1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Íåêòî áåðåòíàóãàä òðè ÿáëîêà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü: à) òîãî, ÷òî ñðåäè âûíóòûõ òðåõÿáëîê áóäåò ðîâíî äâà çåëåíûõ; á) íå áîëåå äâóõ êðàñíûõ; â) ïî êðàéíåé2.120ìåðå îäíî çåëåíîå; ã) íå ìåíåå òðåõ êðàñíûõ.2.2 Êóá, âñå ãðàíè êîòîðîãî îêðàøåíû, ðàñïèëåí íà 1000 êóáèêîâ îäíîãîðàçìåðà. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íàóäà÷ó èçâëå÷åííûé êóáèêáóäåò èìåòü ðîâíî äâå îêðàøåííûå ãðàíè.2.3  ëîòåðåå ðàçûãðûâàåòñÿ 1000 áèëåòîâ. Ñðåäè íèõ äâà âûèãðûøàïî 50 ðóá., 5 ïî 20 ðóá., äåñÿòü - ïî 10 ðóá.
è 25 - ïî 5 ðóá. Íåêòîïîêóïàåò îäèí áèëåò. Íàéòè âåðîÿòíîñòü: à) âûèãðûøà íå ìåíåå 20 ðóá.;á) êàêîãî-ëèáî âûèãðûøà.2.4 Íà øåñòè êàðòî÷êàõ íàïèñàíû áóêâû Â, Ä, Ç, Î, Ó, Õ. Ïîñëåïåðåòàñîâêè âûíèìàþò íàóãàä îäíó êàðòî÷êó çà äðóãîé è:à) ðàñêëàäûâàþò èõ â òîì ïîðÿäêå, â êàêîì îíè áûëè âûíóòû;á) êàæäàÿ èç áóêâ íà âûíóòîé êàðòî÷êå çàïèñûâàåòñÿ, à ñàìà êàðòî÷êàâîçâðàùàåòñÿ â êîëîäó.Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîëó÷èòñÿ ñëîâî "âîçäóõ".2.5 Ðåáåíîê èãðàåò ñ 10 áóêâàìè ðàçðåçíîé àçáóêè: À, À, À, Å, È, Ê, Ì,Ì, Ò, Ò.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè ñëó÷àéíîì ðàñïîëîæåíèè áóêââ ðÿä îí ïîëó÷èò ñëîâî ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ?2.6  ëèôò 9-ýòàæíîãî äîìà íà ïåðâîì ýòàæå âîøëè 5 ÷åëîâåê. Èçâåñòíî,÷òî êàæäûé èç íèõ ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ ìîæåò âûéòè íà ëþáîì èçýòàæåé, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî:à) âñå ïÿòåðî âûéäóò íà ïÿòîì ýòàæå;á) âñå ïÿòåðî âûéäóò îäíîâðåìåííî (íà îäíîì è òîì æå ýòàæå);â) âñå ïÿòåðî âûéäóò íà ðàçíûõ ýòàæàõ;ã) íà ïåðâûõ òðåõ ýòàæàõ íå âûéäåò íè îäèí ÷åëîâåê;ä) âñå ïàññàæèðû âûéäóò íà ïåðâûõ øåñòè ýòàæàõ;å) íà îäíîì ýòàæå âûéäóò òðè ïàññàæèðà, à íà äðóãîì äâà?2.7 Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ÷åòûðåõçíà÷íîì íîìåðå ñëó÷àéíîâûáðàíîãî â áîëüøîì ãîðîäå àâòîìîáèëÿ:à) âñå öèôðû ðàçíûå;á) äâå ïàðû îäèíàêîâûõ öèôð;â) òîëüêî äâå îäèíàêîâûå öèôðû;ã) òîëüêî òðè îäèíàêîâûå öèôðû;ä) âñå öèôðû îäèíàêîâûå;å) ñóììà äâóõ ïåðâûõ öèôð ðàâíà ñóììå äâóõ ïîñëåäíèõ öèôð?2.8  ÿùèêå 10 êðàñíûõ è 6 ñèíèõ ïóãîâèö.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òîäâå íàóäà÷ó âûíóòûå ïóãîâèöû áóäóò îäíîöâåòíûìè?2.9 Èç êîëîäû êàðò (52 ëèñòà) íàóäà÷ó âûíèìàþòñÿ òðè êàðòû. Íàéòèâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî:à) ñðåäè íèõ îêàæåòñÿ ðîâíî îäèí òóç;á) ñðåäè íèõ îêàæåòñÿ õîòÿ áû îäèí òóç;21â) ýòî áóäóò òðîéêà, ñåìåðêà è òóç (â ëþáîì ïîðÿäêå).2.10 Ó÷àñòíèê ëîòåðåè ¾ñïîðòëîòî¿ èç 49 íàèìåíîâàíèé âèäîâ ñïîðòàíàçûâàåò øåñòü.
