доказана единственность решения задачи Коши для гиперболической системы. Эта задача требует только начальных данных. Граничные условия ей не нужны. Решение опреде. я~ется однозначно внутри характеристического треугольника, опирающегося иа отрезок оси х, где задаются начальные данные.
Этот треугольдх ник высекается характеристикой — „=7гг(х, 1) с наибольшим лп проходи дашей через левую границу отрезка, и характеристикой — =Аг(х, 1) с наименьшим А;(х, 8), проходящей через его правую границу. Коэффициенты йг(х, 1) системы диг ди~ с~ — '+й~(х, 1) — + ~~тын =А дт мы здесь не предполагаем строго положительными или отрицательными. Они могут даже менять знак. Мы сейчас покажем, как из нашей теоремы существования для граничной задачи вывести теорему существования решения задачи Коши внутри характеристического треугольника. Во-первых, покажем, что -можно ограничиться только случаем строго положительных наклонов характеристик )гг (х, 1).
Действительно, преобразование независимых переменных х' =х — а1, приводит систему к виду др +(а+А~) —,'+ ~~ тгаиа=уп диг ди; Ясно, что выбором достаточно большого положительного а можно добиться положительности наклонов характеристик Ии' —,=а+йп Рассмотрим систему с положительным наклоном характеристик внутри некоторого достаточно большого прямоугольника, содержащего характеристический треугольник (рис.
б1). Если система не была 'определена в этом прямоугольнике всюду, то мы ее доопределим, продолжив коэфФициенты и правые части произвольным достаточно гладким образом. 7* 196 1гл, и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Продолжим также начальные данные на все основание этого прямоугольника. Так как систему мы предполагаем с положительными йо то граничные условия нужно для нее задавать только на левой границе.
Зададим их опять-таки произвольно достаточно гладкими и согласованными с начальными данными. (В качестве граничных условий могут быть ааданы значения всех неизвестных функций гй на левой границе.) У такой расширенной задачи по доказанной теореме будет существовать решение. В частности, оно будет существовать и внутри характеристического треугольника.
По , й теореме единственности решение внутри Т этого треугольника не зависит от нашего Лиримивр~итинвиии произвола в продолжении уравнений, нашрвуеониии чальных и граничных условий. В нзшем доказательстве мы не сформулировали аккуратно предположений относительно коэффициентов н начальных данных (из которых следовала бы возможРис. 51. ность их гладкого продолжения) и не дали точного описания такого продолжения. Мы не будем останавливаться на этих тонкостях.' Этими замечаниями мы закончим наше обсуждение теоремы существования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
