1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Âýòîì ñëó÷àå ïðèìåðû ãèïîòåç:H : a = 0, b = 1 (ðàñïðåäåëåíèå ðàâíîìåðíîå íà [0; 1]);H : a = 0 (ðàñïðåäåëåíèå ðàâíîìåðíîå íà [0; b]);147H : a < b − 1 (ðàñïðåäåëåíèå ðàâíîìåðíîå íà îòðåçêå äëèíû áîëåå 1).Ãèïîòåçà íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé, åñëè îíà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ðàñïðåäåëåíèå F, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ãèïîòåçà íàçûâàåòñÿ ñëîæíîé.  ïðèâåäåííûõ âûøå ïðèìåðàõ ïðîñòûìè ÿâëÿþòñÿ ãèïîòåçû:H : F = F0 è H : a = 0, b = 1 (ïîñëåäíÿÿ â ñëó÷àå, êîãäà èçâåñòíî,÷òî ðàñïðåäåëåíèå ðàâíîìåðíîå íà [a; b]).Îñòàëüíûå ãèïîòåçû ÿâëÿþòñÿ ñëîæíûìè.Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñèòóàöèþ, êîãäà ãèïîòåç âñåãî äâå. Îäíó èçíèõ íàçûâàþò îñíîâíîé, à äðóãóþ àëüòåðíàòèâíîé, îáîçíà÷àÿ ñîîòâåòñòâåííî H0 è H1 . 15.2.Ñòàòèñòè÷åñêèå êðèòåðèèÎïðåäåëåíèå 15.2.
Ñòàòèñòè÷åñêèì êðèòåðèåì íàçûâàþò âñÿêîåïðàâèëî, ïîçâîëÿþùåå íà îñíîâàíèè íàáëþäàåìîãî âûáîðî÷íîãî âåêòîðà⃗ ïðèíÿòü îäíó èç ãèïîòåç: îñíîâíóþ èëè àëüòåðíàòèâíóþ.XÏðè ïðèìåíåíèè ñòàòèñòè÷åñêîãî êðèòåðèÿ ìîãóò âîçíèêíóòü îøèáêèäâóõ ðîäîâ. Îøèáêà íóëåâîãî ðîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òî îòâåðãàåòñÿ âåðíàÿíóëåâàÿ ãèïîòåçà. Îøèáêà ïåðâîãî ðîäà îòâåðãàåòñÿ âåðíàÿ ïåðâàÿ ãèïîòåçà. Âîîáùå îøèáêà i-ãî ðîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêèé êðèòåðèéîòâåðãàåò âåðíóþ i-þ ãèïîòåçó.ïðèíèìàåìàÿãèïîòåçàH0H1âåðíàãèïîòåçà H0íåòîøèáêèîøèáêà0-ãî ðîäàâåðíàãèïîòåçà H1îøèáêà1-ãî ðîäàíåòîøèáêèÊðèòåðèé õàðàêòåðèçóåòñÿ âåðîÿòíîñòÿìè îøèáîê:α0 = PH0 (H0 îòâåðãàåòñÿ),α1 = PH1 (H1 îòâåðãàåòñÿ).Çäåñü íèæíèé èíäåêñ ó ñèìâîëà âåðîÿòíîñòè óêàçûâàåò, ïðè âûïîëíåíèè êàêîé ãèïîòåçû ïîäñ÷èòûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü. Èç âñåâîçìîæíûõ êðèòåðèåâ íàäî âûáèðàòü òàêèå, ó êîòîðûõ âåðîÿòíîñòè îøèáîê ïî âîçìîæíîñòè ìàëû.
Ê ñîæàëåíèþ, â íåâûðîæäåííîé ñòàòèñòè÷åñêîé çàäà÷å íå ñóùåñòâóåò êðèòåðèÿ, äëÿ êîòîðîãî îáå âåðîÿòíîñòè îøèáîê ðàâíû íóëþ. Êàê148ïðàâèëî, ÷åì ìåíüøå âåðîÿòíîñòü îøèáêè íóëåâîãî ðîäà, òåì áîëüøå âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà.Ðàññìîòðèì ââåäåííûå ïîíÿòèÿ íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå.Ïðèìåð 15.3. Ñòóäåíòû ãðóïïû À ñ÷èòàþò, ÷òî îíè èãðàþò âøàõìàòû âäâîå ëó÷øå, ÷åì ñòóäåíòû ãðóïïû Â.  ñâîþ î÷åðåäü, ñòóäåíòû ãðóïïû  ñ÷èòàþò, ÷òî îíè èãðàþò â øàõìàòû âòðîå ëó÷øå,÷åì ñòóäåíòû ãðóïïû À. Äëÿ ðåøåíèÿ ñïîðà íàçíà÷àåòñÿ øàõìàòíûéìàò÷ ìåæäó ãðóïïàìè À è Â.