Âûèãðûø îïðåäåëÿåòñÿ òåì, ñêîëüêî íàèìåíîâàíèé îíóãàäàë èç øåñòè äðóãèõ íàèìåíîâàíèé, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ â ìîìåíòðîçûãðûøà ëîòåðåè ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíîãî óñòðîéñòâà, ðåàëèçóþùåãîñëó÷àéíûé âûáîð. Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ó÷àñòíèê óãàäàåò âñå øåñòüíàèìåíîâàíèé? Ïÿòü íàèìåíîâàíèé è ò.ä.?2.11 Èç êîëîäû êàðò (52 ëèñòà) íàóäà÷ó èçâëåêàþòñÿ òðè êàðòû. Íàéòèâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ýòî áóäóò òðîéêà, ñåìåðêà, òóç.2.12 Èç 28 êîñòåé äîìèíî ñëó÷àéíî âûáèðàþò äâå. Íàéòè âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî èç íèõ ìîæíî ñîñòàâèòü ¾öåïî÷êó¿ ñîãëàñíî ïðàâèëàì èãðû.2.13 Èìååòñÿ ïÿòü îòðåçêîâ, äëèíû êîòîðûõ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 1, 3,5, 7 è 9 åäèíèöàì.
Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñ ïîìîùüþ âçÿòûõíàóäà÷ó òðåõ îòðåçêîâ èç äàííûõ ïÿòè ìîæíî ïîñòðîèòü òðåóãîëüíèê.2.14Èç äåñÿòè áèëåòîâ âûèãðûøíûìè ÿâëÿþòñÿ äâà. Îïðåäåëèòüâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè âçÿòûõ íàóäà÷ó ïÿòè áèëåòîâ: à) ðîâíî îäèíâûèãðûøíûé; á) ðîâíî äâà âûèãðûøíûõ; â) õîòÿ áû îäèí âûèãðûøíûé.2.15 Íà ïîëêå â ñëó÷àéíîì ïîðÿäêå ðàññòàâëåíî n êíèã, ñðåäè êîòîðûõíàõîäèòñÿ äâóõòîìíèê Ä. Ëîíäîíà. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ðàçëè÷íûå ðàñïîëîæåíèÿ êíèã ðàâíîâåðîÿòíû, íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îáà òîìàðàñïîëîæåíû ðÿäîì.2.16 Áðîñàåòñÿ 6 èãðàëüíûõ êîñòåé.
Íàéòè âåðîÿòíîñòè ñëåäóþùèõñîáûòèé: A ={âûïàäóò 3 åäèíèöû, äâå òðîéêè è îäíà øåñòåðêà}, B ={âûïàäóò ðàçíûå öèôðû}, C ={âûïàäóò òðè îäèíàêîâûå öèôðû}.2.17 52 êàðòû ðàçäàþòñÿ ÷åòûðåì èãðîêàì (êàæäîìó ïî 13 êàðò). Íàéòèâåðîÿòíîñòè ñëåäóþùèõ ñîáûòèé: A ={êàæäûé èãðîê ïîëó÷èò òóçà},B ={îäèí èç èãðîêîâ ïîëó÷èò âñå 13 êàðò îäíîé ìàñòè}, C ={âñå òóçûïîïàäóò ê îäíîìó èç èãðîêîâ}.2.18 Îäèí øêîëüíèê, æåëàÿ ïîäøóòèòü íàä ñâîèìè òîâàðèùàìè, ñîáðàëâ ãàðäåðîáå âñå ïàëüòî, à ïîòîì ðàçâåñèë èõ â ñëó÷àéíîì ïîðÿäêå. Êàêîâàâåðîÿòíîñòü pn òîãî, ÷òî õîòÿ áû îäíî ïàëüòî ïîïàëî íà ïðåæíåå ìåñòî,åñëè âñåãî â ãàðäåðîáå n êðþ÷êîâ è íà íèõ âèñåëî n ïàëüòî? Íàéòè ïðåäåëpn ïðè n → ∞.2.19  êóïåéíûé âàãîí (9 êóïå ïî 4 ìåñòà) ñåìè ïàññàæèðàì ïðîäàíîñåìü áèëåòîâ.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî,÷òî îêàçàëèñü çàíÿòûìè:à) ðîâíî äâà êóïå;á) ðîâíî òðè êóïå2.20 8 ñòóäåíòîâ, äîïîëíèòåëüíî çà÷èñëåííûõ â óíèâåðñèòåò, ñëó÷àéíûìîáðàçîì ðàñïðåäåëÿþòñÿ ïî ÷åòûðåì ãðóïïàì. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî,÷òî:à) â êàæäóþ ãðóïïó ïîïàäóò ïî 2 ñòóäåíòà;22á) âñå îêàæóòñÿ â îäíîé ãðóïïå;â) ïî 4 ñòóäåíòà ïîïàäóò â äâå ãðóïïû.23Ãëàâà 3Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω ⊂ Rd åñòü íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî d-ìåðíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà Rd , èìåþùåå êîíå÷íûé íåíóëåâîé îáúåì µ(Ω) (â ÷àñòíîñòè,ïðè d = 1 ýòî ïîäìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé, èìåþùåå êîíå÷íóþäëèíó; ïðè d = 2 ýòî ïîäìíîæåñòâî ïëîñêîñòè, èìåþùåå êîíå÷íóþ ïëîùàäü; ïðè d = 3 ýòî ïîäìíîæåñòâî òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, èìåþùååêîíå÷íûé îáúåì).Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ëþáîå ïîäìíîæåñòâî A ⊂Ω ïðîïîðöèîíàëüíà ìåðå ýòîãî ïîäìíîæåñòâà µ(A) (ò.å.
äëèíå, ïëîùàäèèëè îáúåìó) è íå çàâèñèò îò âèäà è ðàñïîëîæåíèÿ ìíîæåñòâà A. Òîãäà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A (âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ìíîæåñòâî A) îïðåäåëÿåòñÿôîðìóëîé:µ(A)P(A) =.(3.1)µ(Ω) 3.1.Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâÏðèìåð 3.1. Íà ïëîñêîñòè íà÷åð÷åíû ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, íàõîäÿùèåñÿ äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèè 2a. Íà ïëîñêîñòü íàóäà÷ó áðîøåíàìîíåòà ðàäèóñà r < a. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ìîíåòà ïåðåñå÷åòîäíó èç ïðÿìûõ?Ðåøåíèå. Èíòåðåñóþùåå íàñ ñîáûòèå îäíîçíà÷íî îïèñûâàåòñÿ ïîëîæåíèåì ìîíåòû îòíîñèòåëüíî áëèæàéøåé èç ïðÿìûõ. Ïîýòîìó â êà÷åñòâå ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà äàííîãî ýêñïåðèìåíòà ìîæíî âçÿòü çíà÷åíèåâåëè÷èíû x ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ìîíåòû äî áëèæàéøåé ïðÿìîé.
Òîãäà ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω ïðåäñòàâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì24Ω = {x : 0 ≤ x ≤ a}, òî åñòü îòðåçêîì [0, a] íà ÷èñëîâîé îñè. Ñîáûòèå A ={ìîíåòà ïåðåñå÷åò îäíó èç ïðÿìûõ} ïðîèñõîäèò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x ≤ r. Ñëåäîâàòåëüíî, îíî ïðåäñòàâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîìA = {x : 0 ≤ x ≤ r}, òî åñòü îòðåçêîì [0, r] ⊂ Ω. Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ Aíàõîäèì ïî ôîðìóëå (3.1):P(A) =µ(A)µ([0, r]r== .µ(Ω)µ([0, a])a▽Ïðèìåð 3.2.(Çàäà÷à î âñòðå÷å).
