1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî:à) ìîíåòà ïîïàäåò öåëèêîì âíóòðü êâàäðàòà;á) ìîíåòà ïåðåñå÷åò íå áîëåå îäíîé ñòîðîíû êâàäðàòà.3.3  èíòåðâàëå âðåìåíè [0, T ] â ñëó÷àéíûé ìîìåíò u ïîÿâëÿåòñÿ ñèãíàëäëèòåëüíîñòè ∆. Ïðèåìíèê âêëþ÷àåòñÿ â ñëó÷àéíûé ìîìåíò v ∈ [0, T ] íàâðåìÿ t. Ïðåäïîëîæèâ, ÷òî òî÷êà (u, v) ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà íà êâàäðàòå [0, T ] × [0, T ], íàéòè âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ ñèãíàëà.263.4  êâàäðàò ñ âåðøèíàìè (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) íàóäà÷ó áðîøåíà òî÷êà.Ïóñòü (X, Y ) áóäóò åå êîîðäèíàòû. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ 0 ≤ x, y ≤ 1âûïîëíåíî:P{X < x, Y < y} = P{X < x}P{Y < y} = xy .Äëÿ 0 < z < 1 íàéòè:à) P{|X − Y | < z};ã) P{XY < z};á) P{min(X, Y ) < z};ä) P{max(X, Y ) < z};â) P{(X + Y )/2 < z};e) P{X + 2Y < z}.3.5 Ñòåðæåíü äëèíû l ðàçëîìàí â äâóõ íàóäà÷ó âûáðàííûõ òî÷êàõ.
Ñ êà-êîé âåðîÿòíîñòüþ èç ïîëó÷åííûõ îòðåçêîâ ìîæíî ñîñòàâèòü: à) òðåóãîëüíèê; á) îñòðîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê?3.6 Íà îêðóæíîñòè íàóäà÷ó âûáðàíû òðè òî÷êè A, B , C . Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òðåóãîëüíèê ABC áóäåò:à)îñòðîóãîëüíûì;ã)ïðàâèëüíûì;á)òóïîóãîëüíûì;ä)ðàâíîáåäðåííûì.â)ïðÿìîóãîëüíûì;3.7 Íà ïåðåêðåñòêå óñòàíîâëåí àâòîìàòè÷åñêèé ñâåòîôîð, â êîòîðîì îäíóìèíóòó ãîðèò çåëåíûé ñâåò è ïîëìèíóòû êðàñíûé, çàòåì ñíîâà îäíó ìèíóòó çåëåíûé è ïîëìèíóòû êðàñíûé è ò.ä.  ñëó÷àéíûé ìîìåíò âðåìåíèê ïåðåêðåñòêó ïîäúåçæàåò ëåãêîâîé àâòîìîáèëü.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî,÷òî îí ïðîåäåò ïåðåêðåñòîê áåç îñòàíîâêè?3.8 Òî÷êà âçÿòà íàóäà÷ó âíóòðè êðóãà ðàäèóñîì R. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî ýòà òî÷êà îêàæåòñÿ îò öåíòðà íà ðàññòîÿíèè, ìåíüøåì r.3.9 Íàóäà÷ó âûáèðàþò äâà ÷èñëà èç ïðîìåæóòêà [0, 1]. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èõ ñóììà áîëüøå èëè ðàâíà 1, à èõ ðàçíîñòü ìåíüøå ëèáîðàâíà 0?3.10 Äâîå ñòóäåíòîâ óñëîâèëèñü âñòðåòèòüñÿ â îïðåäåëåííîì ìåñòå è âîïðåäåëåííûé äåíü ìåæäó 12 è 13 ÷àñàìè. Ïðèøåäøèé ïåðâûì æäåò âòîðîãî â òå÷åíèå 10 ìèí, ïîñëå ÷åãî óõîäèò. Íàéòè âåðîÿòíîñòü âñòðå÷è ñòóäåíòîâ, åñëè ïðèõîä êàæäîãî èç íèõ íåçàâèñèì è ðàâíîâîçìîæåí â ëþáîéïðîìåæóòîê âðåìåíè.27Ãëàâà 4Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè 4.1.Îïðåäåëåíèÿ è ïðèìåðûÄëÿ ëþáûõ ñîáûòèé A, B , ãäå P(B) > 0, óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþñîáûòèÿ A ïðè óñëîâèè B íàçûâàåòñÿ ÷èñëîP(A/B) =P(AB).P(B)(4.1)Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü âîçíèêàåò â ñèòóàöèè, êîãäà èìååòñÿ ÷àñòè÷íàÿ èíôîðìàöèÿ î ðåçóëüòàòàõ ñëó÷àéíîãî ýêñïåðèìåíòà (¾ïðîèçîøëî ñîáûòèåB ¿), è â ýòèõ óñëîâèÿõ òðåáóåòñÿ íàéòè âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A. 4.2.Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâÏðèìåð 4.1.Áðîøåíû òðè èãðàëüíûå êîñòè.
