1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Ïîëó÷èì ðåàëèçàöèþ âûáîðêè â ñòîëáèêå A ýëåêòðîííîéòàáëèöû. Äëÿ ýòîãî â ÿ÷åéêó A1 ââåäåì ôîðìóëó=1-LN(ÑË×ÈÑ())*100122(çäåñü ÑË×ÈÑ() ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, ðåàëèçóþùàÿ íåçàâèñèìûåñëó÷àéíûå ÷èñëà, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûå íà îòðåçêå îò 0 äî 1).Ñêîïèðóåì ñîäåðæèìîå ÿ÷åéêè â ÿ÷åéêè A2-A30. Ñêîïèðóåì çíà÷åíèÿñòîëáèêà A â òîò æå ñòîëáèê (äëÿ ýòîãî ùåëêíåì ïðàâîé êíîïêîé ìûøè ïîáóêâå A è â âûïàäàþùåì ìåíþ âûáåðåì ñïåöèàëüíàÿ âñòàâêà ⇒ çíà÷åíèÿ.Êîïèðîâàíèå çíà÷åíèé ôèêñèðóåò ðåàëèçàöèþ âûáîðêè, ñîõðàíÿÿ çíà÷åíèÿ îò ïîñëåäóþùåãî ïåðåñ÷åòà.Âû÷èñëèì êîëè÷åñòâî ïðîìåæóòêîâ ïî ôîðìóëå Ñòåäæåñà: â ÿ÷åéêóB1 ââåäåì ôîðìóëó=ÖÅËÎÅ(LOG(30;2))+1 ÿ÷åéêàõ B2, B3, B4, B5 íàéäåì ïîñëåäîâàòåëüíî íàèáîëüøåå èíàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ, ðàçìàõ ðåàëèçàöèè âûáîðêè è äëèíó ïðîìåæóòêà:ÿ÷åéêàB2B3B4B5ôîðìóëà=ÌÀÊÑ(A:A)=ÌÈÍ(A:A)=B2-B3=B4/B1Ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèáàâëÿÿ äëèíó ïðîìåæóòêà ê ìèíèìàëüíîìó çíà÷åíèþ, õðàíÿùåìóñÿ â ÿ÷åéêå A1, ïîëó÷àåì â ñòîëáèêå C ïðàâûå ãðàíèöûïðîìåæóòêîâ: 61,5; 117; 173; 229; 284 (îêðóãëåííî).
Îòìåòèì, ÷òî çäåñüíàäî ñïåöèàëüíî ïîçàáîòèòüñÿ î òîì, ÷òîáû âñå ýëåìåíòû ïîïàëè ëåâååñàìîé ïðàâîé ãðàíèöû ïðîìåæóòêà, äëÿ ýòîãî ïðèáàâèì ê ñàìîé ïðàâîéãðàíèöå 1, ïîëó÷èâ 285 âìåñòî 284.Ïîäñ÷èòàåì êîëè÷åñòâà ýëåìåíòîâ, ïîïàâøèõ â êàæäûé èç ïðîìåæóòêîâ. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ôóíêöèåé ×ÀÑÒÎÒÀ. Ââåäåì â ÿ÷åéêó D1 ôîðìóëó=×ÀÑÒÎÒÀ(A1:A30;C1:C5)Çàòåì âûäåëèì ÿ÷åéêè D1:D5, íàæìåì êëàâèøó F2 è ââåäåì ôîðìóëó êàêôîðìóëó ìàññèâà, íàæàâ êëàâèøè CTRL+SHIFT+ENTER. ñòîëáèêå F ïîëó÷èì çíà÷åíèÿ ãèñòîãðàììû, ðàçäåëèâ çíà÷åíèÿ ñòîëáèêà D íà n = 30 è íà äëèíó ïðîìåæóòêà, õðàíÿùóþñÿ â ÿ÷åéêå B5. Ïîñòðîèì ãèñòîãðàììó ïî ñòîëáèêó F ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè äèàãðàììà (ñì.ðèñ. 13.1).Ïî âèäó ãèñòîãðàììû íàì ïðåäñòîèò ðåøèòü, êàêèå ãèïîòåçû î ðàñïðåäåëåíèè âûáîðêè ñëåäóåò âûäâèíóòü.
