1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 9
Текст из файла (страница 9)
По известной теореме о переходе к пределу под знаком несобственного интеграла отсюдз вытекаЕт, что + со 1!га и(х, !)== ~ е — с*ф(хь)с(ь=ф(хь). 1 г о 0» Подведем итог. Мы показзли, что функция, определенная равенством + ь» 1к — а! ° и(х, !)== $ ф(е)е и с$, 2)» пг является при ! ) 0 любое число раз дифференцируемым решением уравнения теплопроводности, если ф(Е) — кусочно непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству !ф!е)!(Ме'!11.
Это решение оценивается так; ~ П(Х !) ) ( 2МЕьпва1к1 И, наконец, Нш и(х, !)=ф(хь), если точка хь лежит внутри некоток к, о рого отрезка непрерывности ф(х). Формула для и(х, !), очевидно, дает решение задачи !. Теорема существования тем самым доказана. Отметим еше одно полезное свойство интеграла (1). Свойство 5.
Пусть функция ф(Е) удовлетворяет неравенству !ф(Е)!<Ме" нр п, кроме того, ф(Е)=0 для А<в(В. Тогда в точках интервала А(хс В, 1=0 функция и(х, 1) равна нулю вместе с любыми лроизводнымп ио х и !. Доказательство сзойсгва б довольно легко вытекзет из явного вида интеграла Пуассона, и мы не будем приводить это доказательство. Покажем теперь, как с помощью интеграла Пуассона можно решить в некоторых простых случаях зздачу 2. Для этого рассмотрим нечетную функцию ф($): ф(~)= — ф( — ~) ВВОДНАЯ ЧАСТЬ 1ГЛ.
! В этом случае формулу для и(х, () можно переписать так: !л — а)~ о (к+!а!Р и(х, ()= Гь ф(6)е и п$.— — $ ф([К[)е м !(э. 2$ Ы 2 г'пГ о — 00 Отсюда и(0, ()=О, и(х, Ф)= — и( — х, (). Например, можно взять в качестве ф(й) функцию з)из$, разрывную при $=0. Пля С) 0 соответствующее решение будет уже непрерывным.
График и(х, г!) этого решения ибо, Ц изображен для нескольких поа=в следовзтельных времен та=О, (, ) О, С ) (» (з ) ( на рис. б. Ясно, что если ф($) анти- симметрична не относительно д точки $=0, а относительно Я=А, то и решение и(х, () будет антисимметричным отно- сительно$=А. Иными словами, если ф(А+и+ р(А — Р=О, Рис. 6. и (А + х, !) + и (А — х, () = О. Пусть теперь ф!6) задана нам только на отрезке А(6(В. Продолжим ее на всю прямую следующим образом: <р Д) = — ф [2 — $+ 2л ( — А)), если А+(2л+!)( — А)($(В+(2л+1)( — А), ф ф=ф [6 — 2п ( — А)), если А+2л( — А):,$(В+2л( — А).
Вся прямая разбивается при этом нз примыкающие друг к другу равные отрезки длины  — А каждый, а функция ф!с) оказывается антисимметричной относительно каждого из концов этик отрезков. В частности, ф(А+5)+ф(А — $)=0, ф(В+5)+ф( — й)=0. Решение и(х, 1), построенное по так продолженной функции ф(6) с помощью интеграла Пуассона, будет при Т- 0 непрерывной функцией, обращающейся в нуль при х=А и при х=В и(А, г)=0, п(В, г)=0. Если первоначальная' функция ф(й) обращалась в нуль при $=А и при $=В, то и(х, () будет непрерывной всюду при ()О. Мы видим, что так построенная функция и(х, г) решает в области А(х(В, г= 0 задачу 2 с начальными данными п(х„О)=ф(х) и граничными условиями п(А, ()=фл(1)=0, и(В, ()=фз(8)=0.
Ф 4! и лвивнив типлопроводиости 1продолжвниш 43 Если ф(А)=ф(В)=0, то граничные и начальные данные согласованы и существует непрерывное решение, единственность которого была нами доказана. Доказательство единственности решения в случае несогласованных начальных данных было предложено в 2 3 в качестве задачи. Мы не будем заниматься доказательством существования задачи 2 при произвольных непрерывных «рл(г), 'фз(г).
Ограничимся лишь указанием, что и в этом случае решение может быть выписано в виде явной формулы с интегралами. Упражнение 1. Докажите, что если ф =Ь, то 2 и (А, 1)=Ь. У п р а ж н е н н е 2. Положив ф ($) =2 1( — ~ ([] — знак целой части Г3+1 ч 2 ди д«я «епиегь), докажите, что соответствующее решение уравнения — — — О.
