1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ñîáûòèå A={âñå øàðû îêàæóòñÿ â ðàçíûõ ÿùèêàõ} îáðàçóåòñÿ òàêèìè ýëåìåíòàðíûìè èñõîäàìè, ïðèêîòîðûõ íîìåðà ÿùèêîâ äëÿ ðàçëè÷íûõ øàðîâ äîëæíû áûòü ðàçëè÷íû,ñëåäîâàòåëüíî, ñîáûòèå A åñòü ìíîæåñòâî âñåõ âûáîðîê áåç âîçâðàùåíèÿèç n ýëåìåíòîâ ïî k . Èõ ÷èñëî N (A) = Akn = n[k] . Òîãäà âåðîÿòíîñòüñîáûòèÿ A ðàâíàP(A) =N (A)n[k]Akn · (n − 1) · · · (n − k + 1)= nk = k =.NBnnnk▹Çàäà÷à, ðàññìîòðåííàÿ â ýòîì ïðèìåðå, ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüíîé, èëè ýòàëîííîé, â òîì ñìûñëå, ÷òî íà ÿçûê ýòîé çàäà÷è ìîæíî ïåðåâåñòè ìíîæåñòâîäðóãèõ çàäà÷ ñ èíûì êîíêðåòíûì ñîäåðæàíèåì, è òîãäà îòâåò ñòàíîâèòñÿî÷åâèäíûì.Ïðèìåð 2.2.
Ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò ñîñòîèò â ÷åòûðåõêðàòíîìïîäáðàñûâàíèè èãðàëüíîé êîñòè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÷èñëà,ïîÿâèâøèåñÿ íà âåðõíåé ãðàíè, âî âñåõ ÷åòûðåõ áðîñàíèÿõ áóäóò ðàçëè÷íû.Ðåøåíèå. Ñóòü ýêñïåðèìåíòà íå èçìåíèòñÿ, åñëè âìåñòî ÷åòûðåõ áðîñàíèé îäíîé êîñòè ïîäáðàñûâàòü ïîî÷åðåäíî ÷åòûðå ðàçëè÷íûå êîñòè. Òîãäà óñëîâèÿ è âîïðîñ çàäà÷è ñòàíîâÿòñÿ ïîëíîñòüþ èäåíòè÷íû ðàññìîòðåííûì â ïðèìåðå 2.1: êîñòè ñîîòâåòñòâóþò øàðàì, à ÷èñëà íà âåðõíåé ãðàíè íîìåðàì ÿùèêîâ. Äëÿ íàøåãî ñëó÷àÿ ÷èñëî øàðîâ k = 4, ÷èñëî ÿùèêîân = 6, à âåðîÿòíîñòü èíòåðåñóþùåãî ñîáûòèÿ ðàâíàP(A) =6[4]6·5·4·35==.64641815▹Îïðåäåëåíèå 2.2.
Ïåðåñòàíîâêîé èç n ýëåìåíòîâ íàçûâàåòñÿ âûáîðêà áåç âîçâðàùåíèÿ, îáúåì êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ îáúåìîì n ãåíåðàëüíîéñîâîêóïíîñòè.Òåðìèí ¾ïåðåñòàíîâêà¿ îòðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî èçâëå÷åíèå ëþáîé âûáîðêè áåç âîçâðàùåíèÿ îáúåìà n èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè òîãî æåîáúåìà n ðàâíîñèëüíî âûñòðàèâàíèþ âñåõ ýëåìåíòîâ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè â îïðåäåëåííîì ïîðÿäêå, òî åñòü íåêîòîðîé ïåðåñòàíîâêå, èëèóïîðÿäî÷åíèþ, ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.Ñëåäñòâèå2.1.
