1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Φ(t) âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ: äëÿ âñåõ t > 01Φ(−t) = 1 − Φ(t), Φ(0) = .(8.13)253Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ãðàôèê ïëîòíîñòè y = φ(x) (ðèñ. 8.5).Ya-X-xxx0XÐèñ. 8.5: Ãðàôèê ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà.Îáîçíà÷èì ÷åðåç Z ñ. â., èìåþùóþ ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Òàê êàê â ñèëó (8.12)∫−tΦ(−t) = P(Z < −t) =φ(u)du,−∞∫∞1 − Φ(t) = 1 − P(Z < u) = P(Z ≥ u) =φ(u)du,tòî çíà÷åíèÿ Φ(−t) è 1 − Φ(t) ðàâíû ïëîùàäÿì, çàøòðèõîâàííûì íà ðèñ.3.10, êîòîðûå ñîâïàäàþò ââèäó ñèììåòðèè ïëîòíîñòè y = φ(x).

Òåì ñàìûìäîêàçàíî ïåðâîå èç ñîîòíîøåíèé (8.13). Âòîðîå ñëåäóåò èç ðàâåíñòâ (??)ïðè a = 0:1Φ(0) = P(Z < 0) = P(Z ≤ 0) = .2Çàìå÷àíèå 8.2. Äîêàçàííàÿ ëåììà ïîçâîëÿåò ïîëüçîâàòüñÿ òàáëèöàìè ôóíêöèè Ëàïëàñà Φ(t) òîëüêî ïðè ïîëîæèòåëüíûõ t.Ñëåäóþùàÿ ëåììà âûðàæàåò ô. ð. ïðîèçâîëüíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíàNa,σ2 ÷åðåç ôóíêöèþ Ëàïëàñà.54Ëåììà 8.2. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ. â. X ⊂= Na,σ2 âû÷èñëÿåòñÿ ïîôîðìóëå(Φa, σ2(t) = Φt−aσ).(8.14)Äîêàçàòåëüñòâî. Âñïîìíèì, ÷òî ñîãëàñíî (8.11) ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå X = a+σZ , ãäå Z èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.Âûðàçèì ô. ð. Φa, σ (t) ïî îïðåäåëåíèþ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ:()()t−at−aΦa, σ2 (t) = P(X < t) = P(a + σZ < t) = P Z <=Φ.σσŸ 8.4.Ãåíåðèðîâàíèå ñëó÷àéíûõ ÷èñåëÐàññìîòèì ãåíåðèðîâàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ ðàñïðåäåëåíèå F . Äëÿïðîñòîòû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî F ñòðîãî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ.Îòìåòèì, ÷òî çäåñü ìû ðàññìîòðèì òîëüêî îäèí ñïîñîá ãåíåðèðîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Îêàçûâàåòñÿ, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà F −1 (ω), ãäå ω èìååò ðàâíîìåðíîåðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0, 1], ðàñïðåäåëåíà ïî çàêîíó F .

Ýòî ìîæíî óñòàíîâèòü, âîñïîëüçîâàâøèñü ìîíîòîííîñòüþ F . Äåéñòâèòåëüíî,P(F −1 (ω) < t) = P(ω < F (t)) = F (t),â ñèëó òîãî, ÷òî ω ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà íà îòðåçêå [0; 1]. Ïîýòîìóäëÿ òîãî, ÷òîáû ñãåíåðèðîâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X1 , X2 , . . . íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ðàñïðåäåëåíèåì F , äîñòàòî÷íî ñãåíåðèðîâàòüïîñëåäîâàòåëüíîñòü ω1 , ω2 , . . . íåçàâèñèìûõ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõíà [0, 1] ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ïîëîæèòü Xi = F −1 (ωi ), i = 1, 2, . . ..

Äëÿãåíåðèðîâàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ íà îòðåçêå [0, 1] ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæíî èñïîëüçîâàòü, íàïðèìåð, ïàêåò ïðîãðàìì MS Excel. Äëÿ ýòîãî â ïóíêòå ìåíþ ¾Âñòàâêà¿ íóæíî îòêðûòü ïóíêò¾Ôóíêöèÿ¿ è â êàòåãîðèè ¾ìàòåìàòè÷åñêèå¿ íàéòè âñòðîåííóþ ôóíêöèþÑË×ÈÑ() ýòà ôóíêöèÿ áóäåò âûäàâàòü ïðè êàæäîì åå çàïóñêå ÷èñëà, ðàâíîìåðíîðàñïðåäåëåííûå íà îòðåçêå [0, 1].  ñëåäóþùåì ïðèìåðå ìû äëÿ êîíêðåòíîãî F ñãåíåðèðóåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Ïðèìåð 8.1. Ñãåíåðèðîâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýêñïîíåíöèàëüíîðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.55Ðåøåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì α (îáîçíà÷åíèå: X ⊂= Eα ), åñëèåå ðàñïðåäåëåíèå èìååò âèä{1 − exp(−αt), åñëè t > 0,FX (t) =0,åñëè t ≤ 0.(8.15)Òîãäà F −1 (t) = − α1 ln(1−t).