дГ дхе + со (х — $)« 1 и(х, 0= — ~ ф(3)е «г л'я 2).-) ~ удовлетворяет начальным данным и(х, 0)=0 н граничным условиям и(0, 1) О, и (1, 1) = 1. Это равенство для достаточно гладких и(х, 1) эквивалентно выполнению по любому кусочно гладкому замкнутому контуру интегрального тождества Си огх+ К вЂ” й= О, выражающего собой закон сохранения количества тепла. Если вспомнить приводившийся в 2 3 вывод уравнения теплопроводности, то легко заметить, что он как раз состоял в получении закона сохранения тепла для бесконечно малого параллелепипеда.
Интегральным тождеством, которое было выписано, нам будет удобно в некоторый момент воспользоваться. Пусть теперь и(х, 1) — некоторое решение уравнения теплопроводности. Выбрав постоянные а)0, Л)0, сделаем замену переменных х = сс» (» = х/а), 1= Лл (з = г/Л), и(х, 1)=и(а», Лз)=о(», з). положив Теперь, как и было обещано, приведем эвристический вывод формулы, которой мы пользовались,— интеграла Пуассона. При этом выводе, так как мы будем пользоваться физическими соображениями, нам будет удобно рассматривать уравнение с неравными единице коэффициентами С (теплоемкость) и К (теплопроводность), которые предполагаются постоянными: 46 вводная часть Выясним, кзкому уравнению удовлетворяет о(г, з).
Для этого сосчитаем производные дв ди дк ди — = — — = сг —, дг дк Ыг дк ' дго дои — =аг —, дФ дк" да ди 3 С помощью этих равенств из уравнения следует, что Предположив, что параметры Л и и связаны между собой равенством Л=аг, мы видим, что если п(х, г) является решением нашего уравнения, то п(ах, Лг) тоже будет решением. Из линейности уравнения можно сделать вывод, что и функция у ( Лг) (Л= ) тоже является.
решением при любом постоянном у. Будем рассматривать только такие решения, для которых при любом т) О сходится интеграл + оо Си(х, т)г(х=Я(г); Я(с) — полное количество тепла в момент времени с прн — со(х( ~+со. Наряду с решением и(х, 1) рассмотрим еше решение тв(х, г) = = уи(ас Лх, Лг) и сосчитаем полное количество тепла для этого решения в момент времени Г + со + со ) Смс(х, г)гсх= ) Суп()/Лх. Лг)дх= + со + со У) — Си()ГЛх, Лс)сК()/'Лх)= г 'с Си(г, ЛС)г(г= т Я(Лс).
Если положить у=)/Л, то мы будем иметь + со $ Смс(х, С)йх=Я(ЛС). В дальнейшем нам нужно будет рассматривать решение, для которого полное количество тепла с течением времени,не меняется, т. е. Я (г) = уРАВнение теплопРОВОдности (продолжение) 47 я 41 = Я=сопай Из наших рассуждений вытекает, что если для решения п(х, г) полное количество тепла равно (г', то и для тв(х, г) = 1/Х и ()/)4х, Аг) полное количество тепла будет тем же самым. Мы построили однопараметрическую группу преобразований (параметр А), переводящих в себя множество решений уравнения теплопроводности с одинаковым постоянным количеством тепла ь).
Интересно представить себе, как преобразуются начальные данные таких решений. Пусть и (х, 0) = 4р (х). Игл 5 Тогда тв(х, 0)=)/)4ф (1/Ах). На рис. 7 изображены и(х, 0), в(х, 0) в случае, если Х) 1. Ч гобы получить тв (х, 0) из и (х, 0), надо сжать график в ~~А раз по х и вытянуть его в )/А раз по ф. 4Г .г На этом мы заканчиваем под- Рис. 7. готовительную работу и переходим собственно к выводу. Рассмотрим область — со(х~со, 1)0 и постараемся в этой области найти решение уравнения которое отвечало бы при 1=0 некоторым специальным начальным данным.