×åìó ðàâíà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà îäíîé èç íèõ âûïàëà åäèíèöà, åñëè íà âñåõ òðåõêîñòÿõ âûïàëè ðàçíûå ÷èñëà?Ðåøåíèå. Ïåðâûé ñïîñîá. Îáîçíà÷èì ñîáûòèÿ: A = {íà îäíîéèç êîñòåé âûïàëà åäèíèöà}, B = {íà âñåõ êîñòÿõ âûïàëè ðàçíûå ÷èñëà}. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω åñòü ìíîæåñòâî âñåõ óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðîâ ÷èñåë (i, j, k), âûïàâøèõ ñîîòâåòñòâåííî íà 1-é, 2-éè 3-é êîñòÿõ. Ïîñêîëüêó êàæäîå èç ýòèõ ÷èñåë ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáîåèç çíà÷åíèé îò 1 äî 6, òî Ω åñòü ìíîæåñòâî âñåõ âûáîðîê ñ âîçâðàùåíèåì îáúåìà 3 èç øåñòè. Îáùåå ÷èñëî âñåõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ðàâíîN (Ω) = B63 = 63 .
Ñîáûòèå B îáðàçîâàíî âñåìè âûáîðêàìè áåç âîçâðàùåíèÿ, èõ ÷èñëî N (B) = A36 = 6[3] , âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ B ðàâíà28[3]= 59 . Ñîáûòèå AB îáðàçîâàíî òàêèìè âûáîðêàìèP(B) = 663 = 6·5·463áåç âîçâðàùåíèÿ (i, j, k), ó êîòîðûõ íà îäíîé èç òðåõ ïîçèöèé ñòîèò ¾1¿,à íà îñòàëüíûõ - ðàçëè÷íûå ÷èñëà îò 2 äî 6. ×èñëî òàêèõ âûáîðîê ðàâíî5N (AB) = 3 · 5 · 4, à âåðîÿòíîñòü P(AB) = 3·5·463 = 18 . Òîãäà óñëîâíóþâåðîÿòíîñòü íàõîäèì ïî ôîðìóëå (4.1):P(A/B) =P(AB)=P(B)51859=1.2Âòîðîé ñïîñîá. Ïîñêîëüêó èçâåñòíî, ÷òî íà âñåõ êîñòÿõ âûïàëè ðàçíûå÷èñëà, òî åñòü ïðîèçîøëî ñîáûòèå B , òî ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõèñõîäîâ ìîæíî ñ÷èòàòü ìíîæåñòâî B .
 ýòîì ñëó÷àå ïîÿâëåíèå ñîáûòèÿA ðàâíîñèëüíî ïîÿâëåíèþ ïåðåñå÷åíèÿ AB . Òîãäà óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòüñîáûòèÿ A âû÷èñëÿåòñÿ ïî êëàññè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþ:P(A/B) = 4.3.N (AB)3·5·43·5·41== .=[3]N (B)6·5·426▽Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿÁðîøåíû äâå èãðàëüíûå êîñòè. ×åìó ðàâíà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òîñóììà âûïàâøèõ íà íèõ î÷êîâ ðàâíà 8, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ýòà ñóììà åñòü÷åòíîå ÷èñëî?4.2 Áðîøåíû äâå èãðàëüíûå êîñòè. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íàïåðâîé êîñòè âûïàëî 4 î÷êà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî íà âòîðîé êîñòè âûïàëîáîëüøå î÷êîâ, ÷åì íà ïåðâîé?4.3 Èçâåñòíî, ÷òî ïðè áðîñàíèè 10 èãðàëüíûõ êîñòåé âûïàëà ïî êðàéíåéìåðå îäíà åäèíèöà. Êàêîâà ïðè ýòîì âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âûïàëè äâåèëè áîëåå åäèíèöû?4.4  ÿùèêå ëåæàò 12 êðàñíûõ, 8 çåëåíûõ è 10 ñèíèõ øàðîâ.
