1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Èç öèôð 0, 1, 2, 3, 4 âûáèðàþò íàóäà÷ó äâå öèôðû áåçâîçâðàùåíèÿ. Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ìåæäó ìåíüøåé è áîëüøåéèç âûáðàííûõ öèôð.Ðåøåíèå. ×èñëî ñïîñîáîâ âûáðàòü 2 öèôðû èç 5 áåç âîçâðàùåíèÿ è5!áåç ó÷åòà ïîðÿäêà ðàâíÿåòñÿ C52 = 2!3!= 10. Ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü êàæäîéäîïóñòèìîé êîìáèíàöèè äâóõ öèôð ðàâíà 1/10 = 0, 1.Îáîçíà÷èì ÷åðåç X ìåíüøóþ èç äâóõ öèôð, ÷åðåç Y áîëüøóþ.
Ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ òàáëèöó äâóìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:YX012312340,10000,10,1000,10,10,100,10,10,10,1Ñîñòàâèì òàáëèöû îäíîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé:iP(X = i)00,47510,320,230,1▽jP(X = i)10,120,230,340,4Äëÿ ñîêðàùåíèÿ âû÷èñëåíèé ïîëåçíî îòìåòèòü, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y ðàñïðåäåëåíà òàê æå, êàê 4 − X . Íàéäåì ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêèñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X . Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è âòîðîé ìîìåíò ðàâíÿþòñÿEX =3∑xi pi = 0 · 0, 4 + 1 · 0, 3 + 2 · 0, 2 + 3 · 0, 1 = 0, 7;i=0EX 2 =3∑(xi )2 pi = 02 ·0, 4+12 ·0, 3+22 ·0, 2+32 ·0, 1 = 0+0, 3+0, 8+0, 9 = 2.i=0Íàéäåì äèñïåðñèþ:DX = EX 2 − (EX)2 = 2 − 0, 72 = 2 − 0, 49 = 1, 51.Äëÿ íàõîæäåíèÿ ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Yâñïîìíèì, ÷òî îíà ðàñïðåäåëåíà òàê æå, êàê 4−X (ïðîâåðüòå, ÷òî ÷èñëîâûåõàðàêòåðèñòèêè äëÿ Y ìîæíî âû÷èñëèòü è íåïîñðåäñòâåííî, è ðåçóëüòàòûñîâïàäàþò ñ òåìè, ÷òî ïîëó÷åíû íèæå):EY = E(4 − X) = 4 − EX = 4 − 0, 7 = 3, 3;DY = D(4 − X) = D(−X) = (−1)2 DX = DX = 1, 51.Âû÷èñëèì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðîèçâåäåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí XY ïî òàáëèöå ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîëüçóÿñü ôîðìóëîéEXY =3 ∑4∑i · j · P(X = i, Y = j).i=0 j=1Âûïèñàííàÿ äâîéíàÿ ñóììà ñîñòîèò èç 16 ñëàãàåìûõ, êàæäîå èç êîòîðûõ ïîëó÷àåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì çíà÷åíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è âåðîÿòíîñòè â êàæäîé èç 16 êëåòîê òàáëèöû.
Âûïèøåì òå 10 ñëàãàåìûõ, äëÿêîòîðûõ âåðîÿòíîñòè íå ðàâíû íóëþ:EXY = 0 · 1 · 0, 1 + 0 · 2 · 0, 1 + 0 · 3 · 0, 1 + 0 · 4 · 0, 1++1 · 2 · 0, 1 + 1 · 3 · 0, 1 + 1 · 4 · 0, 1 + 2 · 3 · 0, 1 + 2 · 4 · 0, 1 + 3 · 4 · 0, 1 == 0 + 0 + 0 + 0 + 0, 2 + 0, 3 + 0, 4 + 0, 6 + 0, 8 + 1, 2 = 3, 5.76Ñëåäîâàòåëüíî, êîâàðèàöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y ðàâíàcov(X, Y ) = EXY − EX · EY = 3, 5 − 0, 7 · 3, 3 = 3, 5 − 2, 31 = 1, 19,è êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè1, 19cov(X, Y )1, 19√ρ(X, Y ) = √=√=≈ 0, 79.1, 51DX DY1, 512 9.5.Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ9.1 Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿxiP(X = xi )-11/501/1013/102.2/5Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí:à) X;â) X 2 ;á) |X|;ã) 2X .9.2 Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ -2, -1, 0, 1 è 2 ñâåðîÿòíîñòüþ 1/5 êàæäîå.
Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèèñëó÷àéíûõ âåëè÷èí:à) X;â) |X|;á) − X;ã) X 2 .9.3 Èìååòñÿ øåñòü êëþ÷åé, èç êîòîðûõ òîëüêî îäèí ïîäõîäèò ê çàìêó.Ñîñòàâèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà ïîïûòîê ïðè îòêðûâàíèè çàìêà, åñëèèñïðîáîâàííûé êëþ÷ â ïîñëåäóþùèõ îïðîáîâàíèÿõ íå ó÷àñòâóåò. ×åìóðàâíû ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû?9.4 Èç óðíû, ñîäåðæàùåé ïÿòü áåëûõ è òðè ÷åðíûõ øàðà, ïîñëåäîâàòåëüíî âûíèìàþò øàðû, ïðè÷åì îïåðàöèÿ èçâëå÷åíèÿ ïðîäîëæàåòñÿ äîïîÿâëåíèÿ áåëîãî øàðà.
Ñîñòàâèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà èçâëå÷åííûõ÷åðíûõ øàðîâ è âû÷èñëèòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ, åñëèèçâåñòíî, ÷òî: à) âûíóòûå øàðû â óðíó íå âîçâðàùàþòñÿ; á) âûíóòûåøàðû âîçâðàùàþòñÿ â óðíó.77Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí â çàäà÷àõ 8.1 8.7.9.5 Èãðîê áðîñàåò â àâòîìàò æåòîí ñòîèìîñòüþ 10 ðóáëåé.  ñëó÷àåâûèãðûøà èãðîê ïîëó÷àåò 50 ðóáëåé. Âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà ñîñòàâëÿåò0,16. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ âûèãðûøà èãðîêà âòàêîé èãðå.9.6 Äèàìåòð êðóãà èçìåðåí ïðèáëèæåííî. Ñ÷èòàÿ, ÷òî åãî âåëè÷èíàðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà íà îòðåçêå [a, b], íàéòè ñðåäíåå çíà÷åíèå èäèñïåðñèþ ïëîùàäè êðóãà.9.7 Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X Y íåçàâèñèìû, ïðè÷åì X èìååò íîðìàëüíîåðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè 2 è 1/2, à Y - ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèåíà îòðåçêå [0, 4].
Íàéòè:à) E(X + Y );ã) E(X − Y 2 );á) EXY ;ä) D(X + Y );â) EX ;e) D(X − Y ).2Áðîñàåòñÿ n èãðàëüíûõ êîñòåé. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå èäèñïåðñèþ ñóììû î÷êîâ íà âñåõ êîñòÿõ.9.9 Äâóìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïàðû öåëî÷èñëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíX è Y çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ òàáëèöû,9.8Y = −1Y =2X = −21/61/6X=01/61/6X=11/61/6ãäå â ïåðåñå÷åíèè ñòîëáöà X = i è ñòðîêè Y = j íàõîäèòñÿ âåðîÿòíîñòü:P{X = i, Y = j}. Íàéòè:à) EX, DX;â) Cov(X, Y );á) EY, DY ;ã) E(X − 2Y ), D(X − 2Y ).9.10 Äâóìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð (X, Y ) èìååò ðàñïðåäåëåíèå, çàäàííîåòàáëèöåé:XY-201-1011/81/123/241/121/121/127/241/161/1678Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ, äèñïåðñèè è êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèèñ.
â. X, Y , à òàêæå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ñ.â. X − 3Y + 1.9.11 Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ρ(X, X +Y ), ãäå X è Y íåçàâèñèìû,îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû è èìåþò êîíå÷íûé âòîðîé ìîìåíò, ïðèìåíèòüïîëó÷åííóþ ôîðìóëó äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà X è Y èìåþò ñòàíäàðòíîåíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.9.12 Ïóñòü ñ.â. X èìååò ðàâíîìåðíîå íà îòðåçêå [−1, 1] ðàñïðåäåëåíèå.Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ρ(X, X 2 ).9.13 Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Z èìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå[0, 1]. Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Y1 , Y2 , åñëè:à) Y1 = aZ, Y2 = bZ (a, b > 0);á) Y1 = aZ, Y2 = bZ (a < 0 < b);â) Y1 = Z, Y2 = Z 2 .Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ìåæäó ÷èñëîì åäèíèö è ÷èñëîìøåñòåðîê ïðè òðåõ áðîñàíèÿõ ïðàâèëüíîé èãðàëüíîé êîñòè.9.1479Ãëàâà 10Ïðåäåëüíûå òåîðåìûÅùå âî ââåäåíèè, ãîâîðÿ î çàêîíîìåðíîñòÿõ ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, ìûóòî÷íèëè, ÷òî ýòè çàêîíîìåðíîñòè ïðîÿâëÿþòñÿ â ðåçóëüòàòå ïðîâåäåíèÿáîëüøîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ ýêñïåðèìåíòîâ.
