1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ïóñòü ñîáûòèå A ñîñòîèò â òîì,÷òî âûïàëî ïî êðàéíåé ìåðå äâå ðåøêè, à ñîáûòèå B â òîì, ÷òî õîòÿ áûíà îäíîé ìîíåòå âûïàë ãåðá. Îïèñàòü ñîáûòèå A. Îïðåäåëèòü, çàâèñèìûèëè íåò ñîáûòèÿ A è B .5.9 Áðîñàþòñÿ äâå èãðàëüíûå êîñòè. Ïóñòü ñîáûòèå A ñîñòîèò â òîì, ÷òî33âûïàâøàÿ ñóììà î÷êîâ íå÷åòíà, à ñîáûòèå B â òîì, ÷òî õîòÿ áû íàîäíîé èç êîñòåé âûïàëà åäèíèöà.
Îïèñàòü ñîáûòèå AB . Îïðåäåëèòü, çàâèñèìû èëè íåò ñîáûòèÿ A è B .5.10 Ïóñòü 0 < P(A) < P(B) < 1. Ñëåäóåò ëè îòñþäà íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé A è B ?5.11 ×òîáû íàéòè íóæíóþ êíèãó, ñòóäåíò ðåøèë îáîéòè 3 áèáëèîòåêè.Äëÿ êàæäîé áèáëèîòåêè îäèíàêîâî âåðîÿòíî, åñòü â ôîíäàõ ýòà êíèãà èëèíåò, è åñëè êíèãà åñòü â ôîíäàõ, òî ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,5 îíà íå çàíÿòà äðóãèì ÷èòàòåëåì.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñòóäåíò íàéäåò êíèãó, åñëèèçâåñòíî, ÷òî áèáëèîòåêè êîìïëåêòóþòñÿ íåçàâèñèìî îäíà îò äðóãîé?34Ãëàâà 6Íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ 6.1.Ôîðìóëû ÁåðíóëëèÐàññìîòðèì ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò, ñîñòîÿùèé èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (êîíå÷íîé èëè áåñêîíå÷íîé) îòäåëüíûõ îäíîòèïíûõ ýêñïåðèìåíòîâ I1 , I2 , ..., In , ..., êîòîðûå áóäåì íàçûâàòü èñïûòàíèÿìè. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî â êàæäîì èñïûòàíèè âîçìîæíû ëèøü äâà èñõîäà: ïîÿâëåíèåíåêîòîðîãî ñîáûòèÿ A ëèáî ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ A, ïðè ýòîì ïîÿâëåíèå A áóäåì íàçûâàòü ¾óñïåõîì¿, à ïîÿâëåíèå A ¾íåóäà÷åé¿.
Îáîçíà÷èì Ai ={ïîÿâëåíèå A (èëè ¾óñïåõ¿) â i-îì èñïûòàíèè}. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü ¾óñïåõà¿ â êàæäîì èñïûòàíèè îäíà è òà æå, ò.å.P(Ai ) = p, P(Ai ) = 1 − p = q ïðè âñåõ i.Îáîçíà÷èì ÷åðåç νn ÷èñëî ¾óñïåõîâ¿ â n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ.Î÷åâèäíî, νn ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå öåëûå çíà÷åíèÿ îò 0 äî n. Ââåäåì ñîáûòèÿ Bk = {νn = k}, k = 0, 1, .
. . , n. Âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé Bkâû÷èñëÿþòñÿ ïî ñëåäóþùèì ôîðìóëàì Áåðíóëëè:P(Bk ) = P(νn = k) = Cnk pk q n−k , k = 0, 1, ..., n.Ïîëèíîìèàëüíàÿ ñõåìà.(6.1)Ïóñòü èìååòñÿ n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé, íî â êàæäîì èñïûòàíèè ìîæåò íàñòóïèòü îäèí èç k âîçìîæíûõ èñõîäîâ: R1 , R2 , . . .
