1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Только в 1807 году Фурье сформулировал теорему о том, что совершенно произвольная функция может быть представлена тригонометрическим рядом. Как это ни странНо, с самыми решительными возражениями выступил против этого Лагранж, хотя его формулы почти совпадают с формулами для коэффициентов тригонометрического ряда Фурье. Доказательство теоремы Фурье было дано в 1829 году Дирихле, который наложил на представляемую функцию довольно жесткие условия, носящие его имя.
В 1853 году Риман, изучая условия, прн которых функция представляется тригонометрическим рядом, пришел, в частности, к своему известному определению интеграла. Вводная глава его работы содержит увлекательное изложение истории вопроса, которое я пересказал. Я бы очень рекомендовал прочесть эту главу. Избранные сочинения Римана переведены на русский язык и изданы у нас в 1948 году. Работа «О возможности представления функции посредством тригонометрического ряда» помещена в этой книге. В заключение этого параграфа остановимся еще на одном важном вопросе. Чтобы методом Фурье можно было пользоваться для решения конкретных задач, надо указать правило для определения коэффициентов ао (коэффициентов Фурье) в разложении начальных данных задачи.
Сейчас будет описано такое правило, относящееся к разобранному примеру системы 108 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ 1гл. т Он непосредственно следует из тождества интеграла энергии (2 5). Оказывается, что следствием этого закона является ортогональность собственных вектор-функций в некотором скалярном произведении, связанном с квадратнчнои формой интеграла энергии. Надо только отметить, что так кзк наши собственные функции комплексные, то в эти, формулировки надо внести уточнения, заменив квадратичную формулу ийтегрвла энергии эрмитовон. Аккуратное изложение этих фактов из теории консервативных задач, связанных с процессами, в которых сохраняется полная энергия, будет проведено в главе 1Н.
Сейчас же мы ограничимся только указанием формулы $ [ 2 и,(х) и, (хН.2†, р, (х)ро(х)~Их о для скалярного (эрмитова) произведения вектор-функций с компонентами (пт(х)~ ръ(х)), (ия(х), ра(х)) и отметим, что различные собственные вектор-функции ап аи Ц,=1з1п — х, Рх= — р с соз — х между собой действительно ортогональны в этом скалярном произведении. В самом деле, скалярное произведение собственных функций с номерами ги, и вычисляется по формуле Гро .
тих иих 1 / тлх1 1 лиха) (2 [ — 1зш — ( — 1) з1п — -)- — ~ — р,с соо — )1 — р с соо — ) Ых= ( го1 р, г Р . тих иих тих иих'1 2, если т=и, = — ~ [з1п — з1п — + соз — соз — ~Их= 2 1 о О, если т~и Как было доказано, решение нашей задачи, отвечающее начальным данным и(х, 0)=юр(х), п(х, 0)=ф(х) с дважды непрерывно дифференцируемыми ф(х), ф(х), удовлетворявшими условиям согласования ю (0)= о (1)= р" (0)= р" (1)= 0, р'(0) =ф'(1)=0, может быть представлено равномерно сходящимся рядом ~р(х, 1)) 1м~ '1РА(х)) о 1 — роса) метОд ФРРье В частности, равномерно сходится ряд, представляющий начальные данные: — 1 51п +а „ — росс соо — / Ортогональность собственных функций дает в наши руки очень удобный аппарат для вычисления коэффициентов ао,в разложении начальной вектор-функции.
Чтобы показать, как это делается, рассмотрим интеграл ~ф р()У( )+ —,, ф()Р„()~ь= о -' $ (Ф с ! ! с ! н ~о.! )о.! !1! + 2рос1 оо ! о), ~~( — 'ссо — ос~~о о=! 2росоо Из равномерной сходимости ряда, представляющего вектор-функцию <р, ф следует законность выполненного нами почленного интегрирования. Итак, мы пришли к следующим формулам для коэффициентов Фурье в нашей задаче: а„= — ~ф !р(х) О„(х)+ —,ф(х) Р„(х)~ Ых = рог й [2 2рос1 о о- ппх 1 !" ппх — — <р (х) з1п — !(х — — ф (х) соо — аох. С сог На этом мы заканчиваем наш предварительный обзор идей, связанных с методом Фурье. В главе 1Ч мы подробнее разберем теорию этого метода в случае гиперболических систем с двумя независимыми переменными. При этом мы будем сушественно опираться на теорему существования решений из главы 11 и на технику так называемого преобразования Лапласа. 11О ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [Гл.
1 В 8. Корректность Связь между корнями характеристического уравнения н свойствами коротки волн. Пример Адамара. Понятие о корректно н некорректно поставленных задачах. Некорректная задача для уравнения теплопроводности. Замечания о предМете курса уравнений математической физики. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными, описанная в й 6 (эллиптические, гиперболические, параболические уравнения), была связана со структурой характеристик — и это не случайно.
Вело в том, что свойства характеристического уравнения тесно свявзны с качественными особенностями поведения решений. Сейчас я постараюсь пояснить это обстоятельство, пользуясь нестрогими соображениями. Впрочем, такие нестрогие соображения, типичные для специалистов по прикладным наукам, если постараться, можно превратить в доказательство. Однако мы не будем таких попыток делать.
Рассмотрим, например, уравнение А(х, г)ада-+2В(х, г) ~ Зг +С(х, Г)й —,-+РЗ +Е,~~ — — Г(х, г) в некоторой окрестности точки (хе, Ге), которая выбрана так, чтобы коэффициенты А, В, С, ... внутри этой окрестности могли с разумной точностью считаться постоянными. Постзраемся найти у нашего уравнения решения вида л= И(р(йх+ТТ)]. Здесь й, т — постоянные, выбранные раз и навсегда, а р — параметр. Если взять р большим, то предлагаемая формула будет описывать очень короткие волны. Подставляя эту формулу в уравнение, получим (Атз + 2 В$т + С$з) У" = О ~ — ) . Увеличивая р, мы видим, что с его ростом произвольная функция У]р(йх+ТТ)] будег все точнее н точнее удовлетворять уравнению, если только постоянные й, т подчинены условию Атз+2Вйт+Сйа=О, т.
