1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В последней формулировке предполагается, что нельзя выбрать нормы, принадлежащие к' некоторому заранее очерченному, но достаточно широкому классу. Как правило, в качестве такого класса рассматриваются нормы, включавшие оценку функции и ее производных вплоть до некоторого фиксированного порядка. Пример Адамара показывает, что задача Коши для уравнений Коши— Римана является некорректной. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге, или задачи 1 и 2 для уравнения теплопроводности — корректны.
Разрешимость этих задач была нами доказана, также как и соответствующие теоремы единственности. Непрерывная зависимость решений от граничных или начальных условий вытекает из соответствующих принципов максимума. (Проверьте это.) Сейчас мы приведем еше один пример некорректной задачи. Пусть мы рассматриваем решение уравнения теплопроводности ди доа дт две в области С(0, 0(х~п и хотим определить это решение по тем значениям, которые оно принимает при г=0 и(х, 0)=~р(х). При х=0, х=п предполагаются выполненными граничные условия и (О, С) = (л, С) = О. Это задача об определении тепловой истории нагретого тела по его состоянию в данный момент. Некорректность такой задачи легко 114 вводная часть устанавливается рассмотрением последовательности решений и„(х, 1)=е — 'ге е "на1ппх, неограниченной при любом 1(0 и удовлетворяющей условиям: и„(х, 0)=ф(х)=е-~'" а!плх, точно таким же, как в примере Адамара.
Адамар выдвинул постулат, что все процессы в математической физике, которые разумно описывать дифференциальными уравнениями, связаны с корректными задачамн. Некорректные задачи нам приходится иногда решать в тех случаях, когда мы хотим получить описание некоторого процесса не по условиям, которыми он вызывается, а по некоторым его следствиям, полученным в результате измерений. Например, если мы Хотим установить распределение температур в теле для 1= — Т, ( О, зная тепловое состояние при 1= О.
Начиная с Адамара, в теории уравнений математической физики изучаются, как правило, корректные задачи. Мы тоже будем следовать по этому пути. И. Г. Петровский выделил класс уравнениЙ, для которых корректна задача Ноши, и назвал уравнения этого класса гиперболическими. Для эллиптических уравнений, точнее для некоторого естественного их подкласса, типичной корректной задачей является задача Дирихле. Мы в нашем курсе изучим типичные примеры гиперболических уравнений и задачу Коши для них.
В качестве примера эллиптических уравнений мы рассмотрим только одно уравнение †уравнен Лапласа. В качестве примеров задач для параболических уравнений, имеющих кратные характеристики, мы уже рассматривали некоторые задачи для уравнения теплопроводности.
Понятие корректности, введенное нами, имеет смысл применять только к уравнениям, описывающим процессы с бесконечным числом степеней свободы. Постараемся пояснить это утверждение на примерах. Начнем со следующей конечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений: — „, =1.Уье Ее решение уь —— уь,еь' на любом конечном интервале времени 0(1(Т непрерывно зависит от начальных данных уьв уа„..., уме В самом деле, если обозначить '11У11=шахСУт!, (Уа! " ~Ул1) КОРРЕКТНОСТЬ 1 а1 то мы будем иметь Ь(и) ~ '!)У(оД Это неравенство и доказывает непрерывную зависимость решений от начальных данных (в силу линейности системы и конечности М, из которой, в свою очерель, следует ограниченность алч). Иначе обстоит дело в случае системы бесконечного порядка ССУ1 — =1 Уэ сй сГЭ1 — =2 у, сст ссал — =Л усл л Среди решений этой системы будут как угодно быстро растущие (ул растет как ел), и поэтому непрерывной ззвисимости от начальных данных не будет ни на каком интервале времени 0 =.Ф( Т, как бы мало ни было Т.
Однако устойчивость будет иметь место, если положить )у~ = = звр )увы а норму начальных данных определить как )уа(г = ь = знр()уь,)еьг). действительно, имеет место неравенство )у~()(уо)г (для 0(8( Т). Вопрос о том, корректна ли рассматриваемая бесконечная система обыкновенных уравнений, свелся к тому, считаем ли мы допустимыми введенные сейчас нормы или нет. Остановимся теперь на зналогии между примером Адамара и примерзми из обыкновенных уравнений, которые мы сейчас разбирали.
Можно аккуратно показать, хотя мы сейчас этого делать и не будем, что каждое решение уравнений Коши — Римана, периодическое но х с периодом 2н и определенное всюду в некоторой полосе гт( (С(г„может быть внутри этой полосы представлено в виде +со +со и =,~ Ул (Г) Сэа Лх —,У Зл (Г) 51П ПХ л= — со л= — со со + со Ф= ~' Ул (Г) 31П ЛХ+ ~~' Зл (Г) Соа ФХ. В этом представлении ряды можно почленно дифференцировать и каждое иэ слагаемых П„(Х, Г)=У„(Е) СОЗ ЛХ (ил= — Зла1ППХ), И с (Хс Г) =Ул (Г) а!В ЛХ (Эл=ал Сва ЛХ) ив ~гл.
