1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 30
Текст из файла (страница 30)
л Мы приписываем под знаками суммы У,', ~, 'значок х, чтобы подл х черкнуть, что суммирование проводится по значениям той или иной величины, связанным с различными координатами х точек сетки. Мы обозначили также значения и">, л!в>, им>А>, />!с/а> в СамОП лЕвОИ и СамОй правой сеточных точках через и„„, /а„„а„р„, й„рем Нам кажется, что такие обозначения сделают дальнейшие рассуждения более наглядными. А!ля уравнения опенкА РешениЙ РАзностных РРАВнении 171 е и1 Напомним, что первая группа из этих уравнений (1=1, 2, ..., л,) свяегх яана с характеристиками положительного наклона „вЂ” =Аа)0, а вторая группа П=л, + 1, ..., и) — с характеристиками отрицательного наклона Ж вЂ” = — АР Это дает нам основание в дальнейшем пользоваться для обо- значения суммирования по 1 от 1 до ле сокращенным обозначением ~,'.
Под знаком суммы нарисована стрелка, направленная вправо. Аналое гично, вместо ~~ мы будем пользоваться более наглядным обознаГ=хе+1 чением ~~~. Знак У', обозначает суммирование по 1 от 1 до л, и по х, всем разностным точкам слоя 6=аут или г=(а)+1)т. Знак ~, 'поках, зызает, что суммировать надо по 1 от ив+1 до п и по всем точкам слоя, кроме самой правой.
Обозначение », 'будет указывать на суммих,г розание по всем точкам и по всем 1 от 1 до гь Стрелкз под знаком суммы у нас всегда напрзвлена в ту сторону, куда с ростом 1 сме- щаются характеристики римановых инвариантов пь входящих в сумму. Напишем для каждого из уравнений системы разностную схему так, как это было описано. Подчиним шаги т, А неравенству — „тахА;(1 и просуммируем по 1 неравенства для сумм квадратов сеточных функ- ций. Как выводится каждое из этих неравенств, мы подробно разбирали.
В результате суммирования получим: ~', д) + ~х ', л,г ( ~х~ и,'~- я иг + х, х, х, -«-'[ — ~а ~е~а;~1 ЕЯ~а;« — ~а«1 Е авра» .) аев +сопз1т~ ~' Дг+х» и1+ ~~' 3;+ ~' Ег). 1х, х. а х,г Мы подписзли здесь «прав», «лев» около тех квадратных скобок, величины внутри которых отйосятся к самой правой (х=Е) и к самой левой (х=0) сеточным точкам.
Неравенство 4 (сопз1(Я+~Ч ,'и~) ( позволяет избавиться от промежуточного в наших рассуждениях обозначения зь Пользуясь этим, мы будем в дальнейшем записывать гипй»волнчзскнй в»лзнйкнй 1га. О неравенство для сумм квадратов в следующей форме: 'У',а!+~' ае("~; и';+ 'Я' ие+ т ьЧ-1" !ьХ' л1 ьКХ""~-Х'"1 л» ° Леев +сопа1т~ ~а,*+~ ал+~Ч~~и,'+~~,у!). (1) кт х, Х.
! н,! Описанные нами построения позволяют определить величины и! во всех точках разностной сетки слоя д=-(!у+1)т, кроме тех и, в граничных точках, которые отвечают уходящим от грзницы характеристикам. Для определения этих неизвестных нам придется воспользоваться граничными условиями. Граничные условия и; = ~Ч ', сс!~иг (1= 1, 2, ..., и,) (на левой границе), и! — — ~~~~ ~)!уи~ (1=п,+1, и,+2, ..., п) (на правой границе) мы будем предполагать диссипативными.
Доопределим с помо!цью этих граничных условий недостающие нам а, в граничных точках: а! — — ~',ссе~ат (1==1, 2, ..., пь) (х=о), ал л~ !т!лал (1 пь+ 1 пв+ 2 и) (х ! ) В силу условия диссипативности (см. Э 13), будут выполнены следующие неравенства — 'у, 'аеа!+ ~ч', а!аг1 ( О, '1 1лрвв [ 'я а!а!' — ~ч', аеа;1 ~ о. .1лев Последовательно переходя от 1=0 к г=т, а затем к 1=2т, 1=3т и т. д., мы видим, что граничные условия, а следовательно,.
и условия диссипативности, будут выполнены на всех слоях 1= ут (!у=!, 2,...), за исключением начального слоя (!)=0). Мы будем требовать, чтибы начальные данные при 1=0 удовлетворяли граничным условиям. Если это требование удовлетворено, то условия диссипативности будут для сеточной функции выполнены на всех слоях с=от (о=О, 1, 2, ...). ОценкА Решении РАзностных уРАВнений Поэтому мы только усилим наше неравенство 11), связывающее суммы квадратов иг на двух последовательных временных слоях, если отбросим в правой части неположительные слагаемые пра — „~~ )гыгв~ — ~ й;иа, а Йоспользуемся условиями дисснпативности еще и для того, чтобы срав- нить между собой штрихованную и нештрихованную суммы ' Яиг'+~, 'и,', хы х, взятые по одному и тому же временному слою.
