1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Если область представляет собой высокий круговой цилиндр с образующими, параллельными оси г, и вдоль каждой такой граничной образующей температура постояннз, то можно предполагать, что распределение температуры вблизи среднего горизонтального сечения цилиндра почти не зависит от г и может быть описано в виде решения Т= й" Т дь Т = Т(х, у) уравнения Лапласа —,+ —,=О. Зная температуру на образующих цилиндра, ТЯсовд, )тз!ЕО), мы можем по формуле Пуассона определить Т(х, у) внутри цилиндра, т. е. внутри круга на плоскости переменных х, у. Если область — узкий слой между близкими плоскостями, на которых поддерживается постоянная температура (на каждой плоскости своя), то р'спределение Т(х) температур (стационарное) между плоскостями хп х=хз удовлетворяет уравнению — =О. даТ два Об щее решение этого обыкновенного дифференциального уравнения "мает вид Т=д,х+Ь .
32 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ игл. ь Постоянные Ь„ Ьа должны быть определены из граничных условий температур на граничных плоскостях. После этого определения по- лучим Т= (хь — л) Т«+(х — хгГ Т, , где Т,=Т(хг), Т,=Т(хя), гь — х, При изучении нестационарного уравнения теплопроводности мы в дальнейшем ограничимся только одномерным случаем и постоянными коэффициентами К, С дт К дт д1 С дгь Изменением масштаба по оси х можно добиться равенства К(С=1. При рассмотрении уравнения ди д'и дГ дхь мы будем обычно обозначать неизвестную температуру буквой и.
11ля простейшего уравнения теплопроводности мы ограничимся ~ обсуждением следующих двух задач: Задача 1. Требуется найти ограниченное решение и(х, ь), непрерывное в области 1)0, удовлетворяющее уравнению теплопроводности при 1) 0 и равное заданной непрерывной ограниченной функции ф(х) при 1=0. (Эта задача связана с распространением тепла в неограниченной среде.) Примечайие. Вместо условия ограниченности ф(х) и и(х, г) могут быть наложены другие, менее ограничительные условия.
Об этом будет сказано позднее. 3 а д а ч а 2. Найти в прямоугольной области А ( х ( В, 0~1а= Т непрерывное вплоть до границы решение уравнения ди д'и д~ дяь ' удовлетворяющее следующим граничным условиям: и(х, 0)=ф(х), А(х~В, и (А, 1) = фа (С), .(В, 1)=фв(1). (Эта задача связана с распространением тепла в ограниченной области.) Мы предполагаем ф(х), фл(Е), фв(Е) непрерывными и, следовательно, ограниченными функциями на замкнутых отрезках А =х(В, 0(1( Т. Предполагается также выполнение «условия согласованияь ф(А) фл(0), ф(В)=фв(0).
Иначе непрерывную и(х, 1) нельзя было бы построить. ССРАВНННИВ ТЗПЛОПРОВОДНОСТИ Под словами «решение, непрерывное вплоть до границы» мы здесь подразумеваем слсдующее. Функция и(х, г), непрерывнзя при А =х«-.В, О~С( Т, имеет в каждой «внутренней» точке (А(х(В, 0(С -Т) ди дви первые и вторые производные, удовлетворяющие равенству Выполнения этого рзвенства в точках границы и даже дифференцируемости и(х, Е) в граничных точках (х=А, 0<С: Т), (А =.х(В, С=О), (х=В, 0(Ю( Т) мы не предполагаем. Исследование вадач ! и 2 начнем с получения теоремы единственности, основанной на принципе максимума, который напоминает принцип максимума для уравнения Лапласа.
П ринцип максимума для уравнения теплопроводн о с т и. Всякое решение уравнения теплопроводноети в прямоугольнике А(х<В, 0<С( Т, непрерывное вплоть до границы, принимает свои наибольшее и Т наименьшее значения на нижней или на боковых его границах. На рис. 4 эти границы нарисованы двойной линней. Обозначим через М максимум и(х, Т) на всем нашем прямоуголь- В х нике, а через т — наибольшее значение и(х, С) на двойной гра- Рис. 4. нице и предположим, что М) сп. Пусть (хв, сь) — та точка нашего прямоугольника (внутренняя или лежащая на его верхней границе), для которой и(хв, сь)=М.
