1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Ïðîâåðèòü íåñìåùåííîñòü îöåíêè eθ3 . Èññëåäîâàòü ñèëüíóþñîñòîÿòåëüíîñòü âñåõ ïîëó÷åííûõ îöåíîê.Ðåøåíèå. Âû÷èñëèì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñòàòèñòèêè eθ1 :Eeθ1 = c1 EX = c1 EX1 = c1 θ/2.Óñëîâèå íåñìåùåííîñòè âûïîëíåíî, åñëèEeθ1 = c1 θ/2 = θ.Îòñþäà ñ íåîáõîäèìîñòüþ c1 = 2. Èòàê, ìû ïîëó÷èëè ïåðâóþ íåñìåùåííóþ îöåíêó: eθ1 = 2X . Åå ñèëüíàÿ ñîñòîÿòåëüíîñòü ñëåäóåò èç óñèëåííîãî çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë: òàê êàê X → EX1 = θ/2 ï.
í., òî eθ1 = 2X → θï. í. â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè y(t) = 2t.Èññëåäîâàíèå îöåíêè eθ2 çíà÷èòåëüíî áîëåå òðóäîåìêî. Íàéäåì ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè X(n) . Åå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíàFX(n) (y) = P{X(n) < y} = P{max(X1 , . . . , Xn ) < y} =101= P{n∩(Xi < y)} =i=1ãäån∏P(Xi < y) = F n (y),i=10, åñëè y ≤ 0F (y) = yθ , åñëè 0 < y ≤ θ,1, åñëè y > θ.
ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ çàêîíà U[0; θ] . Äèôôåðåíöèðóÿ FX(n) (y), íàéäåìïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X(n) :fX(n) (y) = nF n−1 (y)F ′ (y) = nF n−1 (y)f (y).Ïîäñòàâëÿÿ â ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ çàêîíà U[0;è åãî ïëîòíîñòü{1, åñëè y ∈ (0, θ),f (y) = θ0, åñëè y ∈/ [0, θ],íàõîäèì ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ X(n) :{ n−1nyθn , åñëè y ∈ (0, θ),fX(n) (y) =0,åñëè y ∈/ [0, θ].êè:θ](11.7)Äëÿ ïðîâåðêè íåñìåùåííîñòè íàéäåì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îöåí-Eθ eθ = Eθ X(n) =∫θ0θny n−1n y n+1 ny n dy =θ.
=θn + 1 θn n+10Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îöåíêà eθ2 = c2 eθ = c2 X(n) ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîéäëÿ ïàðàìåòðà θ ïðè óñëîâèè c2 nθ/(n + 1) = θ. Îòñþäà íàõîäèì c2 =(n + 1)/n. Ìû ïîëó÷èëè âòîðóþ íåñìåùåííóþ îöåíêó: eθ2 = (n + 1)X(n) /n.Ïðîâåðèì ñèëüíóþ ñîñòîÿòåëüíîñòü eθ2 . Ñîãëàñíî îòìå÷åííîìó ñâîéñòâó ñõîäèìîñòè ïî÷òè íàâåðíîå, ìàêñèìóì èç íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ íà èíòåðâàëå ïîëîæèòåëüíóþïëîòíîñòü, ñõîäèòñÿ ï. í.
ê ïðàâîìó êîíöó èíòåðâàëà:X(n) → θ ï. í.Òàê êàê (n + 1)/n → 1 êàê ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî â ñèëóíåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè g(x, y) = xy èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòüeθ2 = (n + 1)/n · X(n) → 1 · θ = θ ï. í.102Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåñìåùåííîñòè òðåòüåé îöåíêè çàìåòèì, ÷òî ìèíèìóì âûáîðêè X(1) ðàñïðåäåëåí ñèììåòðè÷íî ìàêñèìóìó X(n) îòíîñèòåëüíîñåðåäèíû îòðåçêà θ/2, ò. å. äëÿ âñåõ t âûïîëíåíîP{X(1) < t} = P{θ − X(n) < t}.ÎòñþäàEX(1) = θ − EX(n) = θ/(n + 1),Eθ eθ3 = θ îöåíêà íåñìåùåííàÿ. ñèëó òîé æå ñèììåòðèè ïîëó÷àåì, ÷òî X(1) → 0 ï.