Ñ êàæäîé ñòîðîíû ó÷àñòâóþò 3 ñòóäåíòà, âûáèðàåìûå ïî æðåáèþ. Ðåøåíî ñ÷èòàòü ñïðàâåäëèâûì ìíåíèåãðóïïû, âûèãðûâøåé ìàò÷, òî åñòü íàáðàâøåé íå ìåíåå 2 î÷êîâ â 3 ïàðòèÿõ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íè÷üèõ íåò. Íàéòè, â ÷åì ñîñòîÿò îøèáêèíóëåâîãî è ïåðâîãî ðîäà. Âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòè ýòèõ îøèáîê.Ðåøåíèå. Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íóëåâàÿ ãèïîòåçà (ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìíåíèþ ñòóäåíòîâ ãðóïïû À) ñîñòîèò â òîì, ÷òî âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà êàæäîãî ñòóäåíòà ãðóïïû À ó ñòóäåíòà ãðóïïû  âäâîå áîëüøå âåðîÿòíîñòèïðîèãðûøà, òî åñòü âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà ðàâíà 2/3. Ñîãëàñíî ïåðâîéãèïîòåçå (ìíåíèþ ñòóäåíòîâ ãðóïïû Â), âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà êàæäîãîñòóäåíòà ãðóïïû À âòðîå ìåíüøå âåðîÿòíîñòè ïðîèãðûøà, òî åñòü ðàâíÿåòñÿ 1/4.Èòàê, ïðîâîäÿòñÿ òðè èñïûòàíèÿ ñõåìû Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà p, ãèïîòåçà H0 : p = 2/3; ãèïîòåçà H1 : p = 1/4.Êðèòåðèé (èñõîä ìàò÷à) ïðåäïèñûâàåò ïðèíÿòü ãèïîòåçó H0 , åñëè ÷èñëî óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè ðàâíÿåòñÿ äâóì èëè òðåì, à â ïðîòèâíîìñëó÷àå ïðèíÿòü ãèïîòåçó H1 .Îøèáêà íóëåâîãî ðîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òî êðèòåðèé ïðåäïèñûâàåò ñ÷èòàòü âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà ñòóäåíòà ïåðâîé ãðóïïû ðàâíîé 1/4 â òî âðåìÿ,êàê îíà ðàâíÿåòñÿ 2/3.
Îøèáêà ïåðâîãî ðîäà îïèñûâàåò ïðîòèâîïîëîæíóþñèòóàöèþ: âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà ñòóäåíòà ïåðâîé ãðóïïû ðàâíÿåòñÿ 1/4,à êðèòåðèé ïðåäïèñûâàåò ñ÷èòàòü åå ðàâíîé 2/3.Âû÷èñëèì âåðîÿòíîñòè îøèáîê.Âåðîÿòíîñòü îøèáêè íóëåâîãî ðîäà α0 ýòî âåðîÿòíîñòü îòâåðãíóòüâåðíóþ íóëåâóþ ãèïîòåçó, òî åñòü ïîëó÷èòü íîëü èëè îäèí óñïåõ â ñõåìåÁåðíóëëè, êîòîðàÿ ïðåäïîëàãàåò 3 èñïûòàíèÿ ñ p = 2/3 â êàæäîì.