Рассмотрим вспомогательную функцию о(х, С)=сс(х, С)+ в(х — х,)я. На «двойной» границе для тс(х, с) выполнено неравенство ('к' с) =и(х' с)+2(д — А),( — А)з~т+ 2 (М. С друГОИ СтОрОНЫ, П(Ха, ва)=и(ХВ, СВ)=М, т. Е. НавбОЛЬШЕЕ ЗНаЧЕНИЕ п(х, г) не меньше, чем М. Максимальное значение о(х, с) принимается в некоторой точке (хс, (с). Так как тс(х„ г,) )М, а на «двойной» границе о(х, с) (М, то точка (х„ Я не может лежать на «двойной» границе.
Если точка (х„ Сс) †внутренн точка максимума, то в ней ос — — О, и =О, о „ ( 0 и, следовательно, ос в о„„ ) О. Если же (хс, сд) лежит на верхней границе прямоугольника, то ос==в О, о =О, о „~ 0 и, опять таки, е,— п,)0. Итак, мы показали, что если М=шах п(х, С))т, то сУществУет точка (хс, Сс), в котоРой ос — о„„)0. Однако, пользуясь тем, что Й вЂ” — д, 9(х, С)=и(х, С)+2 В А (х — хв), мы без я с. к. Гад»чав вводная плоть сгл, с труда можем вычислить ос †„„: М вЂ” лс ос — о„„=- — (и А)» < О.
Полученное противоречие показывает невозможность неравенствз М ) т. Тем самым доказано неравенство сс(х, г)(спахи(х, с) на «двойной» границе. Принцип максимума обоснован. Так как функция — и(х, с) тоже удовлетворяет уравнению теплопроводности, мы можем, применяя к ней принцип максимума, доказать еще и Принцип м инин умз. Наименьшее значение и(х, 1) обязательно лринимаетея на «двойной» границе. Примечание.
В доказательстве мы предползгаем дважды дифференцируемость и(х, с) во всех внутренних точках прямоугольника и на его верхней границе. достаточно предполагать наличие вторых производных во внутренних точках, а непрерывность и(х, с) вплоть до границ. В самом деле, иэ принципа максимума и(х ~Ю....т .-- в силу непрерывности и(х, с) вытекает, что и(х, Т) =и. Объединяя принцип максимума с принципом минимума, получаем неравенство для ~ и (х, с)(: !и(х, с)!(шах!и(х, с)~ на «двойной» границе. 3 Бокажем теорему единственности решения задачи 2. Пусть и,(х, с), ия(х, г) — два решения этой задачи.
Тогда и(х, с)=ис(х, с) — и,(х, г) будет непрерывной функцией, у которой и(А, Е)=0 прн 0(С( Т, и(х, 0)=0 при А =х<В, и(В, с)=0 прв 0<С<: Т. б б Внутри прямоугольника А<х<В, 0<с< Т функция и(х, с), оче- видно, удовлетворяет уравнению теплопроводности $ т. 1 Ив принципа максимума мы заключаем: 2 шах (и(х, с)~ ~ л<»<в о<с< т =шах) шах )и(х, 0)~, шах !и(А, с)), шах )и(В, г)(~=0. ся~»~В О~с~т з~кс~г уРАВнение теплопРОВОдности ясно, что и(х, 1)— : 0 при А(х«=В, 0«=1( Т, т. е. что в этом прямоугольнике иь (х, 1) = и, (х, г). Единственность решения задачи 2 доказана. !!Оказательство единственности решения задачи 1 несколько сложней.
Напомним постановку этой задачи. Задача 1. Найти непрерывную и ограниченную в полуплоскости г ) О,.— со < х <+ со, функиию и (х, 1), удовлетворяющую прп да дьи 1) 0 уравнению — = —, а при 1=0 начальному условию п(х, 0) = дГ дхь ' = ф(х). Здесь ф(х) — произвольная. ограниченная непрерывная функция х. Ограниченность мы предполагаем заданной в форме неравенств (и(х, 1))(М, ~<р(х)((М. !(Окажем теорему единственности для задачи 1.