í., è â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè g(x, y) = x + y èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü eθ3 → θ ï. í. 11.5.Îöåíêè ìåòîäîì ìîìåíòîâÍàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè ìåòîäàìè íàõîæäåíèÿ îöåíîê ÿâëÿþòñÿìåòîä ìîìåíòîâ è ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ.Ìåòîä ìîìåíòîâ (îäíîìåðíûé ñëó÷àé)Ïóñòü θ ∈ Θ - îäíîìåðíûé ïàðàìåòð, è g : R −→ R íåêîòîðàÿ⃗ = (X1 , X2 , ..., Xn ) ìîæíî÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà ïî äàííîé âûáîðêå X⃗ïîñòðîèòü âûáîðêó g(X) = (g(X1 ), g(X2 ), ..., g(Xn )). Îáîçíà÷èì1∑g(Xi )n i=1ng(X) =âûáîðî÷íîå ñðåäíåå ýòîé âûáîðêè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìîæíî íàéòè òåîðå⃗ :òè÷åñêîå ñðåäíåå âûáîðêè g(X)mg (θ) = Eg(Xi ).Îïðåäåëåíèå 11.1.
Îöåíêîé ìåòîäà ìîìåíòîâ (ÎÌÌ) íàçûâàåòñÿòàêîå çíà÷åíèå θ∗g = θ∗g (X), ïðè êîòîðîì òåîðåòè÷åñêîå ñðåäíåå âûáîðêèg(X) ñîâïàäàåò ñ âûáîðî÷íûì ñðåäíèì:mg (θ∗g ) = g(X),(11.8)òî åñòü ÎÌÌ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (11.8) îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîãî θ∗g .Åñëè ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ mg (θ) íåïðåðûâíà è ñòðîãîìîíîòîííà, òî äëÿ íåå ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ m−1g , è ÎÌÌ èìååò âèä:θ∗g (X) = m−1g (g(X)).103 êà÷åñòâå ôóíêöèè g ÷àùå âñåãî âûáèðàþò ñòåïåííûå ôóíêöèè:g(x) = xk , ãäå k = 1, 2, ... .
 ýòîì ñëó÷àå òåîðåòè÷åñêîå ñðåäíåå âûáîð⃗ ñîâïàäàåò ñ òåîðåòè÷åñêèì ìîìåíòîì ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà,êè g(X)íàïðèìåð, åñëè g(X) = x, òî mg (θ) = EXi = α1 (θ); åñëè g(X) = x2 , òîmg (θ) = EXi2 = α2 (θ), è ò.ä. Ïðè ýòîì óðàâíåíèå (11.8) äëÿ íàõîæäåíèÿÎÌÌ ïðèîáðåòàåò âèä:αk (θ∗ ) = X k .(11.9)Îöåíêà ïî ìåòîäó ìîìåíòîâ â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ îöåíêîé ïî k òîìó ìîìåíòó è îáîçíà÷àåòñÿ θ∗kÎòìåòèì, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ mg (θ) = Eg(X1 ) íåïðåðûâíà è ñòðîãî ìîíîòîííà, òî îöåíêà ïî ìåòîäó ìîìåíòîâ θ∗g (X) = m−1g (g(X)) ñèëüíî ñîñòîÿòåëüíà.Ìåòîä ìîìåíòîâ (ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé)⃗ ⊂Ïóñòü X= Fθ , ãäå ïàðàìåòð θ ∈ Θ, ïîäëåæàùèé îöåíèâàíèþ, ìíîãîìåðíûé.
