1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879)
Текст из файла
ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞÍÎÂÎÑÈÁÈÐÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÍ.Ñ. ÀÐÊÀØÎÂ, À.Ï. ÊÎÂÀËÅÂÑÊÈÉÒåîðèÿ âåðîÿòíîñòåéè ñëó÷àéíûå ïðîöåññûÓòâåðæäåíî Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèìñîâåòîì óíèâåðñèòåòà â êà÷åñòâåó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâíåìàòåìàòè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåéâûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèéÍîâîñèáèðñê2014ÓÄÊ 519.21 (075.8)À 822Ðåöåíçåíòû:Â. È. Ëîòîâ,ïðîô. ÍÃÓ,ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê,, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô.,, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíòÀ. Ã. ÏèíóñÊ. À.
ÄæàôàðîâÐàáîòà ïîäãîòîâëåíà íà êàôåäðå âûñøåé ìàòåìàòèêèäëÿ ñòóäåíòîâ II êóðñàÀðêàøîâ Í. Ñ.À 822 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ñëó÷àéíûå ïðîöåññû: Ó÷åá. ïîñîáèå /Í. Ñ. Àðêàøîâ, À. Ï. Êîâàëåâñêèé. Íîâîñèáèðñê: Èçä-âî ÍÃÒÓ,2014. 238 ñ.ISBN 978-5-7782-2382-0Íàñòîÿùåå ó÷åáíîå ïîñîáèå ïîäãîòîâëåíî äëÿ ñòóäåíòîâ II êóðñà î÷íîãî è çàî÷íîãî îòäåëåíèé âñåõ íàïðàâëåíèé è ñïåöèàëüíîñòåé, èçó÷àþùèõòàêèå ðàçäåëû âûñøåé ìàòåìàòèêè, êàê òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà, â îáúåìå ñåìåñòðîâîãî êóðñà.Ïîñîáèå ñîäåðæèò òèïîâîé ðàñ÷åò.
 ïðèëîæåíèÿõ äàíû òàáëèöû âåðîÿòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé.Âñå çàìå÷àíèÿ ïî ñîäåðæàíèþ ïîñîáèÿ ïðîñèì ïåðåäàâàòü íà êàôåäðóâûñøåé ìàòåìàòèêè. Îíè áóäóò ñ áëàãîäàðíîñòüþ ïðèíÿòû è ó÷òåíû âñëåäóþùèõ èçäàíèÿõ.ÓÄÊ 519.21 (075.8)ISBN 978-5-7782-2382-0c⃝c⃝Àðêàøîâ Í. Ñ., Êîâàëåâñêèé À. Ï., 2014Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûéòåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò, 2014ÎãëàâëåíèåÃëàâà 1. Ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò, ñîáûòèÿ 1.1 Ñîáûòèÿ, îïåðàöèè íàä ñîáûòèÿìè . . .
. . . . . . . . 1.2 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . .Ãëàâà 2. Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü 2.1 Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè 2.2 Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè . . . . . . . . 2.3 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . . 2.4 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ .................................779101212131920Ãëàâà 3. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü 3.1 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . .
. . . . . . . . . . . . . 3.2 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . .24Ãëàâà 4. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè 4.1 Îïðåäåëåíèÿ è ïðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . .28Ãëàâà 5. Íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ 5.1 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . .
. . . . . . . . . . 5.2 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . .31Ãëàâà 6. Íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ 6.1 Ôîðìóëû Áåðíóëëè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . .35324262828293132353637Ãëàâà 7. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè 7.1 Ïîëíàÿ ãðóïïà ñîáûòèé . . . . .
. . . . . . . . . . . . 7.2 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . .39Ãëàâà 8. Ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 8.1 Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ . . . 8.2 Äèñêðåòíîå è àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèÿ 8.3 Ïðèìåðû ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí . .
. . . 8.4 Ãåíåðèðîâàíèå ñëó÷àéíûõ ÷èñåë . . . . . . . . . . . . 8.5 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . .45Ãëàâà 9. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå 9.1 Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Ìîìåíòû è äèñïåðñèÿ . . . . . . . . .
