1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 13
Текст из файла (страница 13)
3" а следовательно, на РСт величины и, р тоже должны равняться нулю. Этим самым мы доказали, что нулевые начальные данные на основании характеристического треугольника с необходимостью влекут за собой равенство и=О, Р=О всюду внутри него. Теперь легко получить доказательство собственно теоремы единственности, Если и„ р, так же, как и ио, р,, являются решениями нашей линейной системы, удовлетворяющими на отрезке АВ одним и тем же начальным данным, то их разность и, — па, рт — р, тоже является решением той.же системы с нулевыми начальными даннгями. Согласно доказанному выше и,— ио:— О, рт — ро=О всюду внутри характеристического треугольника. Теорема единственности доказана.
На этом мы закончим наше предварительное изучение уравнений распространения звуковых волн и перейдем к другому примеру — к уравнениям Максвелла для плоских электромагнитных волн. В конце параграфа мы приведем соображения, которые привели к выводу этих уравнений, а пока выпишем эту систему: 68 ~гл. г ВВОДНАЯ ЧАСТЬ Рассмотрим сначала первое и последнее из этих уравнений, Умно. жим (3) на сД' (о, (6) на сД/е: д(3~ в Н ) со д(Г'е Е,) =0 дс $' ре дх д9'е Е,) со д9'р Н ) дс "г' ре дх Проделаем сложение и вычитание этих уравнений: д(к~р Но+к'е Е,) со д(Ур Н„+р'еЕ,) — 0 дс $/ ре дк дОННу)еЕ«)сод(У~ НуУеЕ«) += — О.
дх Аналогичным образом из (4) и (б) получим д ()~ р Н, — )Уе Е ) со д(о"р Н вЂ” гсеЕ ) 0 дс Заре дх д('г~Ьо Н +у'еЕ ) со д(3/рН +Уе Е ) Мы видим, что опять, умножая уравнения системы Максвелла на специально подобранные коэффициенты, а аатем вычитая или складывая их, нам удалось расшепить систему на.четыре независимых уравнения первого порядка, каждое из которых имеет вид дс 'г' ре дх и, слЕдовательно, описывает распространение волны вправо или влево (в зависимости от знака -+) со скоростью =. Эта скорость — скос« )' ре рость электромагнитных волн — называется сиорослоью света в среде и обычно обозначается буквой с. Полученный «каноническии вид» уравнении Максвелла позволяет нарисовать на плоскости (х, с) характеристический треугольник, в котором однозначно определяется решение, если известен отрезок оси с = О, на котором заданы начальные значения напряженностей. Мы не будем на этом подробнее останавливаться.
Рассмотрим теперь волну электромагнитного поля, распространяющуюся вправо со скоростью с==' . Ее распространение описывается )'ре ' 69 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ б б! уравнениями д()' !1 Ит — ! е Е,) д(г' й Н вЂ” )Ге Ее) +с =О, дГ де д(~ и и,+)'еЕ„) д(У!б Н +)геЕ ) '+с ' ' =О. дГ дл Чтобы не рассматривать волны, распространяюшейся влево, достаточно положить ф'р Н.
+) ЕЕ,=О, )~ РН,— )геЕ =О. При этом два оставшихся канонических уравнения будут выполнены тождественно. Обшее решение так поставленной задачи дается формулами: ф' р Нт — )Г е Е, = г(х — с1), )гг(А Ну+')ге Е, = О., 1'р Н,+)ГеЕ„=е(х — с1), )l)б Н, — )lеЕ =О. Отсюда можно получить представление для всех четырех компонент поля: Из этих формул видно, что векторы Е, Н всегда ортогональны, так как их скалярное произведение ЕУН + Е,Н, = О. Отношение длин этих векторов "!г Е'+Е', р Н;+И*, )' е постоянно. Пусть теперь у и е описывают периодическую, гзрмоническую волну уф=а соб $, Е(3) Ь б!и $. Рассмотрим поведение векторов Н, Е в фиксированной точке пространства, например, при х=О а Ь НУ== сов с1, Н,== б!и с1, 2РИ 2 г'и Е = — =б!пс1, Е,= — созс1. Ь а 2)"е .