Âû÷èñëèì ýòó âåðîÿòíîñòü íà îñíîâàíèè ôîðìóëû Áåðíóëëè:α0 = PH0 (H0 îòâåðãàåòñÿ) == C30 (2/3)0 (1/3)3 + C31 (2/3)1 (1/3)2 = 1/27 + 2/9 ≈ 0, 25.149Âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà α1 ýòî âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü äâàèëè òðè óñïåõà â ñõåìå Áåðíóëëè, êîòîðàÿ ïðåäïîëàãàåò 3 èñïûòàíèÿ ñp = 1/4 â êàæäîì.α1 = PH1 (H1 îòâåðãàåòñÿ) == C32 (1/4)2 (3/4)1 + C33 (1/4)3 (3/4)0 = 9/64 + 1/64 ≈ 0, 15. 15.3.Êðèòåðèè ñîãëàñèÿ⃗ îòÓäîáíî ïðåäñòàâëÿòü ñòàòèñòè÷åñêèé êðèòåðèé êàê ôóíêöèþ δ(X)âûáîðî÷íîãî âåêòîðà, ïðèíèìàþùóþ äâà çíà÷åíèÿ: H0 è H1 . Íàèáîëååîáùèé ïîäõîä äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ êðèòåðèåâ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.⃗ - íåêîòîðàÿ ñòàòèñòèêà, õàðàêòåðèçóþùàÿ îòêëîíåÏóñòü T = T (X)íèå ýìïèðè÷åñêèõ äàííûõ, ïðåäñòàâëåííûõ âûáîðêîé, îò òåîðåòè÷åñêèõ,ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîâåðÿåìîé ãèïîòåçå H0 .
Åñëè ðàñïðåäåëåíèå ñòàòè⃗ èçâåñòíî (òî÷íî èëè õîòÿ áû ïðèáëèæåííî), òî äëÿ ëþáîãîñòèêè T (X)α > 0 ìîæíî íàéòè òàêîå ìíîæåñòâî Tα çíà÷åíèé T , äëÿ êîòîðîãî áóäåòâûïîëíåíî íåðàâåíñòâî:P(T ∈ Tα /H0 ) ≤ α.(15.1)Ïóñòü α > 0 íàñòîëüêî ìàëî, ÷òî ñîáûòèå, èìåþùåå âåðîÿòíîñòü, íåïðåâîñõîäÿùóþ α, ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíûì. Òîãäàñòàòèñòè÷åñêèé êðèòåðèé ìîæíî çàäàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:{⃗⃗ = H1 , åñëè T (X) ∈ Tα ,δ(X)⃗ ∈H0 , åñëè T (X)/ Tα .(15.2)Ýòî ïðàâèëî îñíîâàíî íà çäðàâîì ñìûñëå: îíî ïðåäïèñûâàåò îòâåðãíóòü ãèïîòåçó H0 (òî åñòü ïðèíÿòü H1 ), åñëè ïðîèñõîäèò ñîáûòèå⃗ ∈ Tα }, êîòîðîå íå äîëæíî ïðîèçîéòè, áóäü ãèïîòåçà H0 ñïðà{T (X)âåäëèâà.
×èñëî α > 0, êîòîðîå ôèãóðèðóåò â (15.1) - (15.2), íàçûâàåòñÿ⃗ íàçûâàóðîâíåì êðèòåðèÿ, èëè óðîâíåì çíà÷èìîñòè, ñòàòèñòèêà T (X)åòñÿ ñòàòèñòèêîé êðèòåðèÿ, à ìíîæåñòâî Tα - êðèòè÷åñêèì ìíîæåñòâîì.150 15.4.Äîñòèãàåìûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè⃗ òðåáóþò ñëåäóþùèõ ñâîéñòâ:Îò ñòàòèñòèêè T = T (X)1) ïðè âûïîëíåíèè ãèïîòåçû H0 ñòàòèñòèêà T èìååò èçâåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå èëè, ïî êðàéíåé ìåðå, ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê íåêîòîðîéñëó÷àéíîé âåëè÷èíå J ñ èçâåñòíûì ðàñïðåäåëåíèåì;2) ïðè âûïîëíåíèè ãèïîòåçû H1 ñòàòèñòèêà T ñõîäèòñÿ ïî÷òè íàâåðíîåê áåñêîíå÷íîñòè ñ ðîñòîì îáúåìà âûáîðêè.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü êðèòåðèé óðîâíÿ α, çàäàþò êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî â âèäåTα = {T ≥ C},ãäå C êîíñòàíòà, îïðåäåëÿåìàÿ óñëîâèåìP{J ≥ C} = α,òî åñòü FJ (C) = 1−α.