. . . . . . 9.3 ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ . 9.4 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . . . . . . . 9.5 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . .64Ãëàâà 10. 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5Ïðåäåëüíûå òåîðåìûÇàêîí áîëüøèõ ÷èñåë . . . . . . . . . . .Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà . . . .Òåîðåìà Ïóàññîíà .
. . . . . . . . . . . .Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . .Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ .Ãëàâà 11. Âûáîðêà. Îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ 11.1 Âûáîðêà è âàðèàöèîííûé ðÿä . . . . . . 11.2 Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿðàñïðåäåëåíèÿ, ãèñòîãðàììà . . . . . . . 11.3 Âûáîðî÷íûå ìîìåíòû . . . . .
. . . . . 11.4 Ñòàòèñòèêè è îöåíêè . . . . . . . . . . . 11.5 Îöåíêè ìåòîäîì ìîìåíòîâ . . . . . . . . 11.6 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . . 11.7 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ ......................................................... . . . . . . .................................................394042454649555661646872737780808284899395959698100103104108Ãëàâà 12.Îöåíêè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ.Ñðàâíåíèå îöåíîê 12.1 Ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ . .
. . . . . . .4111111 12.2 Ñðàâíåíèå îöåíîê:ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèé ïîäõîä . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . .112115119Ãëàâà 13. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ îáðàáîòêà â ïàêåòå Excel122 13.1 Ïðèìåð ñòàòèñòè÷åñêîé îáðàáîòêè . . . . .
. . . . . . 122 13.2 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . . 136Ãëàâà 14. Èíòåðâàëüíîå îöåíèâàíèå 14.1 Îïðåäåëåíèå äîâåðèòåëüíîãîèíòåðâàëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Ðàñïðåäåëåíèÿ, ñâÿçàííûåñ íîðìàëüíûì . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Òî÷íûå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû . . . . . . 14.4 Àñèìïòîòè÷åñêèå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû 14.5 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ .
. . . . . . . . . 14.6 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . .137. . . . .137..................... 138. 139. 141. 142. 146Ñòàòèñòè÷åñêèå ãèïîòåçû . . . . . . . . . . . .Ñòàòèñòè÷åñêèå êðèòåðèè . . . . . . . . . . . .Êðèòåðèè ñîãëàñèÿ . . . . . . . . . . . . . . . .Äîñòèãàåìûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè . .
. . . . .Êðèòåðèè ñîãëàñèÿ Êîëìîãîðîâà è χ2 ÏèðñîíàÐåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . . . . . .Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . ....................... 147. 148. 150. 151. 152. 155. 159...................... 161. 163. 163. 164. 164. 165. 166Ãëàâà 15. 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåçÃëàâà 16. 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7Ðåãðåññèîííûé àíàëèçÃëàâà 17. 17.1 17.2 17.3Ìàðêîâñêèå öåïè è ïðîöåññûËèíåéíàÿ ðåãðåññèÿ . . . . . . . .
. . . . . . . .Êðèòåðèé Äàðáèíà-Âàòñîíà . . . . . . . . . . .Îáîáùåííûé ÌÍÊ . . . . . . . . . . . . . . . .Ìîäåëü àâòîðåãðåññèè . . . . . . . . . . . . . .Ìîäåëü ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî . . . . . . . . .Îöåíèâàíèå ìîäåëåé ñ çàâèñèìûìè îñòàòêàìèÇàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . .147Öåïè Ìàðêîâà. Ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðåìà . .
. . . . . . .Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðîöåññû ðàçìíîæåíèÿ è ãèáåëè . . . . . . . . . . . .5161168168170171 17.4 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . .Ãëàâà 18.Òèïîâîé ðàñ÷åò171173Ïðèëîæåíèå. Òàáëèöû2336Ãëàâà 1Ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò, ñîáûòèÿ 1.1.Ñîáûòèÿ, îïåðàöèè íàä ñîáûòèÿìèÒåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé èçó÷àåò ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ñëó÷àéíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Ïîä ñëó÷àéíûì ïîäðàçóìåâàåòñÿ òàêîé ýêñïåðèìåíò, èñõîäû êîòîðîãî íåîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè. Ïðîñòåéøèìïðèìåðîì òàêîãî ýêñïåðèìåíòà ÿâëÿåòñÿ ïîäáðàñûâàíèå ìîíåòû.  ýòîìýêñïåðèìåíòå âîçìîæíû ëèøü äâà èñõîäà: âûïàäåíèå ¾ãåðáà¿ èëè ¾ðåøåòêè¿, ïðè ýòîì òî÷íî ïðåäñêàçàòü ðåçóëüòàò äî ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòàíåâîçìîæíî.Ñî âñÿêèì ñëó÷àéíûì ýêñïåðèìåíòîì ìîæíî ñâÿçàòü ìíîæåñòâîΩ = {ω} âñåõ åãî âçàèìîèñêëþ÷àþùèõ èñõîäîâ.
Ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàþò ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, à åãî ýëåìåíòû ýëåìåíòàðíûìè èñõîäàìè. Ðåçóëüòàòîì ïðîâåäåíèÿ ñëó÷àéíîãî ýêñïåðèìåíòàÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûé ýëåìåíòàðíûé èñõîä ω ∈ Ω. Ñîáûòèÿìè íàçûâàþòïîäìíîæåñòâà ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω. Âûðàæåíèå ¾ïðîèçîøëî ñîáûòèå A¿ îçíà÷àåò ω ∈ A, ãäå ω ýëåìåíòàðíûé èñõîä, ÿâèâøèéñÿ ðåçóëüòàòîì ýêñïåðèìåíòà. Ëþáîå ¾ñîáûòèå¿ â îáû÷íîì ïîíèìàíèè,òî åñòü ëþáîé èñõîä ñëó÷àéíîãî ýêñïåðèìåíòà, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíîíåêîòîðûì ïîäìíîæåñòâîì A ⊆ Ω ïðè ïîäõîäÿùåì âûáîðå ïðîñòðàíñòâàýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ.
 äàëüíåéøåì íå áóäåì ðàçëè÷àòü ¾ñîáûòèÿ¿ âîáû÷íîì ïîíèìàíèè è ñîáûòèÿ ïîäìíîæåñòâà Ω.Ñîáûòèå íàçûâàåòñÿ äîñòîâåðíûì, åñëè â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòàîíî íåïðåìåííî ïðîèñõîäèò; ñîáûòèå íàçûâàåòñÿ íåâîçìîæíûì, åñëè âðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà îíî íå ìîæåò ïðîèçîéòè; ñîáûòèå íàçûâàåòñÿñëó÷àéíûì, åñëè â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà îíî ìîæåò ïðîèçîéòè, à ìîæåò íå ïðîèçîéòè. Òàê êàê äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà ω ñîîòíîøåíèå ω ∈ Ω èìååò ìåñòî âñåãäà, òî âñå ïðîñòðàíñòâî Ω ñîîòâåòñòâóåò äîñòîâåðíîìó ñîáûòèþ, ïóñòîå ìíîæåñòâî ∅ íåâîçìîæíîìó ñîáûòèþ,7ñîáñòâåííûå ïîäìíîæåñòâà A ⊂ Ω ïðåäñòàâëÿþò ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ.Ïóñòü A è B êàêèå-íèáóäü ñîáûòèÿ (ïîäìíîæåñòâà Ω).Îáúåäèíåíèåì, èëè ñóììîé, ýòèõ ñîáûòèé íàçûâàåòñÿ îáúåäèíåíèåA ∪ B ìíîæåñòâ A è B. Ïåðåñå÷åíèåì èëè ïðîèçâåäåíèåì ñîáûòèé íàçûâàåòñÿ èõ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîå ïåðåñå÷åíèå . Àíàëîãè÷íî, ðàçíîñòüþ ñîáûòèé A è B íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü A\B ñîîòâåòñòâóþùèõ ìíîæåñòâ.