1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò ñîñòîèò â îäíîêðàòíîì ïîäáðàñûâàíèè èãðàëüíîé êîñòè ïðàâèëüíîãî êóáèêà ñ íàíåñåííûìè íà ãðàíÿõ ÷èñëàìè îò 1 äî 6. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ωk èñõîä, ñîñòîÿùèé â ïîÿâëåíèè íà âåðõíåé ãðàíè ÷èñëà k . Òîãäà â êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ìîæíî âçÿòü ìíîæåñòâî Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 , ω6 }.Ïðèìåð 1.2.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò èç ïðåäûäóùåãîïðèìåðà. Ââåäåì ñëåäóþùèå ¾ñîáûòèÿ¿: A = { âûïàäåíèå ÷åòíîãî ÷èñëà}, B = {âûïàäåíèå ÷èñëà, ìåíüøåãî 3}, C = {âûïàäåíèå äðîáíîãî ÷èñëà}. Ïðè âûáîðå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ èç ïðèìåðà 1.1 óêàçàííûå ¾ñîáûòèÿ¿ î÷åâèäíûì îáðàçîì ïðåäñòàâëÿþòñÿ ìíîæåñòâàìè:A = {ω2 , ω4 , ω6 }, B = {ω1 , ω2 }, C = ∅.Ïðèìåð 1.3. Ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò äâóêðàòíîå ïîäáðàñûâàíèåèãðàëüíîé êîñòè. Ïîñòðîèòü ïîäõîäÿùåå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõèñõîäîâ Ω äëÿ îïèñàíèÿ ñëåäóþùèõ ñîáûòèé: A = {îáà ðàçà âûïàëî ÷èñëîî÷êîâ, êðàòíîå òðåì}, B = {ñóììà âûïàâøèõ ÷èñåë íå áîëüøå 12}, C ={âûïàëè îäèíàêîâûå ÷èñëà}, D = {ïðîèçâåäåíèå âûïàâøèõ ÷èñåë äåëèòñÿ íà 14}. Íàéòè ïîäìíîæåñòâà Ω, îáðàçóþùèå ýòè ñîáûòèÿ, óêàçàòüäîñòîâåðíûå, íåâîçìîæíûå è ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ.9Ðåøåíèå.
Ïîñêîëüêó ðåçóëüòàòîì ýêñïåðèìåíòà ÿâëÿåòñÿ ïàðà ÷èñåë,âûïàâøèõ íà âåðõíåé ãðàíè ïðè ïåðâîì è âòîðîì ïîäáðàñûâàíèè èãðàëüíîé êîñòè, òî â êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ åñòåñòâåííîâûáðàòü ìíîæåñòâî âñåõ óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðîâ èç äâóõ ÷èñåë, êàæäîå èçêîòîðûõ ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáîå èç íàòóðàëüíûõ çíà÷åíèé îò 1 äî 6, ò.å.Ω = {(i, j) : i = 1, . . . , 6, j = 1, . . . , 6}.
Òîãäà óêàçàííûå ñîáûòèÿ ñîâïàäàþòñî ñëåäóþùèìè ïîäìíîæåñòâàìè Ω :A = {(3, 3), (3, 6), (6, 3), (6, 6)}; B = Ω;C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}; D = ∅.Ñîáûòèå B äîñòîâåðíî, òàê êàê îíî ïðîèñõîäèò ïðè ëþáîì ýëåìåíòàðíîìèñõîäå (i, j) ∈ Ω, ñîáûòèå D íåâîçìîæíî (åñëè áû îíî ìîãëî ïðîèçîéòè, òîêàêîå-íèáóäü èç äâóõ âûïàâøèõ ÷èñåë äîëæíî äåëèòüñÿ íà 7), ñîáûòèÿ Aè C ñëó÷àéíû.▽1 1.3.Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ1.1 ×òî îçíà÷àþò ñîáûòèÿ A ∪ A è A ∩ A?1.2 Êîãäà âîçìîæíî ðàâåíñòâî A ∩ B = A ?1.3 Ñîáûòèÿ: A õîòÿ áû îäèí èç òðåõ ïðîâåðÿåìûõ ïðèáîðîâ áðàêî-âàííûé, B âñå ïðèáîðû äîáðîêà÷åñòâåííûå. ×òî îçíà÷àþò ñîáûòèÿ: à)A ∪ B ; á) A ∩ B ?1.4 Ñðåäè ñòóäåíòîâ, ñîáðàâøèõñÿ íà ëåêöèþ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé,íàóäà÷ó âûáèðàþò îäíîãî. Ïóñòü ñîáûòèå A çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî âûáðàííûé ñòóäåíò îêàæåòñÿ þíîøåé; ñîáûòèå B â òîì, ÷òî îí íå êóðèò, àñîáûòèå C - â òîì, ÷òî îí æèâåò â îáùåæèòèè.