Äâà ëèöà A è B óñëîâèëèñüâñòðåòèòñÿ â îïðåäåëåííîì ìåñòå ìåæäó äâóìÿ è òðåìÿ ÷àñàìè äíÿ.Ëèöî A æäåò äðóãîãî â òå÷åíèå 10 ìèíóò, ïîñëå ÷åãî óõîäèò; ëèöî Bæäåò äðóãîãî â òå÷åíèå 15 ìèíóò. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî êàæäûé èç íèõìîæåò ïðèéòè â ëþáîå âðåìÿ â òå÷åíèå óêàçàííîãî ÷àñà, íàéòè âåðîÿòíîñòè ñëåäóþùèõ ñîáûòèé: C ={âñòðå÷à ñîñòîèòñÿ}, D ={âñòðå÷àñîñòîèòñÿ, íî âî âòîðîé ïîëîâèíå ÷àñà}.Ðåøåíèå. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âñòðå÷à íàçíà÷åíà íà ïðîìåæóòîê âðåìåíè ìåæäó 0 è 1.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç (x, y) ìîìåíòû ïðèõîäà A è B ñîîòâåòñòâåííî. Ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî Ω = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}, òî åñòüåäèíè÷íûé êâàäðàò íà ïëîñêîñòè. Ñîáûòèå C ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå C = C1 ∪ C2 , ãäå C1 ={âñòðå÷à ñîñòîèòñÿ, ïðè÷åì ïåðâûì ïðèäåòA}, C2 ={âñòðå÷à ñîñòîèòñÿ, ïðè÷åì ïåðâûì ïðèäåò B}.
Îíî ñîîòâåòñòâóåò ìíîæåñòâó C = C1 ∪ C2 , ãäå C1 = {(x, y) ∈ Ω : x ≤ y ≤ x + 61 },C2 = {(x, y) ∈ Ω : y ≤ x ≤ y + 41 } = {(x, y) ∈ Ω : x − 14 ≤ y ≤ x}. Èçîáðàæàåì ýòè ìíîæåñòâà íà ðèñ. 3.1. Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî C1 åñòü ìíîæåñòâîòî÷åê êâàäðàòà Ω, çàêëþ÷åííûõ ìåæäó ïðÿìûìè y = x è y = x + 16 ;ìíîæåñòâî C2 ýòî ÷àñòü Ω, çàêëþ÷åííàÿ ìåæäó ïðÿìûìè y = xè y = x − 14 ; îáúåäèíåíèå èõ C çàøòðèõîâàíî ïàðàëëåëüíî äèàãîíàëèêâàäðàòà. Ðàâíîâîçìîæíîñòü ïðèõîäà îáîèõ ëèö â òå÷åíèå ÷àñà ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ãåîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè (3.1), ñîãëàñíîêîòîðîìó1 − 12 ( 56 )2 − 12 ( 34 )2µ(C)107P(C) ===.µ(Ω)1288Ñîáûòèå D ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïåðåñå÷åíèÿ D = C ∩ E , ãäåE ={õîòÿ áû îäíî èç äâóõ ëèö ïðèäåò âî âòîðîé ïîëîâèíå ÷àñà}. Ñîîòâåòñòâóþùåå ìíîæåñòâî E = {(x, y) ∈ Ω : y > 12 x > 12 } âûäåëåíî íà ðèñ.3.1ãîðèçîíòàëüíîé øòðèõîâêîé, à D = C ∩ E - ìíîæåñòâî ñ äâîéíîé øòðèõîâêîé.
Íàõîäÿ ïëîùàäü ýòîãî ìíîæåñòâà (ïëîùàäü åäèíè÷íîãî êâàäðàòà25y1y =x+616y=xy =x−1412160Cj14E112-xÐèñ. 3.1:ìèíóñ ïëîùàäü êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 1/2 ìèíóñ ïëîùàäè äâóõ òðàïåöèé)è ïðèìåíÿÿ ñíîâà ãåîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè, ïîëó÷èì:P(D) = 3.2.1 − ( 12 )2 − 12 ( 13 + 56 ) 12 − 12 ( 14 + 43 ) 21µ(D)5==.µ(Ω)124▽Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ3.1  êâàäðàò ñ âåðøèíàìè (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) íàóäà÷ó áðîøåíà òî÷êà.Ïóñòü (X, Y ) áóäóò åå êîîðäèíàòû. Íàéòè:ã) P{XY < 3/4};à) P{|2X − Y | < 1/4};ä) P{max(X, Y ) < 1/5};á) P{min(X, Y ) < 3/4};e) P{X + 4Y < 1/2}.â) P{(X + Y )/2 < 1/3};3.2 Íà áåñêîíå÷íóþ øàõìàòíóþ äîñêó ñî ñòîðîíîé êâàäðàòà a áðîñàåòñÿíàóäà÷ó ìîíåòà äèàìåòðà 2r < a.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