Ïðèìåð òàêîé çàêîíîìåðíîñòè óñòîé÷èâîñòü ÷àñòîòû ñîáûòèÿ ìîæíî íàáëþäàòü, ïðîâåäÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî ðåàëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, èëè âîñïîëüçîâàâøèñü ñòàòèñòè÷åñêèìè äàííûìè íàáëþäåíèé òîãî èëè èíîãî ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ(äåìîãðàôè÷åñêèå äàííûå, ìåòåîðîëîãè÷åñêèå íàáëþäåíèÿ è ò.ä.). Íàèáîëåå ÿðêèå ðåçóëüòàòû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ïðèñóùèå èìåííî ýòîé íàóêå,ñâÿçàíû ñ îòêðûòèåì ôàêòîâ, íàáëþäàåìûõ òîëüêî ïðè ïðîâåäåíèè áîëüøîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Òàêîãî ðîäà ðåçóëüòàòû íàçûâàþòïðåäåëüíûìè òåîðåìàìè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.
Íàèáîëåå âàæíûìè è èçâåñòíûìè ïðåäåëüíûìè òåîðåìàìè ÿâëÿþòñÿ çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë (ÇÁ×)è öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà (ÖÏÒ). 10.1.Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë ïðîñòåéøåì ñëó÷àå çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì:ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå áîëüøîãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí âåäåò ñåáÿ êàê âåëè÷èíà íåñëó÷àéíàÿ, ðàâíàÿìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîåX1 + X 2 + . . . + X nïðè n → ∞ âåäåò ñåáÿ âåñüìà óñòîé÷èâî, â òî âðåìÿnêàê îòäåëüíûå ñëàãàåìûå X1 , X2 , ...
, Xn ìîãóò èñïûòûâàòü çíà÷èòåëüíûåñëó÷àéíûå îòêëîíåíèÿ. Èíà÷å ãîâîðÿ, ïðè n → ∞ èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü:X1 + X2 + ... + Xnn80→ a = EX1 ,ãäå ñìûñë ñõîäèìîñòè è äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ óòî÷íÿþòñÿ íèæå â òî÷íûõ ôîðìóëèðîâêàõ. Çäåñü æå îòìåòèì, ÷òî ÇÁ× ïðîÿâëÿåòñÿ âî ìíîãèõðåàëüíûõ ¾ñëó÷àéíûõ ýêñïåðèìåíòàõ¿: ñðåäíåå êîëè÷åñòâî îñàäêîâ, âûïàäàþùèõ â äàííîé ìåñòíîñòè çà ãîä, âû÷èñëÿåìîå ïî ðåçóëüòàòàì ìíîãîëåòíèõ íàáëþäåíèé, îêàçûâàåòñÿ âåëè÷èíîé âåñüìà ñòàáèëüíîé; ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí âû÷èñëÿåòñÿ îáûêíîâåííî êàê ñðåäíååàðèôìåòè÷åñêîå äîñòàòî÷íî áîëüøîãî ÷èñëà ðåàëüíûõ èçìåðåíèé, ÷òîáûóìåíüøèòü âëèÿíèå ñëó÷àéíûõ îøèáîê, âîçíèêàþùèõ ïðè îòäåëüíûõ èçìåðåíèÿõ, è äð.Ïóñòü çàäàíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Y1 , Y2 , .
. . è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y .Îïðåäåëåíèå 10.1. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Y1 , Y2 , . . . ñõîäèòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 (èëè ñõîäèòñÿ ïî÷òèíàâåðíîå) ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå Y , åñëè Yn (ω) → Y (ω) ïðè n → ∞ äëÿ âñåõω ∈ Ω çà èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, ω èç ìíîæåñòâà íóëåâîé âåðîÿòíîñòè.Áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå äëÿ ñõîäèìîñòè ïî÷òè íàâåðíîå:Yn → Y ï. í.Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî Yn → Y ï. í. òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàYn − Y → 0 ï. í., ÷òî â ñâîþ î÷åðåäü ðàâíîñèëüíî ñõîäèìîñòè |Yn − Y | → 0ï.
í.Îòìåòèì, ÷òî åñëè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X1ïîëîæèòåëüíà ïî÷òè âñþäó íà (êîíå÷íîì èëè áåñêîíå÷íîì) èíòåðâàëå(a; b), è (X1 , . . . , Xn ) âûáîðêà, òî min{Xi } → a ï. í., è max{Xi } → b ï.í.Âàæíûì ñâîéñòâîì ñõîäèìîñòè ïî÷òè íàâåðíîå ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâî ñõîäèìîñòè ôóíêöèé îò ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Òåîðåìà 10.1. Ïóñòü Yn → Y ï.