×èñëî âñåõ ïåðåñòàíîâîê èç n ýëåìåíòîâ îáî-çíà÷àåòñÿ Pn è âû÷èñëÿåòñÿ ôîðìóëîé:Pn = n!(2.4)Äîêàçàòåëüñòâî âûòåêàåò èç ðàâåíñòâ: Pn = Ann = n · (n − 1) · · · 2 · 1.Ïðèìåð2.3. 10 êíèã, ñðåäè êîòîðûõ èìååòñÿ òðåõòîìíèêÀ.Ñ.Ïóøêèíà, ñëó÷àéíûì îáðàçîì ñòàâÿò íà ïîëêó. Êàêîâà âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî òðè òîìà À.Ñ.Ïóøêèíà îêàæóòñÿ ñòîÿùèìè ðÿäîì: à) â èõåñòåñòâåííîì ïîðÿäêå; á) â ëþáîì ïîðÿäêå.Ðåøåíèå. Ýëåìåíòàðíûé èñõîä ñëó÷àéíîãî ýêñïåðèìåíòà ðàññòàíîâêà 10 êíèã â îïðåäåëåííîì ïîðÿäêå åñòü, î÷åâèäíî, ïåðåñòàíîâêà èç 10ýëåìåíòîâ. ×èñëî âñåõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ðàâíî ÷èñëó ïåðåñòàíîâîêN = 10!, è ïî óñëîâèþ âñå ýëåìåíòàðíûå èñõîäû ðàâíîâîçìîæíû.à) Îáîçíà÷èì èíòåðåñóþùåå íàñ ñîáûòèå: À={òðè òîìà À.Ñ.Ïóøêèíà îêàæóòñÿ ñòîÿùèìè ðÿäîì â åñòåñòâåííîì ïîðÿäêå}.×òîáû ïîäñ÷èòàòü ÷èñëîïåðåñòàíîâîê, îáðàçóþùèõ ñîáûòèå À, çàìåòèì, ÷òî óêàçàííûå òðè òîìàìîæíî ðàñïîëîæèòü íà 10 ìåñòàõ â åñòåñòâåííîì ïîðÿäêå 8 ñïîñîáàìè, àèìåííî: ðàñïîëàãàÿ ïåðâûé òîì íà ëþáîì ìåñòå ñ 1-ãî ïî 8-é, à âòîðîéè òðåòèé ðÿäîì âñëåä çà ïåðâûì.
Êàæäûé èç 8 ñïîñîáîâ ðàñïîëîæåíèÿòðåõòîìíèêà ìîæíî ñî÷åòàòü ñ ëþáûì ñïîñîáîì ðàññòàíîâêè îñòàëüíûõ ñåìè òîìîâ íà îñòàâøèõñÿ 7 ìåñòàõ, ÷òî ìîæíî ñäåëàòü 7! ñïîñîáàìè (÷èñëîïåðåñòàíîâîê èç 7 ýëåìåíòîâ). Òàêèì îáðàçîì, îáùåå ÷èñëî ïåðåñòàíîâîêèç 10 êíèã, â êîòîðûõ òðè òîìà À.Ñ.Ïóøêèíà ñòîÿò ðÿäîì â åñòåñòâåííîì ïîðÿäêå, ðàâíî N (A) = 8 · 7! = 8!, à âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À ðàâíàN (A)8!11P(A) ====.N10!9 · 1090á) Åñëè íàñ èíòåðåñóåò ñîáûòèå B={òðè òîìà À.Ñ.Ïóøêèíà îêàæóòñÿðÿäîì â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå}, òî ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê, ðåàëèçóþùèõ ýòîñîáûòèå ðàâíî N (B) = N (A) · 3!.
 ñàìîì äåëå, èç êàæäîé ïåðåñòàíîâêè,16ðåàëèçóþùåé ñîáûòèå A, ìîæíî ïîëó÷èòü 3! ðàçëè÷íûõ ïåðåñòàíîâîê, ðåàëèçóþùèõ ñîáûòèå B, ïåðåñòàâëÿÿ òðè òîìà À.Ñ.Ïóøêèíà (1,2,3) ìåæäóñîáîé 3! ñïîñîáàìè. Òîãäà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ B ðàâíà:P(B) =N (B)8! · 3!3·2·11===.N10!9 · 1015▹Îïðåäåëåíèå 2.3. Ñî÷åòàíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ïî k íàçûâàþòñÿâûáîðêè áåç âîçâðàùåíèÿ îáúåìà k èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè îáúåìà n,ðàçëè÷àþùèåñÿ ëèøü ïî ñîñòàâó ýëåìåíòîâ.Ïîñêîëüêó äëÿ ñî÷åòàíèÿ ïîðÿäîê ðàñïîëîæåíèÿ åãî ýëåìåíòîâ çíà÷åíèÿ íå èìååò, òî ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ñî÷åòàíèÿ èç n ýëåìåíòîâ ïî k åñòü âñåâîçìîæíûå k-ýëåìåíòíûå ïîäìíîæåñòâà ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè îáúåìà n.