1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(Íåðàâåíñòâî Ðàî-Êðàìåðà.)⃗ ⊂Ïóñòü X= F (t, θ), θ ∈ Θ, âûïîëíåíû óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè. Òîãäà äëÿ114ëþáîé íåñìåùåííîé îöåíêè θ̃ ïàðàìåòðà θ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî:Dθ̃ ≥1.ni(θ)(12.8)Åñëè äëÿ íåêîòîðîé íåñìåùåííîé îöåíêè θ̌ îêàæåòñÿ, ÷òî åå äèñïåðñèÿñîâïàäàåò ñ ïðàâîé ÷àñòüþ íåðàâåíñòâà Ðàî-Êðàìåðà (ãîâîðÿò, ÷òî äëÿýòîé îöåíêè â íåðàâåíñòâå Ðàî-Êðàìåðà äîñòèãàåòñÿ ðàâåíñòâî), òî îöåíêàθ̌ ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíîé, òàê êàê äëÿ ëþáîé äðóãîé íåñìåùåííîé îöåíêèθ̃ íåðàâåíñòâî (12.8) ïðîäîëæàåò âûïîëíÿòüñÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, Dθ̃ ≥ Dθ̌äëÿ âñåõ θ ∈ Θ. 12.3.ÏðèìåðÐåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâïàðàìåòðà λ.12.1.  óñëîâèÿõ ïðèìåðà 11.4 íàéòè ÎÌÏ íåèçâåñòíîãîÐåøåíèå.
Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà Πλ ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ èìååòâèä:f (t, λ) = P(Xi = t) = e−λλt.t!Èñêîìàÿ îöåíêà äîëæíà áûòü ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ (12.3)èëè (12.4). Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ âû÷èñëèì ïîñëåäîâàòåëüíî:f (Xi , λ) = e−λλXi,Xi !ln f (Xi , λ) = −λ + Xi ln λ − ln(Xi !),d1ln f (Xi , λ) = −1 + Xi ,dλλnn∑d1∑1ln f (Xi , λ) = −n +Xi = −n + nX.dλλλi=1i=1Òîãäà óðàâíåíèå (12.4) è åãî ðåøåíèå èìåþò âèä:−n +1nX = 0 ⇐⇒ λ = X.λÇàìåòèì, ÷òî âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿd21ln Π(λ) = − 2 nX < 0dλ2λ115⃗ ⊂ïðè âñåõ λ, òàê êàê ïðè íàøåì ïðåäïîëîæåíèè X= Πλ âñå ýëåìåíòûâûáîðêè X1 , X2 , ..., Xn , à çíà÷èò, è âûáîðî÷íîå ñðåäíåå X , ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà íåîòðèöàòåëüíû.
Çíà÷èò, íàéäåííîå ðåøåíèå λ = X óðàâíåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé òî÷êîé ìàêñèìóìà ôóíêöèéΠ(λ) è ln Π(λ), à ñëåäîâàòåëüíî, ñòàòèñòèêà λ̂ = X ÿâëÿåòñÿ ÎÌÏ ïàðàìåòðà λ.⃗ ⊂Ïðèìåð 12.2. Ïóñòü X= U[0,θ] , ãäå θ > 0. Íàéòè ÎÌÏ äëÿ ïàðà-ìåòðà θ.Ðåøåíèå. Íàéäåì ôóíêöèþ ïðàâäîïîäîáèÿ, ñîîòâåòñòâóþùóþ âû⃗ èç ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ U[0,θ] . Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿáîðêå Xçàêîíà U[0,θ] ïðè t = Xi ðàâíà:{f (Xi , θ) =åñëè Xi ∈ [0, θ],åñëè Xi ∈/ [0, θ]1θ,0,(12.9)Òîãäà ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ âû÷èñëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:⃗ θ) =Π(θ) = Π(X,n∏{f (Xi , θ) =åñëè Xi ∈ [0, θ] äëÿ âñåõ i = 1, 2, ..., n;èíà÷å.1θn ,0,i=1Ýòî ñîîòíîøåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â ñëåäóþùèõ ðàâíîñèëüíûõ ôîðìàõ:{ 1{ 1max Xi ≤ θ;θn , åñëè 1≤i≤nθn , åñëè θ > X(n) ;Π(θ) =⇐⇒ Π(θ) =0, èíà÷å.0, èíà÷å.⃗ θ) ïîçâîëÿåò ëåãêî èçîáðàçèòüÏîñëåäíåå çàäàíèå ôóíêöèè Π(θ) = Π(X,åå ãðàôèê (ñì.