Очевидно, что иг+~~~~~ иг ~ ~ иг, так как здесь левая сумма содержит меньше слагаемых, чем правая. С другой стороны, з силу условий диссипативности, [~Х~~ Аги)~ — [Я стиг~ ( О, [ ]-[=:::![ ]-[ 1 . Аналогично проверяется, что [~", и,~ .-;.
КЯ и,~. Отсюда -~',па=[ У',иг1 +[,рвиг1 +Д, 'и)+;У,'и))( ~ (1+ К) Д , 'ггга+ ',р, 'иаа) . 1х, х Итак, мы докззали, что на любом временном слое ~Чанг+~ иг~ ) ~иг ~11+К) ( ~~и;'+ ~ иг). х, х, х,г к. Правая половина этого неравенства позволяет нам в правой части опенки 11) для штрихованной суммы П"; избавиться от нештрихованной ~~~ иан несколько Увеличив постоаннУю сопз1. ЭтУ УвеличеннУю хл 174 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ.
с! постоянную мы обозначим буквой М и перепишем неравенство для сумм квадратов так: я асс+ ~ч ', а,' ~ ~~~ и,' + ~~~ и1 + к, + Мт~Я йс'+ 'Я' й!)+ Я и!с+~ , 'сс,')+~Ч ,'ус1. Обозначим "5', ис + ~~~' иД = У!ос, шах 'т',',с! =Г (' ' .'') о с«т и предположим, что Мт(1. Тогда и< ! (усос+М [(7С + с+ (71о!+Р) (1 — М ) ~(Д" ~+ — ",] ( +М.)1иЮ+Я, ('1+Мт )о (71„(1+М 1о+Г,!1 — М ) 'т1 — Мт ) 2 Воспользуемся теперь тем, что ( (1+ К) (7!ос, У~! ( Ц ', и)1 [ '1 к, ! ~!=о~ 1хс 3с о Это дает нам возможность получить оценку ~Д ] ~о-;-«с(~~"'[~.с| 1+Мт оч — 1 к!|с-ю ' ", * 1~!!1. о«с гсь С.к, с Нам удобно умножить обе части этого неравенства на й и воспользоС1-1-Мт !сС' вавшись тем, что ! — ) прн достаточно малых т ограничено (оно '!1 — Мт ) стремится к еомс при т-ьО, а у нас 1(Т), представить результат в окончательной форме: шах ~)с '5' ис)((е ~(й „'т','исс) + шах ()с.'у,'я)~.
КОМПАКТНОСТЬ РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 17б Эаметим, что если начальные данные и; (х, О) и правые части Я (х, г) являются непрерывными функциями, то суммы (АХ )), (АХЛ) стремятси при А -«. 0 к интегралам Е А ~~,У',а,'(х, 0)|Ых, ~Д~;Д(х, 1)~г(х о1 г 0~ г и, следовательно, являются ограниченными. Постоянная Я зависит от коэффициентов уравнений и их производных.
Мы доказали, что если начальные данные при 1=0 удовлетворяют граничным условиям, то решение разностных уравнений, построенных нами как приближенные для диссипативнон гиперболической задачи с достаточно гладкими коэффициентами и правыми частями, будет удовлетворять при достаточно мелком шаге неравенству: шах (й ~ и)) (сопят.
о<г<г~, Это неравенство мы и хотели получить. й 16. Компактность решений равностных уравнений Продолжение вывода оценок решений раэиостиых уравиеиий. Оценка раэиостиых отношений. Интегральные неравенства, обеспечивающие равиостепеияую непрерывность функций в прямоугольнике. Теорема Арцела о компактности. а-энтропия. В предыдущем парагрзфе мы получили, изучая приближенные решения гиперболических уравнений, некоторую их оценку, которую обещали в дальнейшем использовать при доказательстве теоремы существования.
В этом доказательстве нам придется ' применять оценки не только квадратов самих сеточных функций, но и аналогичные нера/Ьи;. Лиг Ьэиг венства для их разностных отношений ~ — ', — ', — ' и т. п.) до 1Лх ' ЛГ ' Ьхбг достаточно высокого порядка. Идея вывода этих оценок совершенно такая же, как и в уже описанном нами способе оценок производных решении у гиперболической системы.