ßñíî, ÷òî ïðè òàêîì âûáîðå êîíñòàíòû C âåðîÿòíîñòüîøèáêè íóëåâîãî ðîäà α0 ëèáî ðàâíà óðîâíþ êðèòåðèÿ α (â ñëó÷àå, êîãäàñòàòèñòèêà T ïðè âåðíîé íóëåâîé ãèïîòåçå ðàñïðåäåëåíà â òî÷íîñòè êàêJ ), ëèáî, ïî êðàéíåé ìåðå, ñõîäèòñÿ ê α ñ ðîñòîì îáúåìà âûáîðêè.Ñõîäèìîñòü ñòàòèñòèêè T ïî÷òè íàâåðíîå ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè âûïîëíåííîé ïåðâîé ãèïîòåçå ãàðàíòèðóåò ñîñòîÿòåëüíîñòü êðèòåðèÿ, òî åñòüñõîäèìîñòü âåðîÿòíîñòè îøèáêè ïåðâîãî ðîäà α1 ê íóëþ ñ ðîñòîì îáúåìàâûáîðêè.⃗ ìîæíî íàéòè ïðåäåëüíîå çíà÷åíèåÄëÿ êàæäîé êîíêðåòíîé âûáîðêè X∗∗ ⃗óðîâíÿ α = α (X), ïðè êîòîðîì ãèïîòåçà H0 åùå ìîæåò áûòü ïðèíÿòà.Òàêîå çíà÷åíèå íàçûâàåòñÿ (ðåàëüíî) äîñòèãàåìûì óðîâíåì çíà÷èìîñòè.Êàê ñêàçàíî â [10], α∗ ¾èìååò ñìûñë âåðîÿòíîñòè ïîëó÷èòü õóäøåå ñîãëàñèå ñ ïðîâåðÿåìîé ãèïîòåçîé, ÷åì ðåàëüíî ïîëó÷åííîå, åñëè ãèïîòåçà H0âåðíà¿. Ïîýòîìó ÷åì ìåíüøå α∗ , òåì áîëåå ýòî ãîâîðèò ïðîòèâ ãèïîòåçûH0 .Äîñòèãàåìûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèêè J :⃗ = 1 − FJ (T (X)).⃗α∗ = P{J ≥ T (X)} òåðìèíàõ äîñòèãàåìîãî óðîâíÿ çíà÷èìîñòè êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü èìååò âèäTα = {α∗ ≤ α},òî åñòü íóëåâàÿ ãèïîòåçà îòâåðãàåòñÿ íà óðîâíå α â ñëó÷àå, êîãäà α∗ ≤ α.151Êàæäûé êðèòåðèé ñîãëàñèÿ èñïîëüçóåò ñâîþ ñòàòèñòèêó, ïðåäíàçíà÷åííóþ äëÿ ðàçëè÷åíèÿ íóëåâîé ãèïîòåçû è àëüòåðíàòèâû è îáëàäàþùóþíóæíûìè ñâîéñòâàìè: ñõîäèìîñòüþ ê ôèêñèðîâàííîìó ðàñïðåäåëåíèþ ïðèâûïîëíåíèè íóëåâîé ãèïîòåçû è ñõîäèìîñòüþ ïî÷òè íàâåðíîå ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè åå íåâûïîëíåíèè. êà÷åñòâå âàæíûõ ïðèìåðîâ êðèòåðèåâ ñîãëàñèÿ ðàññìîòðèì êðèòåðèèÊîëìîãîðîâà è õè-êâàäðàò Ïèðñîíà. 15.5.Êðèòåðèè ñîãëàñèÿ Êîëìîãîðîâà è χ2Ïèðñîíà⃗ ⊂Ðàññìîòðèì âûáîðêó X= F îáúåìà n ñ íåèçâåñòíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F è ïðîñòóþ ãèïîòåçó H0 : F = F0 .