ðèñ. 12.1). Èç ãðàôèêà âèäíî, ÷òî ñâîåãî íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèÿ Π(θ) äîñòèãàåò ïðè θ = X(n) . Ñëåäîâàòåëüíî, îöåíêà⃗ = X(n) .ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ èìååò âèä: θ̂(X)Ïðèìåð 12.3.  óñëîâèÿõ ïðèìåðà 11.5 íàéòè ÎÌÏ íåèçâåñòíîãîïàðàìåòðà θ = (θ1 , θ2 ).Ðåøåíèå. Íàéäåì ôóíêöèþ ïðàâäîïîäîáèÿ, ñîîòâåòñòâóþùóþ âû⃗ èç ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ U[θ ,θ ] . Òàê êàê ïëîòíîñòü ðàñáîðêå X1 2ïðåäåëåíèÿ çàêîíà U[θ1 ,θ2 ] ïðè t = Xi ðàâíà{f (Xi , θ) =1θ2 −θ1 ,0,åñëè Xi ∈ (θ1 , θ2 ),åñëè Xi ∈/ [θ1 , θ2 ],116òî ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå{n1∏(θ2 −θ1 )n , åñëè âñåXi ∈ [θ1 , θ2 ];Π(θ1 , θ2 ) =p(Xi , θ) =0,èíà÷å.i=1Èëè ïî-äðóãîìó:{Π(θ1 , θ2 ) =1(θ2 −θ1 )n ,0,åñëè θ2 ≥ X(n) , θ1 ≤ X(1) ;èíà÷å.(12.10)Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà âèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ îòëè÷íà îòíóëÿ (áîëåå òîãî, ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà) ëèøü ïðè çíà÷åíèÿõ (θ1 , θ2 ), óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì:θ1 ≤ X(1) ≤ X(n) ≤ θ2 .Çíà÷èò, ñâîåãî íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèÿ Π(θ1 , θ2 ) äîñòèãàåò ëèøüïðè òàêèõ (θ1 , θ2 ).
Îäíàêî ïðè òàêèõ çíà÷åíèÿõ (θ1 , θ2 ) ðàçíîñòü (θ2 − θ1 )ïðèíèìàåò ñâîå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå (X(n) − X(1) ) ïðè θ2 = X(n) ,θ1 = X(1) . À çíà÷èò, â ñèëó (12.10), ôóíêöèÿ Π(θ1 , θ2 ) ïðèíèìàåò ñâîåíàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïðè òåõ æå çíà÷åíèÿõ (θ1 , θ2 ), òî åñòü èñêîìàÿ ÎÌÏèìååò âèä: θˆ2 = X(n) , θˆ1 = X(1) .θ > 0. Ñðàâíèòü ñ ïîìîùüþθ] ,ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî ïîäõîäà îöåíêè ïàðàìåòðà θ : θ∗1 = 2X è θ̂ = X(n) .Ïðèìåð⃗ ⊂12.4. Ïóñòü X= U[0;Ðåøåíèå. Ïðîâåðèì ñíà÷àëà ñâîéñòâî íåñìåùåííîñòè îáåèõ îöåíîê.Âû÷èñëÿåì ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ, èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà (ñì.
ðåøåíèå ïðèìåðà 11.2):Eθ∗1 = E(2X) = 2EX = 2θ= θ,2Eθ̂ = EX(n) =nθ.n+1Âèäèì, ÷òî èç äâóõ îöåíîê θ∗1 = 2X ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé, à θ̂ =X(n) ñìåùåííîé. ×òîáû âûÿñíèòü, êàêàÿ èç îöåíîê ëó÷øå, âû÷èñëèìäëÿ êàæäîé êâàäðàòè÷íóþ õàðàêòåðèñòèêó. Äëÿ íåñìåùåííîé îöåíêè îíàñîâïàäàåò ñ äèñïåðñèåé:E(θ∗1 − θ)2 = Dθ∗1 = D(2X) = 4D=4nn1∑1 ∑Xi = 4 2Dθ Xi =n i=1n i=114 θ2θ2nDX==.θ1n2n 123n117(12.11)Ïðè âû÷èñëåíèè êâàäðàòè÷íîé õàðàêòåðèñòèêè îöåíêè θ̂n = X(n) ìûáóäåì èñïîëüçîâàòü ïëîòíîñòü åå ðàñïðåäåëåíèÿ, íàéäåííóþ ïðè ðåøåíèèïðèìåðà 11.2.∫θE(X(n) − θ) =22EX(n)− 2θEX(n) + θ =2y20=ny n−1nθdy − 2θ+ θ2 =nθn+1n2n 22θ2θ2 −θ + θ2 =.n+2n+1(n + 1)(n + 2)(12.12)Ñðàâíèâàÿ êâàäðàòè÷íûå õàðàêòåðèñòèêè, âû÷èñëåííûå â (12.11) è(12.12), âèäèì, ÷òîθ22θ2≥3n(n + 1)(n + 2)äëÿ âñåõ θ > 0 è äëÿ âñåõ n ≥ 1.Ñëåäîâàòåëüíî, ÎÌÏ θ̂ = X(n) ëó÷øå â ñðåäíåêâàäðàòè÷íîì, ÷åìÎÌÌ θ∗1 = 2X .Ïðèìåð 12.5.