Âñïîìíèì, êàê âûãëÿäÿò ãðàôèêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ èçó÷åííûõ íàìè äâóõïàðàìåòðè÷åñêèõ ñåìåéñòâ ðàñïðåäåëåíèé: ðàâíîìåðíîãî, ñäâèíóòîãî ïîêàçàòåëüíîãî, Ïàðåòî,íîðìàëüíîãî.123Ðèñ. 13.1: Òàáëèöà Excel è ãèñòîãðàììà âûáîðî÷íûõ äàííûõ.Çàìåòèì, ÷òî òîëüêî ñäâèíóòîå ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå è ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî èìåþò ïëîòíîñòè, ïîõîæèå íà ïîëó÷åííóþ ãèñòîãðàììó(ðèñ.
13.2). Íà ðèñóíêå ñëåâà èçîáðàæåí ãðàôèê ïëîòíîñòè ñäâèíóòîãî ïî-124êàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ñïðàâà ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî. Íàïîìíèì,÷òî ôîðìóëû äëÿ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèé èìåþò ñëåäóþùèé âèä.{fα,θ (t) =αe−α(t−θ) , åñëè t ≥ θ;0èíà÷å;{fγ,h (t) =γhγ t−(γ+1) , åñëè t ≥ h;0èíà÷å.Ðèñ. 13.2: Ïëîòíîñòè ñäâèíóòîãî ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿè ðàñïðåäåëåíèÿ ÏàðåòîÓ ñäâèíóòîãî ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòð α ïîëîæèòåëüíûé, à ïàðàìåòð θ ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Ó ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòîîáà ïàðàìåòðà γ è h ïîëîæèòåëüíû. Ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèè ðàñïðåäå-125ëåíèÿ èìåþò âèä{1 − e−α(t−θ) , åñëè t ≥ θ;Fα,θ (t) =0èíà÷å;{Fγ,h (t) =1 − hγ t−γ , åñëè t ≥ h;0èíà÷å.Ïîñòðîèì îöåíêè ïàðàìåòðîâ ïî ïåðâîìó è âòîðîìó ìîìåíòàì. Äëÿñäâèíóòîãî ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåìåíòû âûáîðêè Xi ðàâíûXi = θ+Yi , ãäå Yi îáðàçóþò âûáîðêó èç ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì α, à θ ïàðàìåòð ñäâèãà.
Êàê èçâåñòíî, EYi = 1/α, DYi = 1/α2 .Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè, ïîëó÷àåìñèñòåìó óðàâíåíèé{EXi = θ + 1/α,DXi = 1/α2 .Âûðàçèì ïàðàìåòðû:{α = (DXi )−1/2 ,θ = EXi − (DXi )1/2 .Çàìåíèì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ íà âûáîðî÷íîå ñðåäíåå X è âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ S 2 , à ïàðàìåòðû α è θ íà èõ îöåíêè α∗ èθ∗ . Ïîëó÷èì îöåíêè ïàðàìåòðîâ:{ ∗α = S −1 ,θ∗ = X − S.Íàéäåì ðåàëèçàöèè ýòèõ îöåíîê.
Âûáîðî÷íîå ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå S ýòî ôóíêöèÿ ÑÒÀÍÄÎÒÊËÎÍÏ, à âûáîðî÷íîå ñðåäíåå ôóíêöèÿÑÐÇÍÀ×. Âû÷èñëèì èõ çíà÷åíèÿ â ÿ÷åéêàõ G1 è G2, ââåäÿ òóäà ôóíêöèè=ÑÒÀÍÄÎÒÊËÎÍÏ(A:A) è =ÑÐÇÍÀ×(A:A).  ÿ÷åéêàõ H1 è H2 ïîëó÷èì ðåàëèçàöèè îöåíîê θ∗ è α∗ . Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîíÿòü, íàñêîëüêî õîðîøè îöåíêè ìåòîäîì ìîìåíòîâ, ïîñòðîèì ãðàôèêè ðåàëèçàöèé ïàðàìåòðè÷åñêîé îöåíêèôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (t, α∗ , θ∗ ) è ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fn∗ (t). Ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ èíòåðâàëà äèñêðåòèçàöèè dt ïåðåìåííîét, èñõîäÿ èç òîãî, ÷òîáû dt áûëî öåëîé ñòåïåíüþ ÷èñëà 10, è ìíîæåñòâî âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé äåëèëîñü íå ìåíåå ÷åì íà 100 èíòåðâàëîâ. Îáîçíà÷èâ÷åðåç R = X(n) − X(1) ðàçìàõ âûáîðêè, ïîëó÷àåì:R/100 ≥ dt,dt = 10k ,dt ≤ 10lg R−2 .Âûáèðàÿ â êà÷åñòâå dt íàèáîëüøåå èç òàêèõ ÷èñåë, ïðèõîäèì ê ôîðìóëådt = 10[lg R]−2 ,126ãäå [·] öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà.Ïîñêîëüêó â íàøåì ïðèìåðå ðàçìàõ âûáîðêè ðàâåí 279, ïîëó÷àåì[lg 279] = 2, è dt = 1.