Îïèñàòü ñîáûòèå ABC .Êîãäà ñïðàâåäëèâû:à) ðàâåíñòâî ABC = A;â) ðàâåíñòâî A = B ;á) âêëþ÷åíèå C ⊂ B ;ã) ðàâåíñòâî B = B ?1.5 Ðàáî÷èé èçãîòîâèë n äåòàëåé. Ïóñòü ñîáûòèå Ai ñîñòîèò â òîì, ÷òî i-ÿèçãîòîâëåííàÿ èì äåòàëü èìååò äåôåêò. Çàïèñàòü ñîáûòèå, çàêëþ÷àþùååñÿâ òîì, ÷òî:à) íè îäíà èç äåòàëåé íå èìååò äåôåêòîâ;á) õîòÿ áû îäíà äåòàëü èìååò äåôåêò;â) ðîâíî îäíà äåòàëü èìååò äåôåêò;ã) íå áîëåå äâóõ äåòàëåé èìåþò äåôåêòû;ä) ïî êðàéíåé ìåðå äâå äåòàëè íå èìåþò äåôåêòîâ;1Êîíåö ðåøåíèÿ èëè äîêàçàòåëüñòâà.10å) òî÷íî äâå äåòàëè äåôåêòíû.1.6 Ïðåïîäàâàòåëü ïðîâîäèò çàíÿòèÿ ñ ãðóïïîé èç òðåõ ñòóäåíòîâ.
Ñîáûòèå A ïåðâûé ñòóäåíò ïîòðåáóåò âíèìàíèå ïðåïîäàâàòåëÿ â òå÷åíèå ÷àñà;B âòîðîé ñòóäåíò ïîòðåáóåò âíèìàíèå ïðåïîäàâàòåëÿ â òå÷åíèå ÷àñà; C òðåòèé ñòóäåíò ïîòðåáóåò âíèìàíèå ïðåïîäàâàòåëÿ â òå÷åíèå ÷àñà. ×òîîçíà÷àþò ñîáûòèÿ: à) ABC; á) A + B + C ; â) AB C + ABC + A BC ;ã) ABC + ABC + ABC ; ä) A B C ; å) A + B + C − ABC?1.7 Ñîáûòèå A õîòÿ áû îäíî èç ÷åòûðåõ èìåþùèõñÿ èçäåëèé áðàêîâàííîå, ñîáûòèå B áðàêîâàííûõ èçäåëèé ñðåäè íèõ íå ìåíåå äâóõ. ×òîîçíà÷àþò ïðîòèâîïîëîæíûå ñîáûòèÿ A è B ?1.8 Ñîâìåñòíû ëè ñîáûòèÿ A è A ∪ B ?1.9 Äîêàçàòü òîæäåñòâà:à) (A + BC)(B + AC)( C + AB) = ABC + A B C .â) (A − B) + (A − C) = A − BC .1.10 Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ñîáûòèÿ äîñòîâåðíû: à) (A + B)(A + B) +(A + B)(A + B);á) (A + B)(A + B) + (A + B)(A + B).1.11 Äîêàçàòü, ÷òî ñîáûòèå (A + B)(A + B)(A + B)(A + B) íåâîçìîæíî.1.12 Óñòàíîâèòü êàêèå èç ñëåäóþùèõ ñîîòíîøåíèé ïðàâèëüíû:à) (A + B) \ C = A + (B \ C);ä) ABC = AB(B + C);á) (A + B)C = ABC ;å) (A + B)C = AC + BC ;â) A + B + C = A B C ;æ) ABC ⊂ A + B ;ã) (A + B)C = C \ C(A + B);ç) (AB + BC + CA) ⊂ (A + B + C).1.13 Èç òàáëèöû ñëó÷àéíûõ ÷èñåë íàóäà÷ó âûáðàíî îäíî ÷èñëî.