Ðàññìîòðèì äëÿ ïðîñòîòû äâóìåðíûé ñëó÷àé, òî åñòü θ =(θ1 , θ2 ). Òîãäà äëÿ îäíîçíà÷íîãî íàõîæäåíèÿ äâóõ íåèçâåñòíûõ θ1 , θ2 îäíîãî óðàâíåíèÿ (11.8) (èëè (11.9)) íåäîñòàòî÷íî. Îöåíêîé ìåòîäà ìîìåíòîââ ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ ðåøåíèå (θ∗1 , θ∗2 ) ñèñòåìû óðàâíåíèé âèäà:{mg1 (θ1 , θ2 ) = g1 (X),(11.10)mg2 (θ1 , θ2 ) = g2 (X). êà÷åñòâå ôóíêöèé g1 , g2 ìîæíî âûáðàòü, êàê è ðàíüøå, ñòåïåííûåôóíêöèè gi (x) = xk , ãäå k = 1, 2, ... . Òîãäà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (11.10) ïîëó÷àþòñÿ êàê ðåçóëüòàò ïðèðàâíèâàíèÿ ýìïèðè÷åñêèõ ìîìåíòîâ âûáîðêè⃗ ñîîòâåòñòâóþùèì òåîðåòè÷åñêèì. Íàïðèìåð, ïðèðàâíèâàÿ ïåðâûå äâàXìîìåíòà, ïîëó÷èì ñèñòåìó:{α1 (θ1 , θ2 ) = X,(11.11)α2 (θ1 , θ2 ) = X 2 .Êàê è ðàíüøå, âìåñòî âòîðûõ ìîìåíòîâ ìîæíî ïðèðàâíèâàòü äèñïåðñèè. 11.6.ÏðèìåðÐåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ11.3.(3, 8, 6, 4, 6, 1, 5, 4, 9, 4)Ïî äàííîé ðåàëèçàöèè âûáîðêè⃗x=ïîñòðîèòü ðåàëèçàöèþ âàðèàöèîííîãî ðÿäà,104Fn∗ (t)619108106105102101100u1uu34uu56u8u-9tÐèñ.
11.4: Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fn∗(t).ãðàôèêè ðåàëèçàöèé ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ãèñòîãðàììû. ×èñëî èíòåðâàëîâ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãèñòîãðàììû âûáðàòü ïî ôîðìóëåÑòåäæåñà.Ðåøåíèå. Ðåàëèçàöèþ âàðèàöèîííîãî ðÿäà îáðàçóåì èç ýëåìåíòîâäàííîé ðåàëèçàöèè âûáîðêè, ðàñïîëîæèâ èõ â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ:1, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 8, 9.(11.12)Îáúåì âûáîðêè n = 10.
Ãðàôèê ðåàëèçàöèè ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñòðîèì ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííîé ðåàëèçàöèè âàðèàöèîííîãî ðÿäà: ýòî ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ ñî ñêà÷êàìè â òî÷êàõ âàðèàöèîííîãî ðÿäà,ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèå 0 â ïðîìåæóòêå (−∞, 1] è èìåþùàÿ ñêà÷êè â òî÷êàõ x(i) , ðàâíûå ÷àñòîòå ýëåìåíòà x(i) . Íàïðèìåð, ñêà÷îê â òî÷êå x(1) = 111ðàâåí 10, ñêà÷îê â òî÷êå x(2) = 3 ðàâåí 10è ò.ä. Ãðàôèê ðåàëèçàöèèýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èçîáðàæåí íà ðèñ.11.4Ðàñ÷èòàåì ÷èñëî ïðîìåæóòêîâ ïî ôîðìóëå Ñòåäæåñà: K = [log2 10] +1 = 3 + 1 = 4. Ðàçìàõ âûáîðêè ðàâåí 9 − 1 = 8, øàã ãèñòîãðàììû h = 8/4 =2.
Ðàçîáüåì îòðåçîê [1; 9] íà ïðîìåæóòêè äëèíû h = 2:∆1 = [1; 3); ∆2 = [3; 5); ∆3 = [5; 7); ∆4 = [7; 9].105×èñëî ýëåìåíòîâ âûáîðêè, ïîïàâøèõ â èíòåðâàë ∆1 , ðàâíî ν1 = 1. Àíàëîãè÷íî íàõîäèì:ν2 = 4; ν3 = 3; ν4 = 2.Âû÷èñëÿÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè fn∗ (t) =∆k , ñòðîèì ãèñòîãðàììó (ðèñ.11.5):fn∗ (t)νknh , t∈ ∆k íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ641012003101101357Ðèñ. 11.5: Ãèñòîãðàììà fn∗(t).2109-t⃗ ⊂Ïðèìåð 11.4. Ïóñòü X= Πλ ,ãäå λ > 0 íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð.
Íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðà λ ïî à) ïåðâîìó è á) âòîðîìó ìîìåíòàì.Ðåøåíèå. à) Òàê êàê äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà EXi = λ, òî λ∗1ïîëó÷àåòñÿ ñðàçó èç ðàâåíñòâ (11.8) èëè (11.9): çàìåíÿÿ λ íà λ∗1 , à EXi íàX , ïîëó÷àåì λ∗1 = X.á)  ýòîì ñëó÷àå âû÷èñëÿåì âòîðîé ìîìåíò ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà:EXi2 = (EXi )2 + DXi = λ + λ2 .Ïðèðàâíèâàÿ ýòó ôóíêöèþ âòîðîìó âûáîðî÷íîìó ìîìåíòó è çàìåíÿÿλ íà λ∗2 , ïîëó÷èì óðàâíåíèå:λ∗2 + (λ∗2 )2 = X 2 ,èç êîòîðîãî íàõîäèì λ∗2 :λ∗21=− ±2√1061+ X 2.4Òàê êàê λ∗2 > 0, òî èç äâóõ ðåøåíèé âûáèðàåì îäíî ïîëîæèòåëüíîå, èÎÌÌ èìååò âèä:√11∗λ2 (X) = − ++ X 2.24λ∗1 ïðåäñòàâëÿåòñÿïðåäïî÷òèòåëüíåé. Âî-ïåðâûõ, îíà íåñìåùåííàÿ, òàê êàêÇàìå÷àíèå 11.1.
Èç äâóõ íàéäåííûõ îöåíîê1∑1∑1Xi =Eλ Xi = nλ = λ;n i=1n i=1nnEλ λ∗1 = Eλnâî-âòîðûõ, îíà ñîñòîÿòåëüíàÿ â ñèëó óñèëåííîãî çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë(ÓÇÁ×). òî æå âðåìÿ, îöåíêà λ∗2 ìåíåå óäîáíà äëÿ èññëåäîâàíèÿ, õîòÿîíà ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé (ïðîâåðüòå, èñïîëüçóÿ ÓÇÁ×). Íàïðèìåð,èññëåäîâàòü äëÿ íåå ñâîéñòâî íåñìåùåííîñòè òåõíè÷åñêè òðóäíàÿ çàäà÷à.Ïðèìåð⃗ ⊂11.5. Ïóñòü X= U[θ1 ;θ2 ] ,íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû.
Íàéòè ÎÌÌ.ãäå −∞ < θ1 < θ2 < ∞ Ðåøåíèå. Âû÷èñëèì ìîìåíòû ïåðâûõ äâóõ ïîðÿäêîâ ðàâíîìåðíîãîðàñïðåäåëåíèÿα1 (θ1 , θ2 ) = EXi =DXi =θ1 + θ2,2(θ2 − θ1 )2.12Ñîñòàâèì ñèñòåìó óðàâíåíèé, ïðèðàâíèâàÿ òåîðåòè÷åñêèå è ýìïèðè÷åñêèå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ:{EX1 = X,DX1 = S 2 ,{⇐⇒θ1 +θ2=2(θ2 −θ1 )212X,= S2,{θ1 + θ2 = 2X,√⇐⇒θ2 − θ1 = 12S.Ðåøàÿ ïîñëåäíþþ ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ θ1 , θ2 (âû÷èòàÿ èñêëàäûâàÿ óðàâíåíèÿ ñèñòåìû), ïîëó÷èì îöåíêè ÌÌ:θ∗1 = X −√3S, θ∗2 = X +107√3S. 11.7.Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ11.1 Ïî äàííîé ðåàëèçàöèè âûáîðêè x = (0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1):à) ïîñòðîèòü ãðàôèêè ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ãèñòîãðàììû;á) âû÷èñëèòü âûáîðî÷íûå ñðåäíåå è äèñïåðñèþ.11.2 Ïðîâîäèëèñü îïûòû ñ áðîñàíèåì îäíîâðåìåííî 12 èãðàëüíûõ êîñòåé.Íàáëþäàåìóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X ñ÷èòàëè ðàâíîé ÷èñëó êîñòåé, íàêîòîðûõ âûïàëî íå áîëüøå òðåõ î÷êîâ.