Íàéäåì çíà÷åíèÿ îöåíêè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿïî ôîðìóëå=ÅÑËÈ(ÑÒÐÎÊÀ()<H$1;0;1-EXP(-H$2*(ÑÒÐÎÊÀ()-H$1)))è ñêîïèðóåì ýòó ôîðìóëó â ÿ÷åéêè I1:I285.Ïîëó÷èì çíà÷åíèÿ ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â òåõ æå òî÷êàõ. Äëÿ ýòîãî ñîçäàäèì âñïîìîãàòåëüíûé ñòîëáèê M, ñîäåðæàùèé ãðàíèöû ïðîìåæóòêîâ äèñêðåòèçàöèè, ñêîïèðîâàâ ôóíêöèþ =ÑÒÐÎÊÀ() â ÿ÷åéêèM1:M285. Ïîòîì ïîäñ÷èòàåì, ñêîëüêî ýëåìåíòîâ âûáîðêè ïîïàëî â êàæäûéèç ïðîìåæóòêîâ. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ôóíêöèåé ×ÀÑÒÎÒÀ.
Ââåäåì âÿ÷åéêó P1 ôîðìóëó=×ÀÑÒÎÒÀ(A1:A30;M1:M285)Çàòåì âûäåëèì ÿ÷åéêè P1:P285, íàæìåì êëàâèøó F2 è ââåäåì ôîðìóëóêàê ôîðìóëó ìàññèâà, íàæàâ êëàâèøè CTRL+SHIFT+ENTER. Òåïåðü ïîëó÷èì çíà÷åíèÿ ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â ñòîëáèêå J, ââåäÿ âïåðâóþ ÿ÷åéêó ôîðìóëó=ÑÓÌÌ(P$1:P1)/30è ñêîïèðîâàâ åå â îñòàëüíûå ÿ÷åéêè. Çäåñü 30 = n îáúåì âûáîðêè.Ïîñòðîèì äèàãðàììó ïî ñòîëáèêàì I è J (ðèñ. 13.3).127Ðèñ.
13.3: Îöåíêà ôóíêöèè ñäâèíóòîãî ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿìåòîäîì ìîìåíòîâ.Òåïåðü ïîëó÷èì îöåíêè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ ïàðàìåòðîâα è θ ñäâèíóòîãî ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî ïëîòíîñòüðàñïðåäåëåíèÿ{αe−α(t−θ) , åñëè t ≥ θ;fα,θ (t) =0èíà÷å;íåïðåðûâíà ïî ïàðàìåòðó α > 0 è ðàçðûâíà ïî ïàðàìåòðó θ. Ñíà÷àëàíàéäåì îöåíêó ïàðàìåòðà θ íåïîñðåäñòâåííî îòûñêàíèåì òî÷êè ìàêñèìóìàôóíêöèè ïðàâäîïîáîáèÿ. Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ ðàâíà{ ∏n−α(Xi −θ)), åñëè âñå Xi ≥ θ;i=1 (αe⃗Π(X, α, θ) =0èíà÷å;èëè{⃗ α, θ) =Π(X,∑nαn e−α(0i=1Xi −nθ)128, åñëè θ ≤ min{Xi };èíà÷å.Çàâèñèìîñòü ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ îò ïàðàìåòðà θ èçîáðàæåíà íàðèñ 13.4. Åå ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå bθ = min{Xi }, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿîöåíêîé ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïàðàìåòðà θ.Ðèñ.
