1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 8
Текст из файла (страница 8)
. . < xn < . . . ,òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ áóäåò èìåòü ãðàôèê, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 8.1.461p1upip2uupnuu0Ðèñ. 8.1: Ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿx1.F (t)6Xx2xi-xntFX (t).Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ÿâëÿåòñÿñòóïåí÷àòîé, òî åñòü îíà ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ â èíòåðâàëàõ(xi−1 , xi ), à â òî÷êàõ xi èìååò ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà (ñêà÷îê), ðàâíûéâåðîÿòíîñòè pi = P(X = xi ).Ãîâîðÿò, ÷òî ñ.â. X èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå, åñëè åå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ FX (t) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ââèäå:∫FX (t) =t−∞fX (u)du,(8.6)ãäå fX (u) íåîòðèöàòåëüíàÿ, èíòåãðèðóåìàÿ íà âñåé ÷èñëîâîé îñè ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X .
Åñëè ðàñïðåäåëåíèå ñ.â. X àáñîëþòíî íåïðåðûâíî, òî åå ïëîòíîñòüðàñïðåäåëåíèÿ îáëàäàåò ñâîéñòâàìè:f1. Äëÿ âñåõ t ∈ R ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íåîòðèöàòåëüíà:fX (t) ≥ 0.f2. Èíòåãðàë îò ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïî âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé ðàâåíåäèíèöå (óñëîâèå íîðìèðîâêè):∫∞−∞fX (t)dt = 1.f3. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç ìíî-47æåñòâà, ðàâíà èíòåãðàëó îò ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ýòîìó ìíîæåñòâó:∫P(X ∈ A) = fX (t)dtAäëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A ⊆ R, äëÿ êîòîðîãî èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòèîïðåäåëåí.f4. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ FX (t) íåïðåðûâíà íà âñåé ÷èñëîâîé îñè, à âòî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè ïëîòíîñòè fX (t) ô.ð. FX (t) äèôôåðåíöèðóåìà,ïðè÷åì′FX(t) = fX (t).f5.
Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â òî÷êó ðàâíà íóëþ: äëÿëþáîãî a ∈ R âûïîëíåíîP(X = a) = 0.f6. Äëÿ ëþáûõ a < b∫bP(a ≤ X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a < X < b) =fX (t)dt.aÂåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ â ïðîìåæóòîê, ôèãóðèðóþùèå â ïîñëåäíåìñâîéñòâå, âû÷èñëÿþòñÿ êàê ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, çàøòðèõîâàííîé íà ðèñ. 8.2:6fX (t)0 aÐèñ. 8.2: Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ-tb.fX (t)Îòìåòèì, ÷òî ñâîéñòâà f1 è f2 ÿâëÿþòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ, òî åñòü ëþáàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿýòèì ñâîéñòâàì, ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ íåêîòîðîé ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû.48 8.3.Ïðèìåðû ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí1.
Ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè Bp . Ýòî ðàñïðåäåëåíèå ñ. â. X , ïðèíèìàþùåé ëèøü äâà çíà÷åíèÿ 1 è 0 ñ âåðîÿòíîñòÿìè p è q = 1 − p ñîîòâåòñòâåííî. Êàê ìû âèäåëè, òàêîå ðàñïðåäåëåíèå èìååò ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàâíàÿ ÷èñëó ¾óñïåõîâ¿ ïðè îäíîì èñïûòàíèè Áåðíóëëè. Î÷åâèäíî,ðàñïðåäåëåíèå X äèñêðåòíî, è ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì:{p, åñëè k = 1;P(X = k) =0, åñëè k = 0.Òîò ôàêò, ÷òî ñ. â. X èìååò ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè, áóäåì îáîçíà÷àòüñëåäóþùèì îáðàçîì: X ⊂= Bp , ãäå p ïàðàìåòð, 0 < p < 1.2. Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Bn,p .
Ãîâîðÿò, ÷òî ñ. â. Y èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (n, p), ãäå n = 1, 2, . . .,0 < p < 1 ( îáîçíà÷àåì Y ⊂= Bn,p ), åñëè îíà ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ0, 1, . . . , n ñ âåðîÿòíîñòÿìè, âû÷èñëÿåìûìè ïî ôîðìóëàì Áåðíóëëè:pk = P(Y = k) = Cnk pk q n−k , k = 0, 1, . . . , n.Êàê ìû çíàåì, áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå èìååò ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàY , ðàâíàÿ ÷èñëó ¾óñïåõîâ¿ â n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè. Î÷åâèäíî, ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé áèíîìèàëüíîãî ïðèn = 1 : Bp = B1,p .3.
Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà Πλ . Ãîâîðÿò, ÷òî ñ. â. Z èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ > 0 (îáîçíà÷àåì Z ⊂= Πλ ), åñëèîíà ìîæåò ïðèíèìàòü öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ ñ âåðîÿòíîñòÿìè,âû÷èñëÿåìûìè ïî ôîðìóëàì:pk = P(Z = k) = e−λλk, k = 0, 1, ... .k!Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíûì äëÿ áèíîìèàëüíîãîBn,p , êîãäà n âåëèêî, à p ìàëî (ñì. áîëåå òî÷íî òåîðåìû Ïóàññîíà 10.6,10.7). Ïðèáëèæåííî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíàóäîâëåòâîðÿþò òàêèå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, êàê ÷èñëî âûçîâîâ, ïîñòóïèâøèõ íà òåëåôîííóþ ñòàíöèþ çà îïðåäåëåííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, èëè÷èñëî îòêàçàâøèõ ýëåìåíòîâ ñëîæíîé àïïàðàòóðû, ñîñòîÿùåé èç áîëüøîãî÷èñëà òàêèõ ýëåìåíòîâ, çà íåêîòîðûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè.494.
Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå Gp . Ãîâîðÿò, ÷òî ñ. â. X èìååòãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì p, ãäå 0 < p < 1 (îáîçíà÷àåìX ⊂= Gp ), åñëè îíà ìîæåò ïðèíèìàòü ïîëîæèòåëüíûå öåëûå çíà÷åíèÿ ñâåðîÿòíîñòÿìè, âû÷èñëÿåìûìè ïî ôîðìóëàì:pk = P(X = k) = pq k−1 , k = 1, 2, ... , q = 1 − p.Íàçâàíèå ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî âåðîÿòíîñòè pk ðÿäà ðàñïðåäåëåíèÿ îáðàçóþò áåñêîíå÷íî óáûâàþùóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ.
Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå èìååò ñ. â. X , ðàâíàÿ ÷èñëó ïðîâåäåííûõ èñïûòàíèé Áåðíóëëè äî ïîÿâëåíèÿ ïåðâîãî ¾óñïåõà¿.Çàìå÷àíèå 8.1. Âñå âûøåïðèâåäåííûå ïðèìåðû ïðåäñòàâëÿþò äèñêðåòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ. ×èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ íèõâûïîëíÿþòñÿ îáÿçàòåëüíûå äëÿ âñÿêîãî äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ óñëîâèÿ p1 p2.5. Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå U[a; b] .
Ãîâîðÿò, ÷òî ñ. â. X èìååòðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [a; b] (îáîçíà÷àåì X ⊂= U[a; b] ), åñëè ðàñïðåäåëåíèå X àáñîëþòíî íåïðåðûâíî, à ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿïîñòîÿííà íà îòðåçêå [a, b] è ðàâíà íóëþ âíå ýòîãî îòðåçêà:{C, åñëè t ∈ [a, b],fX (t) =0, åñëè t ∈/ [a, b].Êîíñòàíòó C ìîæíî íàéòè, âîñïîëüçîâàâøèñü îáÿçàòåëüíûì äëÿ âñÿêîé ïëîòíîñòè óñëîâèåì íîðìèðîâêè f2:∫∞1=∫afX (t)dt ==−∞∫b0dt +−∞∫∞0dt = 0 + C(b − a) + 0 = C(b − a).Cdt +ab1, è ïëîòíîñòü ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ U[a; b]b−aïðèíèìàåò ñëåäóþùèé îêîí÷àòåëüíûé âèä: 1 , åñëè t ∈ [a, b],fX (t) = b − a(8.7)0,åñëè t ∈/ [a, b].Îòñþäà C =Íåòðóäíî ïîñòðîèòü ãðàôèêè ôóíêöèè è ïëîòíîñòè ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ U[a; b] , îíè ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 8.3.50YY1/ (b-a)10 aaaAb0XaaAbXÐèñ.
8.3: Ôóíêöèÿ è ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíîìåðíîãî çàêîíà.Óïðàæíåíèå 8.1. Íàéäèòå àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ ô.ð. ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ U[a; b] .Ïîëåçíî îòìåòèòü åùå îäíî ñâîéñòâî ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ÷àñòî èñïîëüçóåìîå ïðè âû÷èñëåíèè âåðîÿòíîñòåé.Åñëè ñ. â. X èìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [a, b], òîâåðîÿòíîñòü åå ïîïàäàíèÿ â ëþáîé ïðîìåæóòîê, öåëèêîì ñîäåðæàùèéñÿ â îòðåçêå [a, b], âû÷èñëÿåòñÿ ñîãëàñíî ãåîìåòðè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþâåðîÿòíîñòè.
Íàïðèìåð, åñëè [c, d] ⊂ [a, b], òîP(X ∈ [c, d]) = f racd − cb − a.(8.8)Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ïðîìåæóòîêâû÷èñëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ýòîìó ïðîìåæóòêó, òî∫dP(X ∈ [c, d]) =∫dfX (t)dt =cc11dt =b−ab−a∫ddt =cd−c.b−a5. Ýêñïîíåíöèàëüíîå (ïîêàçàòåëüíîå) ðàñïðåäåëåíèå Eα . Ãîâîðÿò, ÷òî ñ. â. X èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì α > 0(îáîçíà÷àåì X ⊂= Eα ), åñëè ðàñïðåäåëåíèå X àáñîëþòíî íåïðåðûâíî ñïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ{Ce−αt , åñëè t ≥ 0,fX (t) =0,åñëè t < 0.51Êîíñòàíòó C ìîæíî íàéòè, êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, âîñïîëüçîâàâøèñü óñëîâèåì íîðìèðîâêè f2:∫∞1=∫0fX (t)dt =−∞∫∞=0+C∫∞fX (t)dt +fX (t)dt =−∞0e−αt dt =C −αt ∞Ce|0 = .−αα0Îòñþäà C = α , è ïëîòíîñòü ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Eαèìååò âèä{αe−αt , åñëè t ≥ 0,fX (t) =(8.9)0,åñëè t < 0.Çàêîíó ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïîä÷èíÿþòñÿ òàêèå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, êàê âðåìÿ áåçîòêàçíîé ðàáîòû ðàäèîàïïàðàòóðû èëè âðåìÿìåæäó ïîñòóïëåíèåì äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ âûçîâîâ íà ñòàíöèþ ñêîðîéìåäèöèíñêîé ïîìîùè.Óïðàæíåíèå 8.2.
Íàéòè àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ ô.ð. ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Eα è ïîñòðîèòü ãðàôèêè ôóíêöèè è ïëîòíîñòèðàñïðåäåëåíèÿ.Îïðåäåëåíèå 8.1. Ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, èëè ðàñïðåäåëåíèå Ãàóññà, ñ ïàðàìåòðàìè (a, σ2 ),åñëè ðàñïðåäåëåíèå X àáñîëþòíî íåïðåðûâíî ñ ïëîòíîñòüþ2fX (t) =(t−a)1−√ e 2σ2 ,σ 2π−∞ < t < ∞.(8.10)Íîðìàëüíîå, èëè ãàóññîâñêîå, ðàñïðåäåëåíèå çàíèìàåò îñîáîå ìåñòî âòåîðèè âåðîÿòíîñòåé â ñèëó ñâîåé ðàñïðîñòðàíåííîñòè â ïðèëîæåíèÿõ èòåîðåòè÷åñêîé âàæíîñòè äëÿ ìíîãèõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåçóëüòàòîâ òåîðèèâåðîÿòíîñòåé.Îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî a ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, íàçûâàåìîå ñðåäíèì, à σ > 0íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì, èëè ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì, îòêëîíåíèåì.Òîò ôàêò, ÷òî ñ. â.
X èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (a, σ2 ), áóäåì îáîçíà÷àòü: X ⊂= Na,σ2 . Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå N0,152ñ ïàðàìåòðàìè a = 0, σ2 = 1 íàçûâàþò ñòàíäàðòíûì íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì, èëè ñòàíäàðòíûì íîðìàëüíûì çàêîíîì.Îòìåòèì, ÷òî åñëè X ⊂= Na,σ2 , òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ìîæåò áûòüïðåäñòàâëåíà â âèäåX = a + σZ,(8.11)ãäå ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Z èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.Ñìûñë ïàðàìåòðîâ (a, σ2 ) íîðìàëüíîãî çàêîíà ìîæíî ïîíÿòü èç ãðàôèêà ïëîòíîñòè, ïðåäñòàâëåííîãî íà ðèñ.
8.4.Yaaa0XÐèñ. 8.4: Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíîãî çàêîíà.Íàéäåì òåïåðü ô. ð. íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.Áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Φ(t) ô. ð. ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà. Òîãäà∫tΦ(t) =−∞1φ(u)du = √σ 2π∫te−u22σdu.(8.12)−∞Ôóíêöèÿ Φ(t), îïðåäåëåííàÿ ýòèì ðàâåíñòâîì, íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåéËàïëàñà, åå çíà÷åíèÿ ïðîòàáóëèðîâàíû, è ñîîòâåòñòâóþùèå òàáëèöû èìåþòñÿ âî âñåõ ðóêîâîäñòâàõ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé èëè ìàòåìàòè÷åñêîéñòàòèñòèêå.  íàñòîÿùåì ó÷åáíèêå îíà ïîìåùåíà â ïðèëîæåíèè à âêîíöå êíèãè. Äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ òàáëèöû ïîëåçíû íåêîòîðûåñâîéñòâà ôóíêöèè Φ(t). Îíè ñîäåðæàòñÿ â ñëåäóþùåé ëåììå.Ëåììà 8.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