Èññëåäîâàòü ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà Ðàî-Êðàìåðà îïòèìàëüíîñòü îöåíêè X â ìîäåëÿõ:⃗ ⊂à) X= E 1θ , θ > 0;⃗á) X ⊂= Πλ , λ > 0.Ðåøåíèå. à) Âû÷èñëèì äèñïåðñèþ îöåíêè, ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâà äèñïåðñèè è ó÷èòûâàÿ, ÷òî DXi = θ2 :nn1 ∑11∑θ2Dθ = DX = DXi = 2DXi = 2 nDX1 = .n i=1n i=1nn∗(12.13)Íàéäåì ïðàâóþ ÷àñòü íåðàâåíñòâà Ðàî-Êðàìåðà äëÿ ðàññìàòðèâàåìîéìîäåëè, äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì ïîñëåäîâàòåëüíî:f (Xi , θ) =1 − XiXi ∂ ln f (Xi , θ)1 Xie θ ; ln f (Xi , θ) = − ln θ −;=− + 2;θθ∂θθθ(i(θ) = E∂ ln f (Xi , θ)∂θ=)2()2()21 XiXi − θ=E − + 2=E=θθθ21DXiθ212E(X−θ)=== 2;iθ4θ4θ4θ118θ21= .ni(θ)n(12.14)Ñðàâíèâàÿ (12.13) è (12.14), âèäèì, ÷òî äëÿ îöåíêè θ∗ = X â íåðàâåíñòâåÐàî-Êðàìåðà äîñòèãàåòñÿ ðàâåíñòâî, ñëåäîâàòåëüíî, îíà ýôôåêòèâíà.á) Ïðåæäå âñåãî âñïîìíèì, ÷òî äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà Πλ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ðàâíû EXi = λ, DXi = λ.
Òîãäàäèñïåðñèÿ íàøåé îöåíêè ðàâíà:Dλ∗ = DX = Dnn1∑1 ∑1λXi = 2DXi = 2 nDX1 = .n i=1n i=1nn(12.15)Àíàëîãè÷íî ïóíêòó à), âû÷èñëÿåì ïðàâóþ ÷àñòü íåðàâåíñòâà Ðàî-Êðàìåðà:f (Xi , λ) = e−λλXi∂ ln f (Xi , λ)Xi; ln f (Xi , λ) = −λ+Xi ln λ−ln(Xi !);= −1+ ;Xi !∂λλ(i(λ) = E∂ ln f (Xi , λ)∂λ=)2(=E)2()2Xi − λXi−1 =E=λλ1E(Xi − λ)2 =λ21=ni(λ)11DXi = ;2λλλ.n(12.16)Ñðàâíèâàÿ (12.15) è (12.16), âèäèì, ÷òî äëÿ îöåíêè λ∗ = X â íåðàâåíñòâåÐàî-Êðàìåðà äîñòèãàåòñÿ ðàâåíñòâî, ñëåäîâàòåëüíî, îíà ýôôåêòèâíà. 12.4.Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ12.1 Ïî âûáîðêå (X1 , .
. . , Xn ) èç áåðíóëëèåâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Bp ñíåèçâåñòíûì ïàðàìåòðîì p ∈ (0; 1) ïîñòðîèòü îöåíêó ïàðàìåòðà p ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. (Óêàçàíèå: ïîêàçàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòüïîïàäàíèÿ â òî÷êó t äëÿ ýëåìåíòîâ âûáîðêè ðàâíà f (t, p) = pt (1 − p)1−t ,ãäå t ìîæåò ïðèíèìàòü òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ: 0 è 1).