Ñîáûòèå A âûáðàííîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 5; ñîáûòèå B äàííîå ÷èñëî îêàí÷èâàåòñÿíóëåì. ×òî îçíà÷àþò ñîáûòèÿ A\B è A ∩ B ?11Ãëàâà 2Êëàññè÷åñêîå âåðîÿòíîñòíîåïðîñòðàíñòâî 2.1.Âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî,êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòèÏóñòü ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ êîíå÷íî, òî åñòüΩ = {ω1 , ω2 , ..., ωN }. Ïðè ýòîì âåðîÿòíîñòü ëþáîãî ñîáûòèÿ A âû÷èñëÿåòñÿïî ôîðìóëå:N (A)P(A) =,(2.1)Nãäå N (A) ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, îáðàçóþùèõ ñîáûòèå A,N = N (Ω) ÷èñëî âñåõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ. Ðàâåíñòâî (2.1) íàçûâàþòêëàññè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòè.
Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ëåãêî ñëåäóåò, ÷òîÌ1. P(Ω)=1 è P(A) ≥ 0 äëÿ ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà A ⊆ Ω;Ì2. äëÿ ëþáûõìíîæåñòâ A1 , A2 , ... âûïîëíÿåòñÿ ðà∑íåñîâìåñòíûõ∪∞ ïîïàðíî∞âåíñòâî P( i=1 Ai ) = i=1 P(Ai ) (ñâîéñòâî σ−àääèòèâíîñòè).Áîëåå òîãî, î âñÿêîé ôóíêöèè çàäàííîé íà ìíîæåñòâå ïîäìíîæåñòâ èç Ω èîáëàäàþùåé ñâîéñòâàìè Ì1 è Ì2 ìû â äàëüíåéøåì áóäåì ãîâîðèòü êàê îâåðîÿòíîñòíîé ìåðå.
 ÷àñòíîñòè, èç ñâîéñòâ M1 è Ì2 âûòåêàþò ñëåäóþùèå î÷åíü ïîëåçíûå ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè.1. P(A) = 1 − P(A).2. Åñëè A ⊆ B , òî P(B \ A) = P(B) − P(A).3. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB).Äîêàæåì ïåðâîå ðàâåíñòâî. Ïîñêîëüêó ñîáûòèÿ A è A íå ïåðåñåêàþòñÿ,12ïðè ýòîì A ∪ A = Ω, òî, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà M1 è M2, ïîëó÷àåì1 = P(Ω) = P(A ∪ A) = P(A) + P(A),îòêóäà ñîáñòâåííî è ïîëó÷àåòñÿ òðåáóåìîå∪ ðàâåíñòâî. Äîêàæåì âòîðîå ðàâåíñòâî. Ò.ê.
A ⊆ B , òî B = (B \ A) A. Ïðè ýòîì ñîáûòèÿ B \ A èA íå ïåðåñåêàþòñÿ, ïîýòîìó, ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâî M2, ïîëó÷àåì P(B) =P(B \ A) + P(A), ïîýòîìó è P(B \ A) = P(B) − P(A). Òàê æå ïðîñòîäîêàçûâàåòñÿ è òðåòüå ðàâåíñòâî. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òîA ∪ B = (A \ AB) ∪ AB ∪ (B \ AB). Ìíîæåñòâà A \ AB , AB è B \ ABïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, ïðèìåíÿÿ M2 è âòîðîå ñîîòíîøåíèå, ïîëó÷àåìP(A ∪ B) = P(A \ AB) + P(AB) + P(B \ AB)= P(A) − P(AB) + P(AB) + P(B) − P(AB) = P(A) + P(B) − P(AB). 2.2.Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêèÏóñòü èìååòñÿ êîíå÷íîå ìíîæåñòâî S = {a1 , a2 , . .