Äàëåå ãåíåðèðóåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ íà îòðåçêå [0, 1] ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí: ω1 , ω2 , . . .. èòîãå ïîñëåäîâàòåëüíîñòüF −1 (ωi ) = −1ln(1 − ωi ), i = 1, 2, . . .αè ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé.▽Ÿ 8.5.Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâÏðèìåð 8.2. Òî÷êà ω = (ω1 , ω2 ) âûáèðàåòñÿ íàóäà÷ó â òðåóãîëüíèêå ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ (0,0), (2,1) è (2,0). Íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , åñëè:à) X(ω) = ω1 ;á) X(ω) = ω2 .Ðåøåíèå. à) Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ (8.1), ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿFX (x) åñòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèìåò çíà÷åíèå,ìåíüøåå x.Òàê êàê òî÷êà ω = (ω1 , ω2 ) âûáèðàåòñÿ â ïðåäåëàõ òðåóãîëüíèêà Ω (ñì.ðèñ.??), òî ñ.â. X(ω) = ω1 ìîæåò ïðèíèìàòü ñâîè çíà÷åíèÿ ëèøü â ïðåäåëàõ îòðåçêà [0, 2].Ïîýòîìó ïðè x ≤ 0 èìååì FX (x) = P(X < x) = 0, à ïðè x > 2 ïîëó÷àåìFX (x) = P(X < x) = 1.Ïóñòü òåïåðü 0 < x ≤ 2.

Òîãäà ñîáûòèå {X < x} = {ω1 < x} îçíà÷àåò,÷òî òî÷êà ω = (ω1 , ω2 ) îêàæåòñÿ ëåâåå ïðÿìîé ω1 = x, òî åñòü îêàæåòñÿâ îáëàñòè Ax , çàøòðèõîâàííîé íà ðèñ. 8.6.Ðèñ. 8.6: Âû÷èñëåíèå ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ â ïðèìåðå 8.2.56ω21ω261A0xΩxx62ω61BxΩ-02 ω1Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ýòó îáëàñòü íàõîäèì ñîãëàñíî ãåîìåòðè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþFX (x) = P(X < x) = P(ω ∈ Ax ) =µ(Ax )x2=.µ(Ω)4Òàêèì îáðàçîì, èñêîìàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â.

X ðàâíàåñëè x ≤ 0,0,2FX (x) = x4 , åñëè 0 < x ≤ 2,1,åñëè x > 2.á) Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó, íàõîäèì:FX (x) = P(X < x) = P(ω2 < x) = 0ïðè x ≤ 0;FX (x) = P(X < x) = P(ω2 < x) = 1ïðè x > 1. Ïóñòü 0 < x ≤ 1. Òîãäà èìååì (ñì. ðèñ.

??):FX (x) = P(X < x) = P(ω2 < x) =µ(Bx )1 − (1 − x)2== 2x − x2 .µ(Ω)1Ïîëíîå âûðàæåíèå äëÿ ô.ð. ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X èìååò âèä:åñëè x ≤ 0,0,FX (x) = 2x − x2 , åñëè 0 < x ≤ 1,▽1,åñëè x > 1.Ïðèìåð 8.3.Ìîíåòó áðîñàþò n = 3 ðàçà. Íàéòè ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ è ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ: à) ÷èñëà âûïàäåíèé ãåðáà; á) ðàçíîñòè÷èñåë âûïàäåíèÿ ãåðáà è ðåøåòêè.57Ðåøåíèå. à) Îáîçíà÷àÿ X ÷èñëî âûïàäåíèé ãåðáà, çàìåòèì, ÷òîñ.â. X ìîæåò ïðèíèìàòü ëèøü êîíå÷íîå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé: 0, 1, 2, 3.Ñëåäîâàòåëüíî, ðàñïðåäåëåíèå X äèñêðåòíî, à ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìè Áåðíóëëè (6.1):pk = P(X = k) = Cnk pk q n−k , k = 0, 1, ..., n.Ïîäñòàâëÿÿ â ýòè ôîðìóëû çíà÷åíèÿ p = q = 21 , n = 3, íàõîäèì:p0 = C30133111= , p1 = C31 3 = , p2 = , p3 = .2382888Íàéäåííûé ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàáëèöåé:iP(X = i)01/813/823/831/8Ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîùå âñåãî ïðåäñòàâèòü ãðàôè÷åñêè ïîäîáíîðèñ.