е. если вектор (й, т) направлен по нормали к характеристике. В качестве и=У[р(йх+тЮ)] может быгь взята любая функция, постоянная вдоль прямых йх+та = сопят. Эти прямые внутри нашей окрестности можно считать совпадающими с характеристиками. Очень полезно взять в качестве (г'(а) гармонику е". Ей отвечают приближенные решения вида п=ец ц" + и. Вещественная часть этих приближенных решений — бегущие синусоидальные волны, если вещественны. В случае, если взять уравнение с невещественными характеристика озн гуан например, уравнение Лапласа —,+ — а=О (й'+я~=О), положение менится.
Среди решений вида ем ц'+'п=ецг" жы', (это будут здесь,т ные, а не приближенные решения) есть решения, которые очень быстро ун КОРРЕКТНОСТЬ личивают свою амплитуду с ростом !. Этот рост тем быстрее, чем больше Х вЂ” меньше длина волны. !«ля уравнений с переменными коэффициентами дело будет обстоять совершенно так же, так как «с точки зрения коротких волн» переменность коэффициентов несущественна. По этой причине изучение уравнений с частными производными начинается, как правило, с рассмотрения модели, у которой коэффициенты постоянны. У этой модели в первую очередь удобно найти бегущие короткие волны, выяснить, растут ли они и как, а лишь потом строить строгую теорию. Разберем, в качестве примера, уравнения акустики < ди 1 др — + — — =О, д( ро дх др, ди — + Рого — = О д( о одх и постараемся найти у этой системы решения вида ц ()а((ох+ хб р Ре((ох+ хй Подставляя формулы для и, р в уравнения и сокращая на е'("х+ "(Л мы найдем, что Л/а должно быть собственным числом матрицы 2,:Й а коэффициенты ((, Р образовывать собственный вектор этой матрицы.
Получаем — = -+ со. Выберем верхний знак: Л = соа. Тогда со(» + Л а ! + — Р=О. Решение имеет вид Ро и — е(о (х+ ооо р = Рам (х+ огп Рого Вещественные решения можно получить, отделив мнимую или вещественную часть. Выпишем последнюю: и= — — соо (а(л+со()), Р Р~го р = Р соа (а (х+ со()). Полученные формулы показывают, что звуковые гармонические волны, в том числе и короткие, перемещаются, не изменяя с течением времени своей амплитуды. Теперь перейдем к эллиптической системе (уравнения Коши †Рима) н посмотрим, какой характер будут иметь решения, которые строятся по таким же правилам.
Это опять будут точные решения, так как Уравнения Коши †Рима имеют постоянные коэффициенты. Решения 1гл. г ВВОДНАЯ ЧАСТЬ системы будем искать в виде и= Уе'1"'~ '1, о= )ге'1~'+ > Подставляя этот вид в систему, получим У+аз=0, 'г'= — У. Выберем а=п, Х= — йк Тогда п$-зяк и„= У„е 1У еег-ых Отделив вешественную часть, найдем решения и„= У„еьт соз лх, и„= У„е"' з!и пх. Постоянную У„зададим формулой У„=е — т". Пример последовательности решений ил=с-т'" е"'сових, о„=е — "" еыз1пих и„(х, О) =ф„(х) =е — 1'" соз пх, ть,(х, 0)=ф„(х)=е — "" з1ппх.
При и-ьсо эти начальные данные стремятся к нулю. Более того, про- изводные от них ф~ю(х), ф„~(х) порядков л=1, 2, ..., р, стремятся К НУЛЮ ПРИ И-ьсо. (ЗДЕСЬ Р вЂ” ПРОИЗВОЛЬНОЕ фнКСИРОВаННОЕ НатУРаЛЬ- нос число.) В самом деле, ф1Ь1(Х)=-+. ПАŠ— ГЯ СОЗ ПХ ) если й †четн, Ф'А1(х)=+ иье-т" з1ппх л ф1м (х) -~- пье- т'тз1п их если 1г — нечетное. фью(х)=+ п"е — "" соя их ) я С другой стороны, и„(х, 1), п„(х, 1) при любо)я 1 неограничены.
был построен в свое время (1904 г.) Адамаром, который из ее рассмотрения пришел к очень важным выводам. 1(ело в том, что решение (и„, в„) удовлетворяет при 1=0 следуюшим начальным данным: О а1 КОРРЕКТНОСТЬ Мы видим, что какую бы норму мы ни выбрали для оценки величины начальных данных, мы не сможем утверждать, что из малости этой нормы вытекает малость решения (решение здесь оценивается по максимуму его модуля). В качестве допустимых норм для начальных дзнных мы здесь допускаем нормы следующего вида: ))~р(х)~~ = шах аир)~р1ь1(х)(, оть (ф(х)!~,= шах зпр(ф1ь1(х)/. о ьтв .
Адамар предложил такие задачи называть некорректными. Задача называется корректной, ест она разрешима при любых начальных (или граничных) данных, принадлежавсих к некоторому классу, имеет единственное решение и зто решение непрерывно зависит от начальных данных.
Задача называется некорректной, если она разрешима не при любых начальных данных, либо если она имеет неединственное решение, либо если нельзя выбрать такие нормы для решений и такие нормы для начальных данных, чтобы в этих нормах имела место непрерывная зависимость регаения от условий задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