Ïóñòü νi - ÷èñëî îïûòîâ, â êîòîðûõíàáëþäàëîñü çíà÷åíèå X = i; i = 0, 1, ..., 12. Äàííûå äëÿ n = 4096 îïûòîâïðèâåäåíû â ñëåäóþùåé òàáëèöå:iνi0017260319844305731694878478536925710711111120à) Ïîñòðîèòü ãèñòîãðàììó è ñðàâíèòü åå ñ ãðàôèêîì ôóíêöèè y =2− x6ce.á) Âû÷èñëèòü âûáîðî÷íûå ñðåäíåå è äèñïåðñèþ.11.3Èçìåðåíðîñò(âñì)ñòóäåíòîâîäíîéó÷åáíîéãðóïïû.Ðåçóëüòàòûèçìåðåíèéäàëèâûáîðêó(171; 186; 164; 190; 158; 181; 176; 180; 174; 157; 176; 169; 164; 186).à) Ïîñòðîèòü ðåàëèçàöèþ ãèñòîãðàììû.á) Âû÷èñëèòü ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî, âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè è âûáîðî÷íîãî ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ S .
Íà îäíîì ãðàôèêå ñ ãèñòîãðàììîé ïîñòðîèòü ãðàôèê ïëîòíîñòè íîðìàëüíîãî çàêîíà ñ ïàðàìåòðàìèX , S2.11.4 Ïàññàæèð ìàðøðóòíîãî òàêñè èçìåðèë 8 ðàç âðåìÿ îæèäàíèÿ òàêñèè ïîëó÷èë ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû (â ìèíóòàõ): 8; 4; 5; 4; 2; 15; 1;6. Ó íåãî åñòü äâå ãèïîòåçû îòíîñèòåëüíî ãðàôèêà äâèæåíèÿ òàêñè: ëèáî ãðàôèê äâèæåíèÿ ñîáëþäàåòñÿ, è âðåìÿ îæèäàíèÿ èìååò ðàâíîìåðíîåðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0; θ], ëèáî ãðàôèê äâèæåíèÿ íå ñîáëþäàåòñÿ, èâðåìÿ îæèäàíèÿ èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì λ.à) Âû÷èñëèòü ðåàëèçàöèè îöåíîê ïàðàìåòðîâ θ è λ, èñïîëüçîâàâ îöåíêèeθ2 = (n + 1)X(n) /n è eλ2 = n−1.nXá) Ïîñòðîèòü íà îäíîì ãðàôèêå ðåàëèçàöèþ ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ è òåîðåòè÷åñêèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíîìåðíîãî èïîêàçàòåëüíîãî çàêîíîâ, â êîòîðûå âìåñòî íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ïîäñòàâëåíû ðåàëèçàöèè èõ îöåíîê.â) Ïîñòðîèòü íà îäíîì ãðàôèêå ðåàëèçàöèþ ãèñòîãðàììû è òåîðåòè÷åñêèå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíîìåðíîãî è ïîêàçàòåëüíîãî çàêîíîâ, â108êîòîðûå âìåñòî íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ïîäñòàâëåíû ðåàëèçàöèè èõ îöåíîê.ã) Íà îñíîâàíèè ïðîâåäåííîãî èññëåäîâàíèÿ ñäåëàòü âûâîä î òîì, êàêàÿèç ãèïîòåç âûãëÿäèò áîëåå ñîîòâåòñòâóþùåé ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì.⃗ ⊂11.5 Ïóñòü X= N (a, σ2 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