Òåîðåìà 2.2. ×èñëî ñî÷åòàíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî k îáîçíà÷àåòñÿCnk èëè (nk ) è âû÷èñëÿåòñÿ ôîðìóëîé:Cnk = (nk ) =n[k]n · (n − 1) · · · (n − k + 1)n!Akn===.Pkk!k · (k − 1) · · · 2 · 1k! · (n − k)!(2.5)Äîêàçàòåëüñòâî.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç X èñêîìîå ÷èñëî âñåõ ñî÷åòàíèéèç n ýëåìåíòîâ ïî k . Èç êàæäîãî ñî÷åòàíèÿ, ïóòåì âñåâîçìîæíûõ ïåðåñòàíîâîê åãî ýëåìåíòîâ, ìîæíî ïîëó÷èòü Pk = k! ðàçëè÷íûõ âûáîðîê áåçâîçâðàùåíèÿ ñ äàííûì ñîñòàâîì ýëåìåíòîâ. Ïðîäåëàâ ýòî ñ êàæäûì èç Xñî÷åòàíèé, ìû ïîëó÷èì, î÷åâèäíî, âñå âûáîðêè áåç âîçâðàùåíèÿ îáúåìà kèç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè îáúåìà n. Èíà÷å ãîâîðÿ, ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå X · Pk = Akn , èç êîòîðîãî íàõîäèì:X=Aknn[k]=.Pkk!▹Âûðàæåíèÿ Cnk = (nk ), çàäàííûå ðàâåíñòâàìè (2.5), óæå âñòðå÷àëèñü÷èòàòåëþ â êóðñå âûñøåé ìàòåìàòèêè, íàïðèìåð, â èçâåñòíîé ôîðìóëåáèíîìà Íüþòîíà:n∑(a + b)n =Cnk ak bn−k .k=0Ïîýòîìó âûðàæåíèÿ Cnk = (nk ) íàçûâàþòñÿ áèíîìèàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Íèæå ïðèâîäÿòñÿ íåêîòîðûå ñâîéñòâà áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ, êîòîðûå áûâàþò ïîëåçíû ïðè âû÷èñëåíèÿõ.17Ñâîéñòâà áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ1. Cn0 = Cnn = 1 (ïîëàãàþò ïî îïðåäåëåíèþ).2. Cnk = Cnn−k .k−1k3. Cnk = Cn−1+ Cn−1.n∑ k4.Cn = Cn0 + Cn1 + · · · + Cnn = 2n .k=0Ñâîéñòâà 2, 3 ìîæíî äîêàçàòü, ïîëüçóÿñü ðàâåíñòâàìè (2.5), à ñâîéñòâî 4 ïîëó÷àåòñÿ èç ôîðìóëû áèíîìà Íüþòîíà, åñëè â íåé ïîëîæèòüa = b = 1. Åñëè âñïîìíèòü, ÷òî êîýôôèöèåíò Cnk âû÷èñëÿåò ÷èñëî âñåõk -ýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùåãî èç n ýëåìåíòîâ, òî èçñâîéñòâà 4 âûòåêàåò, ÷òî ÷èñëî âñåõ ïîäìíîæåñòâ n-ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà ðàâíî 2n .Ïðèìåð 2.4. (Óðíîâàÿ ñõåìà)  óðíå n øàðîâ, íåðàçëè÷èìûõ íàîùóïü, èç íèõ n1 ÷åðíûõ, (n−n1 ) áåëûõ. Íàóãàä èçâëåêàþòñÿ k øàðîâ(áåç âîçâðàùåíèÿ).
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè íèõ îêàæåòñÿk1 ÷åðíûõ è (k − k1 ) áåëûõ.Ðåøåíèå. Ýëåìåíòàðíûé èñõîä îïèñàííîãî ýêñïåðèìåíòà âûáîðêà áåç âîçâðàùåíèÿ è áåç èíòåðåñà ê ïîðÿäêó øàðîâ â âûáîðêå, ò.å. ñî÷åòàíèå èç n ïî k . Ðàâíîâîçìîæíîñòü ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ îáåñïå÷èâàåòñÿ òåì, ÷òî øàðû â óðíå íåðàçëè÷èìû. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèìåíèìîêëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè.