Ïðîòèâîïîëîæíûì ê ñîáûòèþ A íàçûâàåòñÿ äîïîëíåíèå A = Ω \ A ìíîæåñòâà A.Ïîÿâëåíèå ñîáûòèÿ A ∪ B â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà îçíà÷àåò, ÷òî ýëåìåíòàðíûé èñõîä ω ∈ A ∪ B , à ýòî èìååò ìåñòî, åñëè ω ∈ A èëè ω ∈ B .Ïîýòîìó ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî îáúåäèíåíèå (ñóììà) ñîáûòèé ïðîèñõîäèòòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðîèñõîäèò õîòÿ áû îäíî èç ýòèõ ñîáûòèé.Àíàëîãè÷íî, ïåðåñå÷åíèå (ïðîèçâåäåíèå) ñîáûòèé ïðîèñõîäèò òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà ýòè ñîáûòèÿ ïðîèñõîäÿò ñîâìåñòíî.Ðàçíîñòü A \ B ñîáûòèé ïðîèñõîäèò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàïðîèñõîäèò A, íî íå ïðîèñõîäèò B.Ïðîòèâîïîëîæíîå ñîáûòèå A ïðîèñõîäèò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñàìî A íå ïðîèñõîäèò.Ãîâîðÿò, ÷òî ñîáûòèå A âëå÷åò ñîáûòèå B, èëè A ñîäåðæèòñÿâ B, åñëè A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì B: A ⊆ B .
Ñîáûòèÿ íàçûâàþòñÿðàâíûìè, èëè ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè îíè ñîâïàäàþò êàê ìíîæåñòâà:A = B. Î÷åâèäíî, ÷òî A = B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäîå èçýòèõ ñîáûòèé âëå÷åò äðóãîå.Îáúåäèíåíèå è ïåðåñå÷åíèå áîëåå ÷åì äâóõ ñîáûòèé îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî, ò.å. êàê îáúåäèíåíèå è ïåðåñå÷åíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîäìíîæåñòâ. Íàïðèìåð,n∞∪∩AkBnn=1k=1îçíà÷àþò ñîîòâåòñòâåííî îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî è ïåðåñå÷åíèå áåñêîíå÷íîãî (ñ÷åòíîãî) ìíîæåñòâà ñîáûòèé.Ñîáûòèÿ íàçûâàþò íåïåðåñåêàþùèìèñÿ, èëè íåñîâìåñòíûìè, åñëè èõ ïåðåñå÷åíèå åñòü íåâîçìîæíîå ñîáûòèå. Ñîáûòèÿ èç íåêîòîðîé ñîâîêóïíîñòè A1 , A2 , ..., An , ... íàçûâàþò ïîïàðíî íåñîâìåñòíûìè, åñëèëþáûå äâà èç íèõ íåñîâìåñòíû, ò.å.
Ai ∩ Aj = ∅ ïðè i ̸= j.Ïîñêîëüêó ââåäåííûå îïåðàöèè íàä ñîáûòèÿìè òîæäåñòâåííû ñîîòâåòñòâóþùèì îïåðàöèÿì íàä ìíîæåñòâàìè, òî îíè ïîä÷èíÿþòñÿ âñåì àêñèîìàì îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè:A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A (êîììóòàòèâíîñòü);8A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C), A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C) (àññîöèàòèâíîñòü);A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) (äèñòðèáóòèâíîñòü);∪nAn =∩nAn ,∩nAn =∪An(äâîéñòâåííîñòü);n(A) = A (îòðèöàíèå îòðèöàíèÿ).Çàìåòèì â çàêëþ÷åíèå, ÷òî äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ââåäåííûõ îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ (ñóììû), ïåðåñå÷åíèÿ (ïðîèçâåäåíèÿ), ðàçíîñòè ñîáûòèé èñïîëüçóþòñÿ òàêæå òðàäèöèîííûå àëãåáðàè÷åñêèå ñèìâîëû: ¾+¿, ¾·¿, ¾−¿:A ∪ B = A + B, A ∩ B = AB, A \ B = A − B,n∪k=1 1.2.Ak =n∑Ak .k=1Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâÏðèìåð 1.1.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