Èññëåäîâàòü ñîñòîÿòåëüíîñòü è íåñìåùåííîñòü ïîëó÷åííîé îöåíêè.12.2 Ïî âûáîðêå (X1 , . . . , Xn ) èç áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Bm,p ïîñòðîèòü îöåíêó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïàðàìåòðà p ïðè èçâåñòíîìm > 0. Èññëåäîâàòü ñîñòîÿòåëüíîñòü è íåñìåùåííîñòü îöåíêè.12.3 Ïî âûáîðêå èç ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Eα ïîñòðîèòü îöåíêó119ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïàðàìåòðà α > 0. Èññëåäîâàòü ñîñòîÿòåëüíîñòü îöåíêè.12.4 Ïîñòðîèòü îöåíêó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïî âûáîðêå èç ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî ñ ïëîòíîñòüþ{ θ, t ≥ 1,tθ+1fθ (t) =.0,t<1Äîêàçàòü ñîñòîÿòåëüíîñòü ïîëó÷åííîé îöåíêè.12.5 Ïî âûáîðêå (X1 , .
. . , Xn ) èç ðàñïðåäåëåíèÿ Ëàïëàñà ñ ïëîòíîñòüþfλ (t) = 2λ e−λ|t| , t ∈ R, ïîñòðîèòü îöåíêó ïàðàìåòðà λ > 0 ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ.12.6 Ïóñòü äàíà âûáîðêà èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè αè σ2 . Èñïîëüçóÿ ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, ïîñòðîèòü îöåíêèà) íåèçâåñòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ α;á) íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè σ2 , åñëè α èçâåñòíî;â) íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè σ2 , åñëè α íåèçâåñòíî.Èññëåäîâàòü ïîëó÷åííûå îöåíêè íà íåñìåùåííîñòü è ñîñòîÿòåëüíîñòü.12.7 Èñïîëüçóÿ ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, îöåíèòü ïàðàìåòð θðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà îòðåçêåà) [−θ; θ], θ > 0; á) [θ; θ + 1].Èññëåäîâàòü ïîëó÷åííûå îöåíêè íà íåñìåùåííîñòü è ñîñòîÿòåëüíîñòü.12.8 Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïîñòðîèòü îöåíêóïàðàìåòðà θ > 0, åñëè ðàñïðåäåëåíèå âûáîðêè èìååò ïëîòíîñòüà) θtθ−1 ïðè t ∈ [0; 1]; á) 2t/θ2 ïðè t ∈ [0; θ].Èññëåäîâàòü ïîëó÷åííûå îöåíêè íà ñîñòîÿòåëüíîñòü.12.9 Äàíà âûáîðêà èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ{ 2 −33t θ , t ∈ [0; 1],fθ (t) =0,t ̸∈ [0; 1].Íàéòè îöåíêó ïàðàìåòðà θ > 0 ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðâäîïîäîáèÿ,èññëåäîâàòü åå íà íåñìåùåííîñòü è ñîñòîÿòåëüíîñòü.12.10 Ïî âûáîðêå (X1 , .
. . , Xn ) ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿíàéòè îöåíêó ïàðàìåòðà p ∈ (0, 1), åñëè èçâåñòíî, ÷òîP {X1 = 1} = p/2, P {X1 = 2} = p/2, P {X1 = 3} = 1 − p.Áóäåò ëè ïîëó÷åííàÿ îöåíêà íåñìåùåííîé è ñîñòîÿòåëüíîé?12.11 Ïî ðåàëèçàöèè ⃗x = (4; 5; 2) âûáîðêè èç ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà îòðåçêå [0; θ] íàéòè ðåàëèçàöèè îöåíîê ïàðàìåòðà θ, ïðåäëîæåííûõâ ïðèìåðå 11.2.12.12 Ïî ðåàëèçàöèè ⃗x = (0; 2; 0; 3) âûáîðêè èç ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà120ñ ïàðàìåòðîì λ > 0 íàéòè ðåàëèçàöèè îöåíîê ïàðàìåòðà λ ïî ïåðâîìó èâòîðîìó ìîìåíòàì, è îöåíêè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ.12.13 Ïî ðåàëèçàöèè ⃗x = (−2; 3; 4; −2; 1) âûáîðêè èç ðàâíîìåðíîãîðàñïðåäåëåíèÿ íà îòðåçêå [θ1 ; θ2 ] íàéòè ðåàëèçàöèè îöåíîê ïàðàìåòðîâ,ïðåäëîæåííûõ â ïðèìåðå 11.5, è îöåíêè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ èçïðèìåðà 12.4.⃗ ⊂12.14 Äàíà âûáîðêà X= U[0,θ] , θ > 0 íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð.