Íàóäà÷óâûíèìàþò äâà øàðà. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âûíóòû øàðû ðàçíîãîöâåòà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ñðåäè íèõ íåò ñèíåãî?4.5 Èãðàëüíàÿ êîñòü áðîñàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà íå âûïàäåò åäèíèöà.Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ýòîãî ïîòðåáîâàëîñü ÷åòíîå ÷èñëî áðîñàíèé. Íàéòèâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî åäèíèöà âûïàäåò ïðè âòîðîì áðîñàíèè.4.6 Ïóñòü P(A1 /A2 ) = P(A1 ). Ïîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùèõðàâåíñòâ:à) P(A1 /A2 ) = P(A1 );á) P(A1 /A2 ) = P(A1 ).4.7 Äâîå èãðàþò â èãðó, ïîî÷åðåäíî âûíèìàÿ øàð èç óðíû, ñîäåðæàùåé3 áåëûõ è 5 ÷åðíûõ øàðîâ.
Âûèãðàâøèì ñ÷èòàåòñÿ òîò, êòî ïåðâûì âûíåòáåëûé øàð. ×åìó ðàâíà âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà äëÿ íà÷àâøåãî èãðó, åñëè4.129ïîñëå êàæäîãî íåóäà÷íîãî ýêñïåðèìåíòà øàð âîçâðàùàåòñÿ â óðíó?4.8 Ïèñüìî íàõîäèòñÿ â ñòîëå ñ âåðîÿòíîñòüþ p, ïðè÷åì ñ ðàâíîéâåðîÿòíîñòüþ îíî ìîæåò áûòü â ëþáîì èç âîñüìè ÿùèêîâ ñòîëà. Ìûïåðåñìîòðåëè 7 ÿùèêîâ è ïèñüìà íå îáíàðóæèëè. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òîïèñüìî:à) íàõîäèòñÿ â âîñüìîì ÿùèêå;á) îòñóòñòâóåò â ñòîëå?4.9 Èç ïîëíîé êîëîäû êàðò (52 ëèñòà) âûíèìàþò ñðàçó äâå êàðòû.Îäíó èç íèõ ñìîòðÿò îíà îêàçàëàñü äàìîé, ïîñëå ýòîãî âûíóòûå êàðòûïåðåìåøèâàþò è îäíó èç íèõ áåðóò íàóãàä.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü, ÷òî îíàîêàæåòñÿ òóçîì.4.10 ×åòûðå øàðà ïîñëåäîâàòåëüíî ðàçìåùàþòñÿ â ÷åòûðåõ ÿùèêàõ.Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îäèí èç ÿùèêîâ áóäåò ñîäåðæàòü ðîâíî òðèøàðà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïåðâûå äâà øàðà îêàçàëèñü â ðàçíûõ ÿ÷åéêàõ?4.11 Äâà èãðîêà èãðàþò â áåçîáèäíóþ èãðó (ó îáîèõ øàíñû ïîáåäèòü îäèíàêîâû, íè÷üèõ íåò), è îíè äîãîâîðèëèñü, ÷òî òîò, êòî ïåðâûì âûèãðàåòøåñòü ïàðòèé, ïîëó÷èò âåñü ïðèç. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà ñàìîì äåëå èãðàîñòàíîâèëàñü äî òîãî, êàê îäèí èç íèõ âûèãðàë ïðèç, íàïðèìåð, ïåðâûéèãðîê âûèãðàë ïÿòü ïàðòèé, à âòîðîé òðè. Êàê ñïðàâåäëèâî ñëåäóåòðàçäåëèòü ïðèç?4.12 Äîêàçàòü, ÷òî åñëè C ⊆ B ⊆ A, òî P(C/A) = P(C/B)P(B/A).30Ãëàâà 5Íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿÄâà ñîáûòèÿ A, B íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè äëÿ íèõ âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå:P(AB) = P(A) · P(B).(5.1)Åñëè P(B) > 0, òî íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé A, B ðàâíîñèëüíà âûïîëíåíèþðàâåíñòâàP(A/B) = P(A),êîòîðîå îçíà÷àåò, ÷òî âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A íå çàâèñèò îò ïîÿâëåíèÿ B .Ñîáûòèÿ A1 , A2 , ..., An íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè,åñëè äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî íàáîðà èç ýòèõ ñîáûòèé âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå:P(Ai1 · Ai2 · · · Aik ) = P(Ai1 ) · P(Ai2 ) · · · P(Aik ).(5.2)Ñîáûòèÿ A1 , A2 , ..., An íàçûâàþòñÿ ïîïàðíî íåçàâèñèìûìè , åñëè ëþáûå äâà èç íèõ íåçàâèñèìû. 5.1.Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâÒî÷êà ξ = (ξ1 , ξ2 ) âûáðàíà íàóäà÷ó â êâàäðàòå [0, 1]2 .Ïóñòü A = {ξ1 ≤ 1/2}, B = {ξ2 ≤ 1/2} C = {(ξ1 − 1/2)(ξ2 − 1/2) > 0}.Âûÿñíèòü, íåçàâèñèìû ëè ýòè ñîáûòèÿ:à) â ñîâîêóïíîñòè;á) ïîïàðíî.Ïðèìåð 5.1.Ðåøåíèå.
Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ - åäèíè÷íûé êâàäðàòΩ = [0, 1]2 . Ñîáûòèå A ëåâàÿ åãî ïîëîâèíà, ñîáûòèå B íèæíÿÿ, ñîáûòèåC ïðåäñòàâëÿåò îáúåäèíåíèå äâóõ êâàäðàòîâAB = {ξ1 ≤ 1/2, ξ2 ≤ 1/2}A B = {ξ1 ≥ 1/2, ξ2 ≥ 1/2},31çàøòðèõîâàííûõ íà ðèñ.5.1.
Âåðîÿòíîñòè ýòèõ ñîáûòèé íàéäåì ñ ïîìîùüþξ216AAB12BAB0112-ξ1Ðèñ. 5.1:ãåîìåòðè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ:P(A) =1,2P(B) =1,2P(C) =1.2Âåðîÿòíîñòè ïîïàðíûõ ïåðåñå÷åíèé ðàâíû:P(AB) =11= P(A) · P(B), P(AC) = = P(A) · P(C),441= P(B) · P(C).4Òàêèì îáðàçîì, äàííûå ñîáûòèÿ ïîïàðíî íåçàâèñèìû. Òàê êàêABC = AC = BC = AB , òîP(BC) =P(ABC) =1̸= P(A) · P(B) · P(C),4à çíà÷èò, ñîáûòèÿ A, B, C íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè. ▽ 5.2.Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ5.1 Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñîáûòèÿ A è B íåñîâìåñòíû, P(A) > 0 è P(B) > 0,òî ñîáûòèÿ A è B çàâèñèìû.5.2 Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñîáûòèÿ A è B íåçàâèñèìû, òî òàêæå íåçàâèñèìû32ñîáûòèÿ: a) A è B ; á) A è B ; â) A è B .5.3 Ðàññìîòðèì âñå âîçìîæíûå ïåðåñòàíîâêè ÷åòûðåõ áóêâ a, b, c èd. Îïðåäåëèòü, çàâèñèìû èëè íåò ñîáûòèÿ A = {a ïðåäøåñòâóåò b} èB = {c ïðåäøåñòâóåò d}.5.4 Áðîøåíû äâå èãðàëüíûå êîñòè.
Ðàññìîòðèì òðè ñîáûòèÿ: A íà ïåðâîé êîñòè âûïàëî íå÷åòíîå ÷èñëî, B íà âòîðîé êîñòè âûïàëî íå÷åòíîå÷èñëî, C ñóììà ÷èñåë íà îáåèõ êîñòÿõ íå÷åòíà. Ïðîâåðèòü, çàâèñèìûèëè íåò ñîáûòèÿ A, B , C :à) â ñîâîêóïíîñòè;á) ïîïàðíî.5.5 Ïóñòü ñîáûòèå A òàêîâî, ÷òî îíî íå çàâèñèò îò ñàìîãî ñåáÿ. Äîêàçàòü,÷òî òîãäà P(A) = 0 èëè P(A) = 1.5.6Áðîøåíû ïîñëåäîâàòåëüíî òðè ìîíåòû. Îïðåäåëèòü, çàâèñèìû èëè íåò ñîáûòèÿ A = {âûïàë ãåðá íà ïåðâîé ìîíåòå} è B ={âûïàëà õîòÿ áû îäíà ðåøêà}.5.7 Íà ðèñ.
5.2 ïðèâåäåíà ñõåìà ñîåäèíåíèÿ ýëåìåíòîâ, îáðàçóþùèõ ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îòêàçû ýëåìåíòîâ ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè ñîáûòèÿìè. Ñ÷èòàåòñÿ èçâåñòíîé íàäåæíîñòü pkk -ãî ýëåìåíòà, òî åñòü âåðîÿòíîñòü åãî áåçîòêàçíîé ðàáîòû (ñîîòâåòñòâåííî qk = 1 − pk âåðîÿòíîñòü åãî îòêàçà). Âû÷èñëèòü íàäåæíîñòü p âñåéöåïè.2e41e3Ðèñ. 5.2:Ðèñ. 5.2.5.8 Áðîñàþòñÿ òðè ïðàâèëüíûå ìîíåòû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