' 2)'е Если рисовать положение векторов на плоскости, откладывая Н, Е„ по оси у, а Н„ Е, по оси з, то нетрудно заметить, что концы векторов Нт —— — Ях — с1) 1 2г'р Н ==е(х — сг) 1 е у— Е ==а(х — с1), 1 2 $' е 1 Е,= — = г(х- с1). 2 г'е 70 ~гл г вводная часть ь описывают эллипсы с одинзковым отношением полуосей —, Большая ось а' эллипса, описываемого вектором гг, направлена вдоль меньшей оси эллипса, по которому бегает конец вектора Е. Эта картина дает основание для названия: «эллиптически поляризованное электромагнитное поле» или «эллиптически поляризованный свет».
Если Ь=О, эллипсы вырождаются в два перпендикулярных отрезка (линейная поляризация). 3 а д а ч а. Выведите закон сохранения энергии Н„'+ Н' Ее+ Е, "1 для решений уравнений Максвелла. Сформулируйте н докажите теорему единственности для этих уравнений. Сейчас мы кратко опишем, как были выведены уравнения Максвелла. В первом параграфе мы уже показали, как из закона Кулона получается уравнение дэи деи деи р — + — + — = — 4н— дх' дуа дгэ а для электростатического потенциала и, вызванного распределением зарядов с плотностью р в среде, у которой диэлектрическая постоянная равна з.
Вектор напряженности Е(Е, Е, Е,) электрического поля выражзется через потенциал формулами ди ди ди дх' У из которых следует, что его компоненты подчиняются уравнениям — + ='-+ — ' = 4н —, дЕх дЕ дЕ« р дх ду дг е ' дЕ» дЕу дЕх дЕ» дЕу дЕх — — —." = О, — — = 0 —." — — = 0. ду дг ' дг дх ' дх ду Теперь мы покажем, как закон взаимодействии между электрическими. токами приводит к уравнениям магнитостатики. Предстзвим себе следующую идеальную картину. В пространстве расположены два замкнутых проводника, не имеющих сопротивления, и по ннм циркулируют два постоянных тока, имеющих силу соответственно ./д, Уя.
Обобщение опытных фактов по взаимодействию реальных проводников привсло физиков к закону, который проще всего формулируется в этом абстрактном случае. Этот закон называется законом Био и Савара. Пусть бесконечно малые вектора Фзы ггзя представляют собой элементы этих проводников и вектор Ат направлен от сгз к дзг. Тогда сила, испытываемая вторым элементом со стороны первого, равна: «тсэ Ете=-г ~о ~~ Фзя Фзм НгяЦ с„~ ф 21 ГИПЕРВОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ здесь с,' — некоторая постоянная. Чтобы получить полную сйлу взаимодействия между двумя проводниками, надо з"12 проинтегрировать, заставив зЬ„зЬ2 обежзть полностью первый и второй проводники, Интересно отметить, что силы г12 и )'21 действия первого проводника на второй и второго на первый не удовлетворяют закону «действие равно противодействию», Пусть, например, сЬ1 параллелен зс12, а дза перпендикулярен зт21= — зт12.
В этом случае фз1, зч12)=О и поэтому гч12=0, тогда как [Фз„зсзз~у':О и Раз~0. Однако это нарушение третьего закона Ньютона только кажущееся и связано с рассмотрением искусственно введенной силы взаимодействия между элементами проводников, а не между полными замкнутыми проводниками. В самом деле пусть "з) зз = Ъ яз Непосредственное вычисление покззывает, что Ъ (Ч вЂ” Яз') г<„аО2+ <„я )2+ <„я )2~„2 ~п — $ ~+ (П1 — $2) Лгк+ ( 2 — $2) Луз+ О)з — $2) Лз)з Г(„, В,).+( Ы.+(„, Б,).!" ДВ' 1 )З 12"аз 12'а1~ з 12Й ) згзз)з Первое слагаемое, стоящее в правой части этого равенства, при замене первого элемента тока вторым меняет знак, т. е. удовлетворяет третьему закону Ньютона. Фикснровав во втором слагаемом Е1, яз, $м зтьз, пй„згьз, )'Лпз\ проинтегрируем его по зтзз= Лчз, т.