Ñðàâíèòü, êàêàÿ èç îöåíîê äëÿ ïàðàìåòðà θ ëó÷øå â ñðåäíåêâàäðàòè÷íîì:θ∗1 = 2X , θ∗2 = n+1n X(n) .⃗12.15 Ïóñòü X ⊂= F (t, θ), ãäå θ = Eθ X1 , DX1 < ∞. Ïîêàçàòü, ÷òî îöåíêàθ∗1 = X ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øåé â ñðåäíåêâàäðàòè÷íîì ñðåäè âñåõ íåñìåùåííûõ îöåíîê âèäàθ∗ = C1 X1 + C2 X2 + · · · + Cn Xn , C1 + C2 + · · · + Cn = 1.12.16 Èññëåäîâàòü ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà Ðàî-Êðàìåðà îïòèìàëüíîñòüÎÌÏ äëÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà â ìîäåëÿõ⃗ ⊂à) X= Bp , 0 < p < 1;⃗á) X ⊂= Bm,p , 0 < p < 1, m èçâåñòíî.⃗ ⊂â) X= Nθ,1 , −∞ < θ < ∞.⃗ã) X ⊂= N0,θ , 0 < θ < ∞.⃗ ⊂ä) X= G1/θ , θ > 1.12.17 Äàíà âûáîðêà èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ{ θ−te , t ≥ θ,fθ (t) =0,t < θ.Íàéòè îöåíêó äëÿ θ à) ìåòîäîì ìîìåíòîâ; á) ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãîïðàâäîïîäîáèÿ.
Áóäóò ëè ïîëó÷åííûå îöåíêè íåñìåùåííûìè è ñîñòîÿòåëüíûìè?12.18 Âû÷èñëèòü ñìåùåíèÿ îöåíîê â çàäà÷å 12.17 è ïîëó÷èòü èñïðàâëåííûå íåñìåùåííûå îöåíêè.121Ãëàâà 13Ñòàòèñòè÷åñêàÿ îáðàáîòêà âïàêåòå ExcelÏàêåò ïðîãðàìì Microsoft Excel äëÿ ÎÑ Windows íå ÿâëÿåòñÿ ñïåöèàëèçèðîâàííûì ïàêåòîì ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà, íî øèðîêî ðàñïðîñòðàíåí èñíàáæåí íàáîðîì ôóíêöèé, äîñòàòî÷íûì äëÿ ðåøåíèÿ áîëüøèíñòâà ñòàòèñòè÷åñêèõ çàäà÷. 13.1.Ïðèìåð ñòàòèñòè÷åñêîé îáðàáîòêèÐàññìîòðèì ïðîöåäóðû ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà íà ïðèìåðå èñêóññòâåííîñãåíåðèðîâàííîé âûáîðêè.Ïðèìåð 13.1. Ñãåíåðèðîâàòü ðåàëèçàöèþ âûáîðêè îáúåìà n = 30ïî ôîðìóëå xi = 1 − 100 ln ui , ãäå ui ñëó÷àéíûå ÷èñëà îáðàçóþò ðåàëèçàöèþ âûáîðêè èç ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà [0; 1].
Ïîñòðîèòü ðåàëèçàöèþ âàðèàöèîííîãî ðÿäà è ãèñòîãðàììû, âûáðàâ ÷èñëî ïðîìåæóòêîâïî ôîðìóëå Ñòåäæåñà. Âûäâèíóòü äâå äâóõïàðàìåòðè÷åñêèõ ãèïîòåçû îðàñïðåäåëåíèè âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé. Îöåíèòü ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèéìåòîäîì ìîìåíòîâ (ïî ïåðâîìó è âòîðîìó ìîìåíòàì) è ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííûõ ðåàëèçàöèé îöåíîêïîñòðîèòü ðåàëèçàöèè îöåíîê ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñäåëàòü âûâîä îíàèáîëåå àäåêâàòíîé ìîäåëè.Ðåøåíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