8.7. F (t)X167812180uuuu123-tÐèñ. 8.7: Ãðàôèê FX (t) â ïðèìåðå 8.3.Àíàëèòè÷åñêè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ FX (t) ìîæíî çàäàòü ôîðìóëîé:0,åñëè t ≤ 0,1/8,åñëè 0 < t ≤ 1,FX (t) = 1/2, åñëè 1 < t ≤ 2,7/8, åñëè 2 < t ≤ 3,1,åñëè t > 3.58á) Îáîçíà÷àÿ Y ðàçíîñòü ÷èñåë âûïàäåíèÿ ãåðáà è ðåøåòêè, çàìåòèì, ÷òî Y = X − (3 − X) = 2X − 3. Ñëåäîâàòåëüíî, Y ìîæåò ïðèíèìàòü êîíå÷íîå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé: −3, −1, 1, 3. Ïîýòîìó ðàñïðåäåëåíèåñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y äèñêðåòíî, à åå ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿèç ñîîòíîøåíèé:pi = P(X = i) = P(2X − 3 = 2i − 3) = P(Y = 2i − 3), i = 0, 1, 2, 3.Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ pi èç òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ X , ïîëó÷èì ðÿäðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ Y :kP(Y = k)−31/8−13/813/831/8Ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ FY (t) ñòðîèì òàê æå, êàê â ïóíêòå à), ñïîìîùüþ ðÿäà ðàñïðåäåëåíèÿ Y.▽Ïðèìåð 8.4.

Ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [a; b] (îáîçíà÷åíèå: X ⊂= U[a; b] ),åñëè åå ðàñïðåäåëåíèå àáñîëþòíî íåïðåðûâíî ñ ïëîòíîñòüþ{C = const, åñëè t ∈ [a; b],fX (t) =0,åñëè t ∈/ [a; b].(8.16)Ñ÷èòàÿ, ÷òî X ⊂= U[0; 1] , íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí: Y = 2X + 1; Z = X 2 .Ðåøåíèå. Èç âèäà ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. X ⊂= U[a; b] âûòåêàåò,÷òî P(a ≤ X ≤ b) = 1. Òàê êàê Y = 2X + 1, òî âñå çíà÷åíèÿ Y ñâåðîÿòíîñòüþ 1 ïðèíàäëåæàò îòðåçêó [2a + 1; 2b + 1]. Ïîäñòàâëÿÿ a = 0,b = 1, íàõîäèì: P(1 ≤ Y ≤ 3) = 1. Ñëåäîâàòåëüíî,åñëè t ≤ 1,0,(8.17)FY (t) = P(Y < t) = P(2X + 1 < t), åñëè 1 < t ≤ 3,1,åñëè t > 3.Âû÷èñëèì âåðîÿòíîñòü â ñðåäíåé ñòðîêå ïîñëåäíåé ôîðìóëû, ïîëüçóÿñü ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ⊂= U [0; 1]:0, åñëè t ≤ 0,FX (t) = t, åñëè 0 < t ≤ 1,(8.18)1, åñëè t > 1.59()()t−1t−1t−1P(2X + 1 < t) = P X <= FX=,222òàê êàê 1 < t ≤ 3, à çíà÷èò, è 0 < t−12 ≤ 1.

Ïîäñòàâëÿÿ ðåçóëüòàò ýòîãîâû÷èñëåíèÿ â (8.17), ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíî:åñëè t ≤ 1,0,t−1FY (t) =2 , åñëè 1 < t ≤ 3,1,åñëè t > 3.Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. Y íàõîäèì â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâîìf4 äèôôåðåíöèðîâàíèåì ô.ð. FY (t) :{0, åñëè t ∈/ [1; 3],′fY (t) = FY (t) = 12 , åñëè 1 < t < 3.Ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. Z = X 2 íàõîäèì àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó, ïðè÷åì ñ ñàìîãî íà÷àëà çàìåòèì, ÷òî P(Z ∈ [0; 1]) = 1, à ñëåäîâàòåëüíî,åñëè t ≤ 0,0,FZ (t) = P(Z < t) = P(Z < t), åñëè 0 < t ≤ 1,(8.19)1,åñëè t > 1.Ïóñòü 0 < t ≤ 1. Òîãäà√√FZ (t) = P(Z < t) = P(X 2 < t) = P(|X| < t) = P(X < t),√òàê êàê P(X ∈ [0; 1]) = 1. Âåðîÿòíîñòü P(X < t) âû÷èñëÿåì, ïîëüçóÿñüèçâåñòíûìâûðàæåíèåì (8.18) äëÿ ô.ð. X ⊂= U [0; 1] è ó÷èòûâàÿ, ÷òî√0 < t ≤ 1:√√P(X < t) = t.Ïîäñòàâëÿÿ ðåçóëüòàòû ïðîäåëàííûõ âû÷èñëåíèé â (8.19), ïîëó÷àåìåñëè t ≤ 0,0,√FZ (t) = P(Z < t) =t, åñëè 0 < t ≤ 1,1,åñëè t > 1.Íàêîíåö, ïëîòíîñòü fZ (t) íàõîäèì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ FZ (t):{0,åñëè t ∈/ [0, 1],′fZ (t) = FZ (t) =▽1√, åñëè 0 < t < 1.2 t60Ÿ 8.6.Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ8.1 Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ áàñêåòáîëüíîãî ìÿ÷à â êîëüöî ïðè áðîñàíèèíà÷èíàþùèì ñïîðòñìåíîì ðàâíà 1/4.

Характеристики

Список файлов книги