Îáùåå ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ N = N (Ω) = Cnk . Ââåäåì ñîáûòèå Ak1 = {ñðåäè âûáðàííûõ øàðîâk−k1îêàæåòñÿ k1 ÷åðíûõ è (k − k1 ) áåëûõ}. Òîãäà N (Ak1 ) = Cnk11 · Cn−n. Â1k1ýòîé ôîðìóëå ïåðâûé ñîìíîæèòåëü Cn1 ýòî ÷èñëî ñïîñîáîâ âûáðàòük−k1k1 ÷åðíûõ øàðîâ èç n1 , èìåþùèõñÿ â óðíå, à âòîðîé Cn−n ÷èñëî1ñïîñîáîâ âûáðàòü (k − k1 ) áåëûõ øàðîâ èç èìåþùèõñÿ â óðíå (n − n1 ).Ïîñêîëüêó êàæäûé ñïîñîá âûáîðà ÷åðíûõ øàðîâ ìîæíî ñî÷åòàòü ñ êàæäûì ñïîñîáîì âûáîðà áåëûõ, îáùåå ÷èñëî ñïîñîáîâ âûáîðà êîìáèíàöèè¾k1 ÷åðíûõ è (k − k1 ) áåëûõ¿ ðàâíî óêàçàííîìó ïðîèçâåäåíèþ.
ÎòñþäàíàõîäèìP(Ak1 ) =C k1 · C k−k1N (Ak1 )= n1 kn−n1 .NCn▹(2.6)Çàäà÷à, ðàçîáðàííàÿ â ýòîì ïðèìåðå, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ýòàëîííîé. Íèæå ïðèâîäèòñÿ ïðèìåð àíàëîãè÷íîé çàäà÷è, ñôîðìóëèðîâàííîé â äðóãèõòåðìèíàõ, íî ñ îòâåòîì, ñîâïàäàþùèì ñ (2.6)18 2.3.Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâÏðèìåð 2.5.  ïàðòèè èç n èçäåëèé k áðàêîâàííûõ. Îïðåäåëèòüâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè âûáðàííûõ íàóäà÷ó äëÿ ïðîâåðêè m èçäåëèéðîâíî l îêàæóòñÿ áðàêîâàííûìè.Ðåøåíèå. ×èñëî âîçìîæíûõ ñïîñîáîâ âçÿòü m èçäåëèé èç n ðàâíîCnm .
Áëàãîïðèÿòñòâóþùèìè ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àè, êîãäà èç îáùåãî ÷èñëà áðàêîâàííûõ èçäåëèé âçÿòî l (ýòî ìîæíî ñäåëàòü Ckl ñïîñîáàìè), à îñòàëüíûåm−l èçäåëèé íåáðàêîâàííûå, ò.å. îíè âçÿòû èç îáùåãî ÷èñëà n−k (êîëè÷åm−lñòâî ñïîñîáîâ ðàâíî Cn−k). Ïîýòîìó ÷èñëî áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñëó÷àåâl m−lðàâíî Ck Cn−k . Òîãäà èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü áóäåò ðàâíàpl =m−lCkl Cn−k.CnmÇàìåòèì, ÷òî íàáîð âåðîÿòíîñòåé pl , l = 0, ..., k , íàçûâàþò ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì. ▽Ïðèìåð 2.6. Áðîñàþòñÿ äâå èãðàëüíûå êîñòè. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü,÷òî ñóììà âûïàâøèõ î÷êîâ äåëèòñÿ íà 6?Ðåøåíèå. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ìíîæåñòâî Ω ={(i, j) : i = 1, ..., 6, j = 1, ..., 6} âñåõ óïîðÿäî÷åííûõ ïàð ÷èñåë (i, j), ãäå iè j ïðèíèìàþò íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà öåëûå çíà÷åíèÿ îò 1 äî 6.