í., g(x) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ.Òîãäà g(Yn ) → g(Y ) ï. í.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, ñîáûòèåYn → Y âëå÷åò ñîáûòèå g(Yn ) → g(Y ). Ñëåäîâàòåëüíî,P(g(Yn ) → g(Y )) ≥ P(Yn → Y ) = 1.Òî æå ñâîéñòâî èìååò ìåñòî è äëÿ ôóíêöèè ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ. Äîêàæåì åãî äëÿ ñëó÷àÿ äâóõ ïåðåìåííûõ.81Òåîðåìà 10.2.
Ïóñòü Yn → Y ï. í., Zn → Z ï. í., g(x, y) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ. Òîãäà g(Yn , Zn ) → g(Y, Z) ï. í.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, ïåðåñå÷åíèå ñîáûòèé Yn → Y, Zn → Z âëå÷åò ñîáûòèå g(Yn , Zn ) → g(Y, Z).Ñëåäîâàòåëüíî, P(g(Yn , Zn ) → g(Y, Z)) ≥ P(Yn → Y, Zn → Z). Òàê êàêP(Yn → Y ) = 1, P(Zn → Z) = 1, òî îáúåäèíåíèå ýòèõ ìíîæåñòâ òàêæå èìååò âåðîÿòíîñòü 1. Îòñþäà ïî ôîðìóëå âåðîÿòíîñòè îáúåäèíåíèÿïîëó÷àåì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïåðåñå÷åíèÿ òàêæå ðàâíà 1. Ñëåäîâàòåëüíî,P(g(Yn , Zn ) → g(Y, Z)) = 1.Ñëåäóþùàÿ âàæíàÿ òåîðåìà íîñèò íàçâàíèå çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë Êîëìîãîðîâà.Òåîðåìà 10.3.
Ïóñòü X1 , X2 , . . . íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû c êîíå÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåìEX1 . Îáîçíà÷èì Sn = X1 + . . . + Xn . Òîãäà Sn /n → EX1 ï. í.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [1]. 10.2.Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìàÐàññìîòðèì íåñêîëüêî ðåçóëüòàòîâ, êîòîðûå îáúåäèíÿþòñÿ ïîä íàçâàíèåì öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû è çàíèìàþò îñîáîå ìåñòî â òåîðèèâåðîÿòíîñòåé.
Óïðîùåííî ãîâîðÿ, öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà (ÖÏÒ)ôîðìóëèðóåòñÿ òàê: ñóììà áîëüøîãî ÷èñëà ìàëûõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí ïðèáëèæåííî èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Áëàãîäàðÿ ÖÏÒíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå èìååò, ïîæàëóé, íàèáîëüøåå ðàñïðîñòðàíåíèåâ ðàçëè÷íûõ ïðèêëàäíûõ îáëàñòÿõ. Òàê, íàïðèìåð, îáùåïðèíÿòî ñ÷èòàòüðåçóëüòàò ëþáîãî ôèçè÷åñêîãî èçìåðåíèÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ïîñêîëüêó â ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ íåèçáåæíî âõîäèòíåêîòîðàÿ îøèáêà, êîòîðàÿ ñîñòîèò èç áîëüøîãî ÷èñëà ìåëêèõ íåçàâèñèìûõ îøèáîê, âûçûâàåìûõ ðàçëè÷íûìè ôàêòîðàìè: íåòî÷íîñòü èíñòðóìåíòà, ìåíÿþùèåñÿ ïàðàìåòðû ñðåäû, óñëîâèÿ èçìåðåíèÿ è ò.ä.Ñõîäèìîñòü öåíòðèðîâàííûõ è íîðìèðîâàííûõ ñóìì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí â öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå èìååò ìåñòî â íåêîòîðîì ñïåöèàëüíîì ñìûñëå, áîëåå ñëàáîì, ÷åì ñõîäèìîñòü ïî÷òè íàâåðíîå.Äàäèì îïðåäåëåíèå ñõîäèìîñòè ïî ðàñïðåäåëåíèþ.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Y1 , Y2 , . . . íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå Y ñ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ82FY (t), åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ñõîäèòñÿ ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â êàæäîé òî÷êå: äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî t âûïîëíåíîFYn (t) → FY (t)ïðè n → ∞.Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåín∑íûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {Xn }∞Xk ïîñëåäîn=1 è îáîçíà÷èì ÷åðåç Sn =k=1âàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì, ñîñòàâëåííûõ èç ïåðâûõ n ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Xk . Îòíîñèòåëüíî ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Xk áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî îíè èìåþò äâà êîíå÷íûõ ìîìåíòà: EXk = a, DXk = σ2 >0, k = 1, 2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