, Rk , ãäå äëÿêàæäîãî èç n èñïûòàíèé âåðîÿòíîñòè èñõîäîâ îäíè è òå æå: P(Rj ) =pj , j = 1, 2, ..., k , òàê ÷òî p1 + p2 + . . . + pk = 1. Ñîîòâåòñòâóþùåå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, â îòëè÷èå îò ñõåìû Áåðíóëëè, íàçûâàåòñÿ ïîëèíîìèàëüíîé ñõåìîé. Îáîçíà÷èì νjn ÷èñëî èñõîäîâ Rj â n íåçàâèñèìûõèñïûòàíèÿõ. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà îáîáùàåò ôîðìóëû Áåðíóëëè íà ñëó÷àéïîëèíîìèàëüíîé ñõåìû.35Òåîðåìà 6.1. Äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ n1 , n2 , ..., nk òàêèõ, ÷òîn = n1 + n2 + ... + nk ,P(ν1n = n1 , ν2n = n2 , ..., νkn = nk ) = 6.2.n!pn1 · pn2 2 · · · pnk k .n1 ! · n2 ! · · · nk ! 1(6.2)Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâÏðèìåð6.1. Ïðè ïåðåäà÷å ñîîáùåíèÿ âåðîÿòíîñòü èñêàæåíèÿîäíîãî çíàêà ðàâíà 1/10. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñîîáùåíèå èç 10çíàêîâ: à) íå áóäåò èñêàæåíî, á) ñîäåðæèò ðîâíî 3 èñêàæåíèÿ,â) ñîäåðæèò íå áîëåå òðåõ èñêàæåíèé?Ðåøåíèå.
Ïåðåäà÷ó n = 10 çíàêîâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé, èñêàæåíèå çíàêà áóäåì ñ÷èòàòü óñïåõîì, âåðîÿòíîñòüóñïåõà P(óñïåõà) = p = 1/10. Èñêîìûå âåðîÿòíîñòè íàõîäèì ïî ôîðìóëàìÁåðíóëëè:9 10à) P(νn = 0) = Cn0 p0 q n = q n = ( 10) ;1 3 9 73 3 n−33) ( 10 ) ;á) P(νn = 3) = Cn p q= C10 ( 1033∪∑9 101 1 9 9â) P(νn ≤ 3) = P{ (νn = k)} =Cnk pk q n−k = ( 10) + C1010 ( 10 ) +k=0k=01 2 9 81 3 9 723( 10( 10+C10) ( 10 ) + C10) ( 10 ) .▽Ïðèìåð 6.2.  îäíîì ó÷åáíîì çàâåäåíèè îáó÷àþòñÿ 730 ñòóäåíòîâ.Äåíü ðîæäåíèÿ íàóäà÷ó âûáðàííîãî ñòóäåíòà ïðèõîäèòñÿ íà îïðåäåëåííûé äåíü ãîäà ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/365 äëÿ êàæäîãî èç 365 äíåé.
Íàéòèâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íàéäóòñÿ òðè ñòóäåíòà, èìåþùèå îäèí è òîòæå äåíü ðîæäåíèÿ.Ðåøåíèå. Íàéäåì âåðîÿòíîñòü äîïîëíèòåëüíîãî ñîáûòèÿ, òî åñòü íàéäåì âåðîÿòíîñòü, òîãî ÷òî ðîâíî äâà ñòóäåíòà ðîäèëèñü â êàæäûé èç ìåñÿöåâ ãîäà. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ïîëèíîìèàëüíîé ñõåìîé.  íàøåì ñëó÷àå, î÷åâèäíî, n = 730, ïðè÷åì âåðîÿòíîñòü ðîæäåíèÿ íàóäà÷ó âûáðàííîãîñòóäåíòà â îïðåäåëåííûé äåíü îäèíàêîâà è ðàâíà pi = 1/365, i = 1...365.Ïîä ñîáûòèåì Ai , i = 1...365 ïîíèìàåòñÿ ðîæäåíèå âûáðàííîãî ñòóäåíòà âi-îì ìåñÿöå. Òîãäà íàì ñîáñòâåííî íóæíî íàéòè âåðîÿòíîñòü, ÷òî â 730 èñïûòàíèÿõ ïðîèçîéäåò ðîâíî 2 èñõîäà òèïà A1 , ðîâíî äâà èñõîäà òèïà A2 ,...,ðîâíî äâà èñõîäà òèïà A365 èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, νj730 = 2, j = 1...365. Â36òàêîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü äîïîëíèòåëüíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà:730!(1/365)730 .(2!)365Èñêîìàÿ æå âåðîÿòíîñòü ðàâíà 1 − 6.3.730!730(2!)365 (1/365)▽.Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿÈñïûòàíèå çàêëþ÷àåòñÿ â áðîñàíèè òðåõ èãðàëüíûõ êîñòåé.
Íàéòèâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ïÿòè íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ ðîâíî äâà ðàçàâûïàäåò ïî òðè åäèíèöû.6.2 Íàáëþäåíèÿìè óñòàíîâëåíî, ÷òî â íåêîòîðîé ìåñòíîñòè â ñåíòÿáðåâ ñðåäíåì áûâàåò 12 äîæäëèâûõ äíåé. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èçâîñüìè ñëó÷àéíî âçÿòûõ â ýòîì ìåñÿöå äíåé òðè äíÿ îêàæóòñÿ äîæäëèâûìè?6.3Ïóñòü âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â öåëü ðàâíà 1/5. Ïðîèçâîäèòñÿ10 íåçàâèñèìûõ âûñòðåëîâ. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â öåëü ïîìåíüøåé ìåðå äâàæäû?6.4 Âåðîÿòíîñòü ïîëó÷åíèÿ óäà÷íîãî ðåçóëüòàòà ïðè ïðîâåäåíèè ñëîæíîãîõèìè÷åñêîãî îïûòà ðàâíà 2/3. Íàéòè íàèâåðîÿòíåéøåå ÷èñëî óäà÷íûõîïûòîâ, åñëè èõ îáùåå ÷èñëî ðàâíî 7.6.5 Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â öåëü ïðè êàæäîì âûñòðåëå èç îðóäèÿ ðàâíà4/5.
Ñêîëüêî íóæíî ïðîèçâåñòè âûñòðåëîâ, ÷òîáû íàèâåðîÿòíåéøåå ÷èñëîïîïàäàíèé áûëî ðàâíî 20?6.6 Êàæäóþ ñåêóíäó ñ âåðîÿòíîñòüþ p íåçàâèñèìî îò äðóãèõ ìîìåíòîââðåìåíè ïî äîðîãå ïðîåçæàåò àâòîìàøèíà. Ïåøåõîäó äëÿ ïåðåõîäà äîðîãèíåîáõîäèìî 3 ñ. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîäîøåäøèé ê äîðîãåïåøåõîä áóäåò îæèäàòü âîçìîæíîñòè ïåðåõîäà: à) 3 ñ; á) 4 ñ; â) 5ñ?6.7 Äâîå ïî î÷åðåäè áðîñàþò ìîíåòó. Âûèãðûâàåò òîò, êòî ïåðâûìïîëó÷èò ¾ãåðá¿. Íàéòè âåðîÿòíîñòü ñîáûòèé:à) èãðà çàêîí÷èòñÿ äî 4 áðîñàíèÿ;á) âûèãðàåò íà÷àâøèé èãðó (ïåðâûé èãðîê);â) âûèãðàåò âòîðîé èãðîê.6.8  ñõåìå Áåðíóëëè p âåðîÿòíîñòü èñõîäà 1 è q = 1 − p âåðîÿòíîñòüèñõîäà 0.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî öåïî÷êà 00 (äâà íóëÿ ïîäðÿä)ïîÿâèòñÿ ðàíüøå öåïî÷êè 10.  ÷àñòíîñòè, âû÷èñëèòü ýòó âåðîÿòíîñòüïðè p = 1/2.6.9 Òåõíè÷åñêèé êîíòðîëü ïðîâåðÿåò èçäåëèÿ, êàæäîå èç êîòîðûõ íåçàâèñèìî îò äðóãèõ èçäåëèé ìîæåò ñ âåðîÿòíîñòüþ p îêàçàòüñÿ äåôåêòíûì.6.137à) Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç 10 ïðîâåðåííûõ èçäåëèé òîëüêî îäíîîêàçàëîñü äåôåêòíûì?á) Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðâûì äåôåêòíûì îêàçàëîñü k -å ïðîâåðåííîå èçäåëèå.â) Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîñëåäóþùèå 10 èçäåëèé îêàæóòñÿ ãîäíûìè ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðåäûäóùèå l = 5 èçäåëèé áûëè òàêæå ãîäíûìè.Çàâèñèò ëè ýòà âåðîÿòíîñòü îò l?ã) Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÷èñëî îáíàðóæåííûõ ïðè ïðîâåðêå ãîäíûõèçäåëèé ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè äåôåêòíûìè ðàâíî k .6.10  íåêîòîðîé ãðóïïå ëþäåé äàëüòîíèêè ñîñòàâëÿþò 1%.
Íàéòèâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè 100 ÷åëîâåê:à) íåò äàëüòîíèêîâ;á) äàëüòîíèêîâ äâà èëè áîëüøå.6.11 Îòðåçîê [0, 10] òî÷êàìè 1, 2, 3, 4, 7 ðàçäåëåí íà ÷åòûðå îòðåçêàäëèíû 1 è íà äâà îòðåçêà äëèíû 3. Ïóñòü A1 , ..., A8 íåçàâèñèìûåñëó÷àéíûå òî÷êè, èìåþùèå ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0, 10].Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç ýòèõ òî÷åê â äâà êàêèõ-ëèáî îòðåçêàäëèíîé 1 ïîïàäåò ïî 2 òî÷êè, à â êàæäûé èç îñòàâøèõñÿ îòðåçêîâ ïîîäíîé òî÷êå?6.12 Íà îòðåçîê AB äëèíû a áðîøåíû íàóäà÷ó, íåçàâèñèìî îäíà îòäðóãîé, øåñòü òî÷åê. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî:à) äâå òî÷êè áóäóò íàõîäèòñÿ îò òî÷êè A íà ðàññòîÿíèè, ìåíüøåì b, à÷åòûðå íà ðàññòîÿíèè áîëüøåì b;á) äâå òî÷êè áóäóò íàõîäèòñÿ îò òî÷êè A íà ðàññòîÿíèè, ìåíüøåì c,îäíà íà ðàññòîÿíèè, íå ìåíüøåì c è íå áîëüøåì b, à òðè òî÷êè íàðàññòîÿíèè áîëüøåì b.6.13 Êàêîâà âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü êàæäóþ ãðàíü äâàæäû ïðè áðîñàíèèäâåíàäöàòè èãðàëüíûõ êîñòåé?38Ãëàâà 7Ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è Áàéåñà 7.1.Ïîëíàÿ ãðóïïà ñîáûòèéÏðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ A ìîæíî íàéòè êîíå÷íóþ èëè áåñêîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîáûòèé {Hk }, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:C1.
Ñîáûòèÿ {Hk } ïîïàðíî íåñîâìåñòíû, ò.å. Hi ∩ Hj = ∅ ïðè i ̸= j.C2. Ñîáûòèå A ïðîèñõîäèò, ëèøü êîãäà ïðîèñõîäèò îäíî èç ñîáûòèé Hk ,ò.å.∪A⊆Hk .kC3. P(Hk ) > 0 ïðè âñåõ k .Íàáîð ñîáûòèé, óäîâëåòâîðÿþùèé ýòèì óñëîâèÿì, íàçûâàþò ïîëíîéãðóïïîé ñîáûòèé (ãèïîòåç). Óñëîâèÿ C1C2 ðàâíîñèëüíû òîìó, ÷òîâìåñòå ñ ñîáûòèåì A âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç ñîáûòèé {Hk }, ïðè÷åì òîëüêî îäíî. Åñëè ñîáûòèå A è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîáûòèé {Hk }óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì C1C3, òî âåðîÿòíîñòü P(A) ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ñëåäóþùåé ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè:∑P(A/Hk )P(Hk ).(7.1)P(A) =k òåõ æå óñëîâèÿõ, åñëè ïðîèçîøëî ñîáûòèå A ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè, òî ñ ó÷åòîì ýòîãî ñîáûòèÿ íîâûå, ò. å.
óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèéHj âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå ÁàéåñàP(A/Hj )P(Hj )P(Hj /A) = ∑.k P(A/Hk )P(Hk )Ýòè âåðîÿòíîñòè íàçûâàþòñÿ àïîñòåðèîðíûìè (ò. å. âû÷èñëÿåìûìè ïîñëåîñóùåñòâëåíèÿ ñîáûòèÿ A).39 7.2.Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâÏðèìåð 7.1. Èç óðíû, ñîäåðæàùåé 3 áåëûõ è 2 ÷åðíûõ øàðà, âûíèìàþòñÿ íàóäà÷ó äâà øàðà è ïåðåêëàäûâàþòñÿ âî âòîðóþ óðíó, ñîäåðæàùóþ 4 áåëûõ è 4 ÷åðíûõ øàðà.
a) Íàéòè âåðîÿòíîñòü âûíóòü ïîñëåýòîãî èç âòîðîé óðíû áåëûé øàð. á) Ïóñòü èç âòîðîé óðíû áûë âûíóòáåëûé øàð. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè ïåðåêëàäûâàíèè èç ïåðâîéóðíû âî âòîðóþ áûëè ïîëîæåíû äâà áåëûõ øàðà?Ðåøåíèå. Ïóñòü A ={èç âòîðîé óðíû âûíóò áåëûé øàð}.  êà÷åñòâåïîëíîé ãðóïïû ñîáûòèé, ñâÿçàííûõ ñ ýòèì ñîáûòèåì, ìîæíî ðàññìîòðåòüâñå âîçìîæíûå èñõîäû ïåðâîé ôàçû ýêñïåðèìåíòà, ò.å. ïåðåêëàäûâàíèÿäâóõ øàðîâ èç ïåðâîé óðíû âî âòîðóþ. Îáîçíà÷èì, íàïðèìåð, H×× ={èçïåðâîé óðíû âûíóòû äâà ÷åðíûõ øàðà} , H×Á ={èç ïåðâîé óðíû âûíóòûîäèí ÷åðíûé è îäèí áåëûé øàðû}, HÁÁ ={èç ïåðâîé óðíû âûíóòû äâàáåëûõ øàðà}. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòè ñîáûòèÿ ïîïàðíî íåñîâìåñòíû, è âñåãäàïðîèñõîäèò îäíî èç íèõ, ñëåäîâàòåëüíî, îíè îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó ñîáûòèé.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ A ïðèìåíèì ôîðìóëó ïîëíîéâåðîÿòíîñòè:P(A) = P(A/H×× )P(H×× )+P(A/H×Á )P(H×Á )+P(A/HÁÁ )P(HÁÁ ). (7.2)Íàéäåì âåðîÿòíîñòè ãèïîòåç:P(H×× ) =1C30 C22=,2C510P(H×Á ) =6C31 C21=,2C5103C31 C20=.C5210Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè íàõîäèì, èñõîäÿ èç èçâåñòíîãî ñîñòàâà âòîðîé óðíûïðè îñóùåñòâëåíèè òîé èëè èíîé ãèïîòåçû:P(HÁÁ ) =P(A/H×× ) =425163= , P(A/H×Á ) == , P(A/HÁÁ ) == .105102105Ïîäñòàâëÿÿ â (7.2) íàéäåííûå âåðîÿòíîñòè, ïîëó÷èì:P(A) =1 26 13 313· +· +· =.10 5 10 2 10 525Îòâåòèì íà âòîðîé âîïðîñ çàäà÷è.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