Мы эти оценки получали в $14. )Тля этого мы расширяли исходную систему, добавляя в нее урзвнения, содержащие в качестве неизвестных оцениваемые производные. Эти дополнительные уравнения получаются из исходных дифференцированиеы. В случае, если мы рассматриваем решения разностных уравнений, аналогичный прием позволит нам расширить разностную систему включением в нее новых уравнений, Этим дополнительным уравнениям Ли Лэи будут удовлетворять разностные отношения —, —.
Ат' йгэ ' 176 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. Ц С помощью такого расширения системы мы можем опять привести оценку рззностных отношений к уже разобранному приему оценки самих решений. Так, например, если обозначить ди ! и (х, С+«) — и (х, С) с)С 1х, с ди) и(х+сс, с)-и(х, с) Ах )х, с Ь то разностное уравнение и (х, Ф+ т) — и (х, С) „( и (х+)с, С) — и (х, С) т может быть записано в форме, почти не отличающейся от дифференциальной: ои с)и — — сс (Х, с) — +ти у: йс ' йх Выписав такие уравнения в точках (х, Г+т) н (х, г), а затем вычитая их друг из друга и деля на т, придем к равенству — ( — ) — )с(х, (+т) — ~ — 1 — — — +сл(х, (+т) — + — и= —. й Ссти) Ь СЬи) да йи Ьи йт дг АС (АС) дх ~ АС/ АС Ах И АС Ы. Это равенство совсем аналогично дифференциальному дис дис дх — — й (х, г) — — — и + т (х 1) пс+ — и дт дс дс ' дх дг " ' дг дг' Некоторая тонкость состоит только в том, что коэффициенты л(х, г+ + т), т(х, с+т) пришлось в «производном» уравнении взять на т выше, чем в исходном.
Ясно, что с помощью таких «производных» расширение системы разностных уравнений выполняется совершенно так же, как и расширение системы дифференциальных. Аналогично расширяются и граничные условия. При достаточно мелких шагах коэффициенты расширенных дифференциальной и разностной систем и коэффициенты отвечающих им граничных условий будут близкими.
Это означает, что если дифференциальная система превращается в строго диссипативную переходом к новым неизвестным Пс =)Хсис, ЦСс Усни то для превращения в диссипативную разностной тоже достаточно пбложить (при т, и достаточно малых) с)ис пс=рсис шс=%с дс ° Оценивая Сумму квадратов новых неизвестных, мы, каК и в дифференциальном случае, приходим к выводу, что ив гладкости коэф- КОМПАКТНОСТЬ РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 177 фициентов и правых частей при условии достаточно хорошего согласования начальных данных и их достаточной гладкости следует оценка д ~> ( — ') + д ~ ( — ') =.
сопа1. Если в расширенную разностную систему включить еще уравнения дза дьи, для более высоких разностных отношений †, †' то из достаточной дгь дгь гладкости коэффициентов, правых частей н начальных данных (при условии согласования) можно вывести аналогичные оценки разностных отношений высшего порядка. При доказательстве теоремы существования мы будем пользоваться такими оценками: шах /Ах 'У, 'и,' ( сопз1, о<г<г шах Лх~~ь [( — ') +( — „') 1~ сопве, х,г гпах Дх ~1 [Я) +( — а' ) +( Да') 1(соней к,8 Шаг й мы в них обозначили через Дх. Прежде чем переходить к получению теорем существования, нам придется изучить некоторые важные для нас свойства функций, удов- летворяющих интегральным неравенствам.
Лемма 1. Пусть функция о(х) непрерывна, кусочно непрерывно дифферент)ируема на отрезке 10, Ц и удовлетворяет неравенствали А ~ тР (х) дх ~ А, А ~о' (х)г(х(В. о Тогда она удовлетворяет неравенствам ! о(х) ~ ~(А/Е)0'+(ВЕ)'/а, (1) ~ о(х) ~ ='„=2 (АВ)У'+(А/Е)ыа. (й) Лля доказательства разобьем отрезок 10, Ц на д/ равных частей и рассмотрим произвольную точку хь из отрезка (О, Ц Она принадлежит одному из построенных отрезков (хм х,] длины Е/д/. Так как х, А ~ оа(х)Ыхч,~тР(х) ах ~А, то на отрезке [хи хД найдется точка х„ х1 о такая, что (о(х ) ~~у —. (Противоположное утверждение приводит l А У для 178 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1гл. и к противоречию с только что написанным интегральным неравенством.) Теперь нетрудно оценить функцию о(х) н в выбранной нами пранас вольной точке хь, учитывая оценку для ~ о„'(х)г(х и то обстоятельство, о что расстояние между х, и ха не больше, чем /./М: хв 1о(хь) о(хз)~ = ~ ох(х)ввх ~ 1 «в ~)/с~ 1чв ~)/ ~1~.в ~~~Уву ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