13.4: Çàâèñèìîñòü ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ îò ïàðàìåòðà θ.Íàéäåì îöåíêó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïàðàìåòðà α. Äëÿ ýòîãîïîñëåäîâàòåëüíî âû÷èñëèìln f (t, α, θ) = ln α − α(t − θ)ïðè t ≥ θ;1∂ln f (t, α, θ) = − (t − θ)∂αα129ïðè t ≥ θ;∑ ∂∑∂⃗ α, θ) =ln Π(X,ln f (Xi , α, θ) =∂α∂αi=1i=1nn()1− (Xi − θ) ,αåñëè âñå Xi ≥ θ. Ïðèðàâíèâàÿ ïðîèçâîäíóþ ëîãàðèôìà ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ ê íóëþ, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ îöåíêè ïàðàìåòðàα:n (∑1i=1α)− (Xi − θ)= 0,ðåøåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿn1=.X −θi=1 Xi − nθα = ∑nÏîñêîëüêó ïàðàìåòð θ íåèçâåñòåí, çàìåíèì åãî íà îöåíêó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ bθ = min{Xi } è ïîëó÷èìb=α1.X − min{Xi }Óñëîâèå Xi ≥ bθ îêàçûâàåòñÿ âûïîëíåííûì àâòîìàòè÷åñêè.Íàéäåì ðåàëèçàöèè îöåíîê ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ è ïîñòðîèìãðàôèêè ðåàëèçàöèé ïàðàìåòðè÷åñêîé îöåíêè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿb, bF (t, αθ) (êàê äëÿ îöåíîê ìåòîäîì ìîìåíòîâ) è ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ Fn∗ (t).
Ãðàôèê ïðèâåäåí íà ðèñ. 13.5.130Ðèñ. 13.5: Îöåíêà ôóíêöèè ñäâèíóòîãî ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ.Ñðàâíèâàÿ ðåçóëüòàò ñ ðèñ. 13.3, âèäèì, ÷òî èñïîëüçîâàíèå îöåíîê ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïîçâîëÿåò áîëåå òî÷íî ïðèáëèçèòü ýìïèðè÷åñêóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ.Ïîñòðîèì îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî ïî ïåðâîìó è âòîðîìó ìîìåíòàì. Âñïîìíèì, ÷òî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé{γhγ t−(γ+1) , åñëè t ≥ h;fγ,h (t) =0èíà÷å.Âû÷èñëèì EXi è EXi2 :∫ ∞∫EXi =tfγ,h (t)dt == γhγ∫−∞∞ht−γ dt = γhγ∞tγhγ t−(γ+1) dt =ht−γ+1 ∞γhγ h−γ+1γh|h ==,−γ + 1γ −1γ −1131åñëè γ > 1 (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íå ñóùåñòâóåò).Àíàëîãè÷íî∫ ∞∫ ∞EXi2 =t2 fγ,h (t)dt =t2 γhγ t−(γ+1) dt =−∞= γhγ∫∞ht−γ+1 dt = γhγht−γ+2 ∞γhγ h−γ+2γh2|h ==,−γ + 2γ −2γ −2åñëè γ > 2 (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âòîðîé ìîìåíò íå ñóùåñòâóåò).Ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé{γh2EXi = γ−2,EXi2 =Âûðàçèì ïàðàìåòðû:h=γh2γ−2 .γ −1EXi ,γγ(γ − 1)2(EXi )2 = EXi2 ,γ 2 (γ − 2)(γ − 1)2 (EXi )2 = γ(γ − 2)EXi2 .Ïîëó÷àåì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå:DXi γ 2 − 2DXi γ − (EXi )2 = 0.Ðåøàÿ åãî è âûáèðàÿ ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü, ïîëó÷àåì:√(EXi )2γ =1+ 1+.DXiÇàìåíèì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ íà âûáîðî÷íîå ñðåäíåå X è âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ S 2 , à ïàðàìåòðû h è γ íà èõ îöåíêè h∗ èγ ∗ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