Рассмотрим некодо дьо торое частное решение о(х, 1) уравнения — = —,, определяемое формулой о (х, 1) = —, (х'+ 21). 2М Выполнение урзвнения проверяется непосредственным дифференцированием: до М д'о — 4 дь = йв для' Очевидно, что это решение удовлетворяет неравенствам: о (х, 0) = —, хь = О, 2М о (.+- 1., 1) = —, (/ ь + 21) = 2М. 2М Если у задачи 1 есть два решения ит(х, !), иь(х, 1), то их равность и=и,— иь будет решением урзвнения ди д'и дь дль ' удовлетворяющим прн С~О неравенствам )гг(х, ь))(2М, а при (=0 обращающимся в нуль: и(х, 0)=0.
Из принципа максимума следует, что так как на нижней (!=О) и боковых (х=+ ~) границах прямоугольника 0((~ Т (Т произвольно), — Ь(хч-1. разность е(х, 1)— — и(х, г) ) О, то это нерявенство сохранится и внутри прямоугольника. (Разность е — и тоже удовлетворяет уравнению теплопроводност)ь) Итак, при — Ь(х(1.
мы доказали неравенство и(х, 1) «= — ь(ха+2!). 2М сгл. с 36 вводная часть Замечая, что функция и (х, С)= — и(х, с) удовлетворяет уравнению и неравенству и ( 2М, мы точно так же получаем, что — и(х, с) «= —,(ха+ 2с). 2М Бели два полученные неравенства объединить, то становится ясно, что ~сс(х, с) ~( —,(ха+2С).
2М Фиксировав точку (х, С) (с)0) и выбирая различные с'., мы видим, что неравенство должно быть выполнено при всех достаточно больших с., а так как с. можно устремить к бесконечности, то отсюда следует равенство ~и(х, Ю)),=0; и,— и,=О при с)0. и,(х, 0)=ср(х), и (х, 0)=ср(х) Сис(х, С)!~Мфеа~е~ ~ ия (х, с) ~ ( М (с) е" 1" 1, и неравенствам где М(С) †непрерывн монотонная функция б Она может как угодно быстро расти с ростом с.
Мы докажем, что и,(х, с)жия(х, с). Выделим произвольный конечный отрезок 0~8 =. Т времени и докажем совпадение ис(х, С):— =и,(х, Е) для с из этого отрезка. Из произвольности Т будет следовать единственность решения во всей верхней полуплоскости. Итак, пусть 0 ( с ( Т. Тогда )ис(х, С) — и,(х, 8)~ =)ссс(х, Ю)~+)и,(х, С)) =2М(С)е '" ~М*е'~" 0 Через Мв мы здесь обозначили 2спах М(с)=2М(Т).
о<с<г Теорема единственности решения аадачи 1 доказана. Мы сейчас ослабим ограничения на функции и(х, с), ср(х) и покажем, что единственность имеет место и при ослабленных ограничениях. Рассмотрим два решения ис(х,с), и,(х, г) уравнения теплопроводности, определенных в полуплоскости С) О, непрерывных вплоть до с=О, . удовлетворяющих условиям УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ А 21 Как обычно, заключаем, что функция и=и,— и, удовлетворяет ди два уравнению — — —,=О, условию и(х, 0)=0, а по доказанному — еще дГ дхв и неравенству 1и(х, Г)~(Ма ~ ( <О~г~т). Будет доказано, что из этих условий вытекает равенство и(х, 2)иО при 0(й(Т. Показательство будет почти такое же, как и в предположении ограниченности и (х, 2), только мажорирующее решение нужно, выбрать другим.
Положим евах+ е ввх о(х 2)=Маг с+е — 'с) + еыч. Еваь де д'а Легко проверить равенство — = —, В самом деле, дГ дхв ' + ) 2~+ Фав( ~ + ) — 2ав+ 4Ы! Ф(х, г)= еа 2С е'" '+ ,а ав датах +4ан+ дЕ- 2аа+ ваи и, следовательно, достаточно убедиться в том, что функции ежзвв+ьа( являются решениями. Это легко получить дифференцированием: — Еж зев+ вен = 4авЕЕ ва" + аан = — Еж Звх+ аа*(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