т вводная часть само является решением системы Коши — Римана, Доказательство этих фактов мы опускаем. Ограничимся рассмотрением таких решений, у которых все г„(1)=0. Подставляя ци (х, г) =уи (С) соз лх, о„(х, г)=у„Яяшпх в уравнения Коши — Римана д„д„ дг дх' дии ди„ дг дл' мы получаем для у„(1) обыкновенные уравнения ф=пу„~л=..., — З, — 2, — ~, О, К 2, З, ...) с решениямн у„= сопйе". Эта система обыкновенных уравнений как раз того типа, который мы рассматривали в предыдущем примере Частные решения, использованные в примере Адамара, имеют вид и„= е — г й еиг соа пх, о„= е — тгй е"' з1п мх.
Им соответствует следующее решение обыкновенных уравнений ...у „=О,у =О,у,=О,у,=О,...,у а=О, у„=е — "е"', у„+,— — О, Нам кажется, что эта аналогия между уравнениями с частными производнымн и бесконечными системами обыкновенных уравнений может быть полеана при продумывании содержания, вкладываемого в понятие «корректность». На этом мы закзнчиваем наш вводный обзор предмета и в следующей главе переходим к изучению гиперболических уравнений — одного из важнейших классов уравнений математической физики. Глава П ГИПЕРВОДИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ й -9. Интеграл внергии Приведение к каноническому виду гиперболической системы с двумя неэавнсимымн переменными в окрестности точки.
Римановы инварианты. Йеодяоэнач. ность их определения. Канонический вид — частный случай симметрической по Фрндрихсу системы. Тождество «янтеграл энергии» для гладких решений симметрических Ыгиперболичоских систем. Пример: закон сохранения энергии для уравнений акустики. Лемма об интегральном неравенстве. Систелга и уравнений для н неизвестных функций и=(и„и ..., и„) с лгатрицал«и С= ='(с»э~=)(сгэ(х, Ф)$ 0=')«(гэ()=)(аггэ(х, 1)( называется гиперболической, если все корни характеристического уравнения бе«$С вЂ” йЕ$= О (Š— единичная л«атрица) вегцественны и различны.
Мы сейчас покажем, как такую систему можно привести к некоторому специальному каноническому виду. Рассмотрим собственный вектор «матрицы С, отвечающий собственному значению Аэ Он удовлетворяет системе уравнений (С вЂ” й»Е) «=О. Пусть элементы ст(х, б) матрицы С являются глздкими функциями координат и пусть й,— некратный корень характеристического уравнения.
Собственный вектор «(х, ~) определяется в этом случае с точностью до произвольного множителя, являющегося функцией от х и б. Покажем, что можно предполагать вектор «(х, 1) имеющим гладкие составляющие. Начнем с изучения гладкости корня йд(х, г) характеристического полннома с$ет ) С вЂ” йЕ) = ( — 1)" (й" + р» (х, Е) й а+ р (х, ~) й я+... ...+р„(х, Е)] Р(н, х, й). Его коэффициенты р,(х, 1), рэ(х, Е), ..., р„(х, б) представляют собой полиномы от элементов с»э(х, б) и, следовательно, будут гладкими. Выберем некоторую точку (хы бо). Корень йд является некратным и, следовательно, д' Рд ло Го) ~О дя 118 П'Л.
П ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ По теореме о неявной функции у точки (хы (а) существует окрестность, в которой однозначно определена непрерывная функция й=йд(х, 1), удовлетворяющая условиям Р(й, х, 1)=0, й (хо го) = йт (хо (о) Эта функция будет иметь ту -же гладкость, что и коэффициенты рг(х, г), т. е. ту же, что и элементы матрицы С. В частности, произдй дй водные —, — вычисляются по формулам дс' дг дй Р„(й, х, 0 дй Рг(й, к, 1) дл РА(й, х, 1)' д( Рь(й, х, 1)' Аналогично могут быть выписаны формулы и для производных более высокого порядка. Так как точка (хы (я) может быть выбрана произвольно, а через й, может быть обозначен любой корень характеристического уравнения, нами доказана Лемма. Если в некоторой области 0 нлоскости х, г все элементы матрицы С являются гладкими функциями координат и если все ее характеристические корни в этой области некратны, то сами эти корни будут гладкими функциями х, й Теперь постараемся построить гладкий собственный вектор г матрицы С вЂ” йЕ.
Мы проведем его построение в некоторой окрестности произвольной точки (х„ гь). В точке (хы гя) ранг матрицы С вЂ” йЕ равен я — 1. Значит, существует минор этой матрицы, полученный вычеркиванием одной строки (г-й) и одного столбца (о-го), такой, что его определитель в точке (хз, гя) не равен нулю. По непрерывности он отличен от нуля н в некоторой окрестности этой точки. Только эту окрестность .
мы будем рассматривать. Чтобы определить вектор г=(г„ гя, ..., г„), положим га†— 1 и рассмотрим все уравнения системы (С вЂ” йЕ) г=О, кроме г-го. Если вектор г будет удовлетворять этим и†1 урзвнениям, то он будет удовлетворять г-му, линейно с ними зависимому. ДлЯ и†1 неизвестных гт, г„ ..., гч „ гч„т, ..., г„ имеем системУ и†1 уравнений с неравным нулю определителем. Ее можно решить по формулам Крамера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