. , an }, êîòîðîå áóäåì íàçûâàòü ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþ, à ÷èñëî åãî ýëåìåíòîâ n îáúåìîìãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.Îïðåäåëåíèå 2.1. Âûáîðêîé îáúåìà k èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè îáúåìà n íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííûé íàáîð èç k ýëåìåíòîâ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè S : (aj1 , aj2 , . . . , ajk ). Âûáîðêà íàçûâàåòñÿ âûáîðêîé ñâîçâðàùåíèåì, åñëè îíà ìîæåò ñîäåðæàòü ïîâòîðÿþùèåñÿ (îäèíàêîâûå) ýëåìåíòû, èëè âûáîðêîé áåç âîçâðàùåíèÿ, åñëè âñå åå ýëåìåíòûðàçëè÷íû.Íàïðèìåð, ñåìèçíà÷íûé íîìåð òåëåôîíà ïðåäñòàâëÿåò âûáîðêó îáúåìà 7 èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè îáúåìà 10 (êîëè÷åñòâî öèôð îò 0 äî 9).Ïîñêîëüêó öèôðû â íîìåðå ìîãóò ïîâòîðÿòüñÿ, ýòî âûáîðêà ñ âîçâðàùåíèåì.
Íàçâàíèÿ òðåõ êàðò, èçâëå÷åííûõ ïî ïîðÿäêó èç êîëîäû, îáðàçóþòâûáîðêó áåç âîçâðàùåíèÿ îáúåìà 3 èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè âñåõ êàðòêîëîäû, íàïðèìåð: (òóç òðåô, òóç áóáåé, äàìà ïèê).Çàìåòèì, ÷òî íàçâàíèÿ ¾âûáîðêà ñ âîçâðàùåíèåì¿ è ¾âûáîðêà áåç âîçâðàùåíèÿ¿ îòðàæàþò ïðîöåññ èçâëå÷åíèÿ âûáîðîê èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè: èçâëåêàÿ ïî ïîðÿäêó êàæäûé ýëåìåíò âûáîðêè ñ âîçâðàùåíèåì,13ìû åãî îòìå÷àåì è âîçâðàùàåì â ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü. Ïðè èçâëå÷åíèè âûáîðêè áåç âîçâðàùåíèÿ, ýëåìåíòû â ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòüíå âîçâðàùàþòñÿ. Äëÿ âûáîðêè áåç âîçâðàùåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíî è äðóãîå íàçâàíèå: ðàçìåùåíèå èç n ýëåìåíòîâ ïî k .
Âûáîðêè ñ âîçâðàùåíèåìíàçûâàþò òàêæå ðàçìåùåíèÿìè ñ ïîâòîðåíèÿìè.Òåîðåìà 2.1. ×èñëî âñåõ âûáîðîê ñ âîçâðàùåíèåì (èëè ÷èñëîðàçìåùåíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè) èç n ýëåìåíòîâ ïî k îáîçíà÷àåòñÿ Bnk èâû÷èñëÿåòñÿ ôîðìóëîé:Bnk = nk .(2.2)×èñëî âñåõ âûáîðîê áåç âîçâðàùåíèÿ (èëè ÷èñëî ðàçìåùåíèé) èç nýëåìåíòîâ ïî k îáîçíà÷àåòñÿ Akn èëè n[k] è âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:Akn = n[k] = n · (n − 1) · · · (n − k + 1) =n!.(n − k)!(2.3)Äîêàçàòåëüñòâî. Èçâëå÷åíèå âûáîðêè èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòèìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ïðîöåññ çàïîëíåíèÿ ñëåäóþùåé òàáëèöû:aj1aj2aj3···ajk−1ajkÏðè ýòîì, åñëè ðå÷ü èäåò î âûáîðêå ñ âîçâðàùåíèåì, òî ïåðâóþ êëåòêó òàáëèöû ìîæíî çàïîëíèòü n ñïîñîáàìè, ïîñêîëüêó íà ìåñòå ýëåìåíòàaj1 ìîæåò îêàçàòüñÿ ëþáîé èç n ýëåìåíòîâ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè; âòîðóþ êëåòêó òàêæå ìîæíî çàïîëíèòü n ñïîñîáàìè, ïîñêîëüêó ýëåìåíò aj2èçâëåêàåòñÿ èç ïîëíîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.
Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëîñïîñîáîâ, êîòîðûìè ìîæíî çàïîëíèòü ïàðó èç äâóõ ïåðâûõ êëåòîê, ðàâíîn · n = n2 . Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî òðè êëåòêè çàïîëíÿþòñÿ n3 ñïîñîáàìè, à âñÿ òàáëèöà èç k êëåòîê ìîæåò áûòü çàïîëíåíà÷èñëîì ñïîñîáîâ, ðàâíûì nk . Ýòî è åñòü ÷èñëî âñåõ âûáîðîê ñ âîçâðàùåíèåì. Âûâåäåì òåïåðü âòîðóþ ôîðìóëó. Ïîñêîëüêó ðå÷ü èäåò î âûáîðêåáåç âîçâðàùåíèÿ, òî ïåðâóþ êëåòêó òàáëèöû ìîæíî çàïîëíèòü n ñïîñîáàìè; âòîðóþ ñîîòâåòñòâåííî n − 1 ñïîñîáîì, ò.ê. ýëåìåíò, êîòîðûé ìû ïîñòàâèëè â ïåðâóþ êëåòêó èñïîëüçîâàòüñÿ óæå íå ìîæåò è ò.ä.
è, íàêîíåö,k -óþ êëåòêó òàáëèöû ìîæíî çàïîëíèòü n − k + 1 ñïîñîáàìè. Ïîñêîëüêóêàæäûé ñïîñîá çàïîëíåíèÿ 1-îé êëåòêè ñâîáîäíî êîìáèíèðóåòñÿ ñî âñåìè ñïîñîáàìè çàïîëíåíèÿ 2-îé êëåòêè è ò.ä. äî k -îé êëåòêè, òî ïîëó÷àåìn!Akn = n(n − 1) . . . (n − k + 1) = (n−k)!. ▹Ïðèìåð 2.1.
Ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò ñîñòîèò â ïðîèçâîëüíîì ðàçìåùåíèè k ðàçëè÷èìûõ øàðîâ ïî n ÿùèêàì (k ≤ n). Ïðåäïîëàãàåòñÿ,14÷òî êàæäûé øàð ñëó÷àéíî è ðàâíîâîçìîæíî ìîæåò îêàçàòüñÿ â ëþáîìÿùèêå. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà âñåøàðû îêàæóòñÿ â ðàçíûõ ÿùèêàõ.Ðåøåíèå. Çàíóìåðóåì âñå ÿùèêè è ìíîæåñòâî íîìåðîâ S = {1, 2, ..., n}áóäåì ñ÷èòàòü ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþ. Ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò ïîðàçìåùåíèþ k øàðîâ (áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îíè òîæå çàíóìåðîâàíû) ìîæíîïðåäñòàâèòü êàê èçâëå÷åíèå âûáîðêè îáúåìà k èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè îáúåìà n: ýòà âûáîðêà ñîñòîèò èç íîìåðîâ ÿùèêîâ, ïðåäíàçíà÷åííûõäëÿ êàæäîãî èç k øàðîâ. Ïîñêîëüêó êàæäûé øàð ìîæåò èçíà÷àëüíî îêàçàòüñÿ â ëþáîì ÿùèêå, òî íîìåðà ÿùèêîâ äëÿ ðàçíûõ øàðîâ ìîãóò ïîâòîðÿòüñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, âûáîðêà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ êàæäûé ýëåìåíòàðíûéèñõîä îïèñûâàåìîãî ýêñïåðèìåíòà, åñòü âûáîðêà ñ âîçâðàùåíèåì îáúåìà kèç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè îáúåìà n. Îáùåå ÷èñëî âñåõ ýëåìåíòàðíûõèñõîäîâ ðàâíî N = N (Ω) = Bnk = nk .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