Ñòàëîáûòü, ÷èñëî âñåõ òàêèõ ïàð N = N (Ω) = 62 = 36. Åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî îáå èãðàëüíûå êîñòè èäåíòè÷íû è ñèììåòðè÷íû, ïîýòîìó âñåýëåìåíòàðíûå èñõîäû ðàâíîâîçìîæíû, à çíà÷èò, ïðèìåíèìî êëàññè÷åñêîåîïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè (2.1). Îáîçíà÷èâ ÷åðåç A = {ñóììà âûïàâøèõî÷êîâ äåëèòñÿ íà 6} èíòåðåñóþùåå íàñ ñîáûòèå, ëåãêî ïåðå÷èñëèòü âñåýëåìåíòàðíûå èñõîäû (i, j), îáðàçóþùèå A:A = {(1, 5); (2, 4); (3, 3); (4, 2); (5, 1); (6, 6)}.Òàêèì îáðàçîì, N (A) = 6, è ñëåäîâàòåëüíî,N (A)61== .▽N366Ïðèìåð 2.7.Êîëîäà èãðàëüíûõ êàðò (52 ëèñòà, 4 ìàñòè ïî 13êàðò â êàæäîé) òùàòåëüíî ïåðåòàñîâàíà. Íàóäà÷ó áåðóò 6 êàðò (áåçâîçâðàùåíèÿ). Îïèñàòü ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, à òàêæåíàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè ýòèõ êàðò:à) îêàæåòñÿ êîðîëü ïèê;á) áóäåò ðîâíî 5 êàðò îäíîé ìàñòè.P(A) =19Ðåøåíèå.
Ýëåìåíòàðíûé èñõîä ñëó÷àéíîãî ýêñïåðèìåíòà âûáîðêàáåç âîçâðàùåíèÿ îáúåìà 6 èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè îáúåìà 52. Òàêêàê â îïèñàíèè èíòåðåñóþùèõ íàñ ñîáûòèé ïîðÿäîê ýëåìåíòîâ âûáîðêè,òî åñòü ïîðÿäîê ðàñïîëîæåíèÿ øåñòè âûáðàííûõ êàðò, ðîëè íå èãðàåò, àâàæåí ëèøü ñîñòàâ âûáðàííûõ êàðò, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâîýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω ñîñòàâëÿþò âñåâîçìîæíûå ñî÷åòàíèÿ èç 52 ïî6.
Ïîñêîëüêó êîëîäà áûëà òùàòåëüíî ïåðåòàñîâàíà, òî ìîæíî ñ÷èòàòü âñåýëåìåíòàðíûå èñõîäû ðàâíîâîçìîæíûìè. Èõ îáùåå ÷èñëî N = N (Ω) =6C52.à) Îáîçíà÷èâ A={ñðåäè âûáðàííûõ êàðò îêàæåòñÿ êîðîëü ïèê}, íàõîäèìC1 · C51 · 51 · 50 · 49 · 48 · 47 · 6!3P(A) = 1 6 51 ==.C525! · 52 · 51 · 50 · 49 · 48 · 4726á) Îáîçíà÷àÿ B={ñðåäè âûáðàííûõ êàðò îêàæåòñÿ 5 îäíîé ìàñòè}, ïðåäñòàâèì ýòî ñîáûòèå â âèäå ñóììû ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé: B = B1 + B2 + B3 + B4 , ãäå B1 ={ñðåäè âûáðàííûõ êàðò îêàæåòñÿðîâíî 5 ïèê}, B2 ={ñðåäè âûáðàííûõ êàðò îêàæåòñÿ ðîâíî 5 òðåô}, è ò.ä.ÒîãäàN (B) = N (B1 ) + N (B2 ) + N (B3 ) + N (B4 ) = 4N (B1 ),èN (B)N (B1 )=4= 4P(B1 ).NNÄëÿ íàõîæäåíèÿ P(B1 ) ìû èñïîëüçóåì òîò ôàêò, ÷òî ïÿòü ïèêîâûõ êàðò5ñïîñîáàìè, â òî âðåìÿ êàê îäíó íåïèêîâóþèç êîëîäû ìîæíî âûáðàòü C131êàðòó ìîæíî âûáðàòü C39 ñïîñîáàìè. Âñå ñïîñîáû âûáîðà ïÿòè ïèêîâûõêàðò ñâîáîäíî êîìáèíèðóþòñÿ ñî âñåìè ñïîñîáàìè âûáîðà îäíîé íåïèêîâîé, ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî âñåõ ñïîñîáîâ âûáîðà øåñòè êàðò èç êîëîäû,15.· C39ñðåäè êîòîðûõ ðîâíî ïÿòü ïèêîâûõ, ðàâíî C13P(B) =P(B1 ) =15· C39C1313 · 12 · 11 · 10 · 9 · 39 · 6!=,6C525! · 1! · 52 · 51 · 50 · 49 · 48 · 47P(B) = 4 2.4.13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 39 · 6!≈ 0, 0099.5! · 1! · 52 · 51 · 50 · 49 · 48 · 47Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ êîðçèíå ïÿòü êðàñíûõ è ÷åòûðå çåëåíûõ ÿáëîêà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