Эти начальные данные нельзя представить себе заданными в виде обычной функции и (х, 0)= ф (х). Для их описания должно быть использовано специальное понятие «обобщенной функции». Мы не будем на этом понятии останавливаться и ограничимся нестрогим, но наглядным описанием. Представим себе, что при 4 = О нз плоскости х= 0 (в пространстве х, у, з) выделилось некоторое количество тепла. А именно, пусть на единицу площади этой плоскости выделилось сг' кзлорий. Из физических соображений ясно, что решение, которое отвечает такому начальному впрыскиванию тепла, в любой момент времени 4 будет распределением тех же (г' калорйй: $ Сп (х, ~) их = Я.
При 8=0 все тепло сосредоточено лишь при х=О, т. е. Вв п(х, г)=0, 4 О если хфО. Ясно, что ваха(х, Ю) должен стреииться к со при й- 0 к и при малых г этот максимум обязан достигаться где-то вблизи х=О. Пусть нам удалось найти некоторое решение и(х, 4) так поставлен- ной задачи. Выберем некоторый параметр Х) 0 и рассмотрим еще 48 вводнля члсть 1гл. 1 решение цс(х, Е)= )с'Л и ()/Лх, Лг). Мы знаем, + СО ~ Смс(х, г)с(х= Я.
— ОО что для любого 1 > О Кроме того, очевидно, что при х ~ О 1цп цс(х, 1)=)с' Л Иш и()с Лх, с о с о Лс) = О. Решение мс (х, С) таким образом удовлетворяет всем тем условиям, которые мы наложили на и(х, С). Следовательно, либо мы можем построить для нашей задачи о «впрыскивании» тепла бесконечное множество решений гв(х, г)=) Ли ф'Лх, Лг), либо все эти решения должны совпадать. Примем гипотезу о единственности решения поставленной задачи.
Из этой гипотезы вытекает равенство тв(х, 1) =и(х, 1), а следовательно, следуюшее функциональное соотношение, которому должно удовлетворять решение и(Х, 1)=)/Л и()/гЛ Х, Л1). не зависит от 1. Иными словами, количество тепла, заключенное между любыми двумя параболами х=$т)Гг, х=$а)/Т (рис. 8), не зависит ог времени. Закон сохранения энергии (тепла) записывается в виде Си асх + К вЂ” всС = О. Фиксируем некоторую точку (х, г) и выберем Л= 1/г. Получаем и(х, г)==и(=, 1)==8(=), Для того чтобы найти функцию 8Я), достаточно подставить это выражение в уравнение теплопроводности.
Тогда для 8Я) получится обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядкз. Мы пойдем немного другим путем. Вох=ф/У х=Ру3 спользовавшись остроумным приемом Л. И.Седо- щ ва, мы сумеем для 8Я) получать уравнение не сг г второго, а первого порядка. Этот прием был. предложен Л.
И. Седовым не для уравнения Ас 1 А г теплопроводности, а для решения одной задачи газовой динамики. Ив равенства и(х, С)==лс =) следу- 1 С х )г'с (, )с с ет, что интеграл 0 1, Ус $» Сп(х, г)ссх=Сг 8(й)с(й Рис. 8. отсс 1~ о 41 ээлвнинна типлопэоводностн !пэодолжинне! 49 (Интеграл берется по любому замкнутому контуру.) Мы уже отмечали, что это равенство эквивалентно уравнению теплопроводности. Применим это интегральное тождество к контуру АаАаВяВтАВ изображенному на рис. 8.
Так как ~ Сис(х= ) Спс(х, л1 в, то в, Ва С с х+К д а ~ Спс х+К д с $ А, В силу проиавольности интервала времени (Рн со) при любых 1 должно быть выполнено равенство Си(х, !) — +К вЂ” ~ =Си(х, 1) — +К-й — ~ дх ди ! дх ди дС дх~, а,,; ' д! х, Выразим теперь и(х, 1) через у(хД/Е) и получим соотношение Следовательно, с — ,'Ь, а,)+к 'а,)= -,'8.,Аа~+к 'а,). Мы покааали, что С вЂ” $8а)+Кд'а) не аависит от $ и что, следовательно, С ! сна)+Кл'(ь)=с!с.' (Выражение — ~ — С$8($)+Кд'а)~ представляет собой скорость, с ко-, 1 Г1 , торой тепло проходит в момент времени 1 через параболу х=$,осУ за счет теплопроводности и за счет того, что точка параболы, перемешаясь с ростом времени, «захватывает» все новые участки оси х вместе с распределенным там теплом.) Естественно предполагать, что при 6 ) О и при х= 0 п(х, 1) = 1 / х ! ди! 1 = = л ~=~ конечно и что — = — 8' (0) = 0 (это просто )'с М) дх ~с=о с>о соображения симметрии).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