Е. пО пОлНому КОнтурУ втоРого 4чз проводника. Мы получим (Пз 221) 1)Ч + (Чз — ззз) Лчз+ (Пз 52) Лпз д,'= Ьи-Ыз+~Е,-Ы'+(ч -Ы!" 6 ю» -зз з«.'-зз ~-сз,-и.> )(~~ (',) Это равенство как раз и показывает, что противоречие третьему закону Ньютона только кажущееся. Интересно отметить, что закон Био и Савара — это не первая по времени формулировка закона взаимодействия для токов. Впервые этот закон был сформулирован Ампером в другой форме, которая закону Ньютона не противоречила. Однако форма Био и Савара закона взаимодействия оказалась более удобной и именно она и прижилась.
)гл. з вводная часть Закон Био и Савара после введения обозначения Н со [Роз)з может быть записан так: 1 ~то= — [ зиз„нзз]. со По аналогии с законом Кулона вектор Н, называется вектором напряженности магнитного поля, создаваемого в точке, где расположен элемент с(эз, элементом тока lззгаз. Удобно считать, что ток, создаюптнй магнитное поле, не сосредоточен на проводникзх, а распределен в пространстве с некотороя плотностью )'(х, у, г). Это означает, что внутри элемента объема с(ос(Ьз(с сосредоточен элемент тока ,/(а, Ь, с) с(а з(Ь агс. Напряженность Н поля в точке (х, у, «), создзваемая этим элементом тока, будет Н 1 Ц (а, Ь, с), А') аза с(Ь (с с [я)з о= (.* или, покоордииатно, Н„ 1 — )з (а, Ь, с) (у — Ь) + ) „(а, Ь, с) (г — с) с(а агЬ й; со [(х — а)з+ (у Ь)з [ (г с)з]згз Нх ,1 — ух(а, Ь, с) (г — с)+ Ьг(а, Ь, с) (х — а) з(а с(Ь з(с, со [(х — а)з + (у — Ь)з + (г — с)з]згз Н,—— — ) (а, Ь, с) (х — а) + Ьз (а, Ь, с) (у — Ы з(а з(Ь з(с.
со [(х — а)з + (у — Ыз .+ (г — с)з]зтз Для того чтобы учесть вклад от всех элементов тока, мы должны про- интегрировать компоненты напряженностз) по всем элементам объема: — )о (а, Ь, с) (у — Ь) + )„(а, Ь, с) (г — с) со д ,),) [(х — а)з + (у — Ь)з + (г — с)з]огз ~ ~ ~ — /х (а, Ь; с] (г — с) + Ьг (а, Ь, с) (х — а) Н,= — 111 с(а згЬ с(с, со ) ) с [(х — а)з + (у — Ь)з + (г — с)з]зтз 1 ~ ~ г — )„ (а, 6, с) (х — а) + ) „ (а, Ь, с) (у — Ь) у к с(а з(Ь з(с, со д,) ) [(х а)з+ (у 6)з+ (г — с)з]ом Когда мы формулировали закон Био — Савара, мы отмечали, чго токи должны рассматриваться замкнутыми.
Для распределенных токов это ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ условие заменяется на требование г)1уу=О, или в координатной форме: д)х д)у д/ — + — У+ — = О. дх ду дг Интегральное представление вектора Н через плотность тока У' (дивергенция У' считается равной нулю) содержит в себе обобщение всех тех опытных фактов, которые лежат в основе уравнений магнитостатики.
Подобно тому как интегральное представление электростатического потенциала используется для вывода уравнений злектростатики, выписанное нами интегральное представление для Н служит основой для получения дифференциальных уравнений. При выводе этих уравнений удобно воспользоваться следующим искусственным приемом. Определим по заданному распределению токов у (мы будем предполагать у достаточно гладким и равным нулю вне некоторой сферы) так называемый вектор-потенциал с компонентами /х (а, Ь,с) да дЬ»(с с,) )' (х — а)'+ (у — Ь)»+ (г — с)г )У (а,Ь,с) дадЬ Ыс АУ= (х — а)г-(-(у — Ь)г+(г — с)г ' (' (' )» (а, Ь,с) да дЬ дс , 5 5 (х — а)'+(у — Ь)'+(г — с)' ' '=1Я Из известной нам теории ньютоновского потенциала (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