Àëüòåðíàòèâíîé äëÿ H0ÿâëÿåòñÿ ñëîæíàÿ ãèïîòåçà H1 : F ̸= F0 .Êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà ïðèìåíÿåòñÿ â ñëó÷àå, êîãäà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F0 (t) íåïðåðûâíà. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëåäóþùåå ðàññòîÿíèåìåæäó ýìïèðè÷åñêîé è òåîðåòè÷åñêîé ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ:Dn = D(Fn∗ , F0 ) =sup−∞<t<∞|Fn∗ (t) − F0 (t)| =max−∞<t<∞|Fn∗ (t) − F0 (t)|. êà÷åñòâå ñòàòèñòèêèêðèòåðèÿ Êîëìîãîðîâà âûáèðàåòñÿ ýòî ðàññòî√ÿíèå, óìíîæåííîå íà n, ãäå n îáúåì âûáîðêè:√√Tn = nDn = n max |Fn∗ (t) − F0 (t)|.−∞<t<∞À. Í. Êîëìîãîðîâ äîêàçàë ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ñòàòèñòèêè Tn :1) åñëè ãèïîòåçà H0 âåðíà, òî Tn ñ ðîñòîì n ñõîäèòñÿ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå J ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ, íàçûâàåìîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿÊîëìîãîðîâà:∞∑2 2FJ (t) = 1 − 2(−1)k+1 e−2k t ;k=12) åñëè ãèïîòåçà H0 íåâåðíà, òî Tn ñõîäèòñÿ ïî÷òè íàâåðíîå ê +∞ ïðèn → ∞.Òàêèì îáðàçîì, äîñòèãàåìûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè êðèòåðèÿ Êîëìîãîðîâà ðàâåíα∗ = 1 − FJ (Tn ) = 2∞∑(−1)k+1 e−2k2k=1Tn2=2∞∑k=1152(−1)k+1 e−2k22nDn.(15.3)Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ðàñ÷åòîâ ïî ýòîé ôîðìóëå íóæíî áðàòü íå âñþ áåñêîíå÷íóþ ñóììó, à òîëüêî íåñêîëüêî ñëàãàåìûõ, ïðè ýòîì îøèáêà âû÷èñëåíèé íå ïðåâîñõîäèò ïîñëåäíåãî îòáðîøåííîãî ñëàãàåìîãî.
Êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà îòâåðãàåò ãèïîòåçó H0 íà óðîâíå α, åñëè α∗ ≤ α.⃗ ìîæíî èñÄëÿ ïðàêòè÷åñêîãî âû÷èñëåíèÿ ñòàòèñòèêè Dn = Dn (X)ïîëüçîâàòü ñëåäóþùóþ ôîðìóëó: )( ⃗ = max max F (X(i) ) − i , F (X(i) ) − i − 1 .Dn (X)(15.4)1≤i≤nnn Çäåñü X(i) ýòî ýëåìåíòû âàðèàöèîííîãî ðÿäà, òî åñòü äëÿ ýòèõ âû÷èñëåíèé âûáîðêó ñëåäóåò ïðåäâàðèòåëüíî óïîðÿäî÷èòü ïî âîçðàñòàíèþ.Åñëè ãèïîòåòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F0 (x) íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé, òî êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà íåïðèìåíèì.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ χ2 -êðèòåðèåì Ïèðñîíà. Ñòàòèñòèêà êðèòåðèÿ Ïèðñîíà ñòðîèòñÿ ïîñëå ïðåäâàðèòåëüíîãî ¾ãðóïïèðîâàíèÿ¿ âûáîðî÷íûõ äàííûõ. Äëÿýòîãî âñå ìíîæåñòâî S âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Xi ðàçáèâàåòñÿ íà êîíå÷íîå ÷èñëî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ÷àñòåé:S = S1 ∪ S2 ∪ · · · ∪ Sr ,Si ∩ Sj = ∅, i ̸= j.⃗ , ïîïàâøèõ â ìíîæåñòâîÎáîçíà÷èì νj ÷èñëî ýëåìåíòîâ âûáîðêè XSj , à pj âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Xi â ìíîæåñòâîSj , âû÷èñëåííàÿ ñ ïîìîùüþ ãèïîòåòè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F =F0 .
Òîãäà â êà÷åñòâå ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ χ2 ðàññìàòðèâàþò ñëåäóþùóþïðåäëîæåííóþ Ïèðñîíîì ìåðó îòêëîíåíèÿ ýìïèðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿîò ïðåäïîëàãàåìîãî òåîðåòè÷åñêîãî:⃗ =χ2 (X)r∑(νj − npj )2.npjj=1(15.5)Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, ïîçâîëÿþùàÿ íàõîäèòü ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè χ2 ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n, à ñòàëî áûòü, è ñòðîèòüñòàòèñòè÷åñêèé êðèòåðèé.Òåîðåìà 15.1. Åñëè ãèïîòåçà H0 îäíîçíà÷íî ôèêñèðóåò âåðîÿòíîñòè p1 , p2 , . . . , pr , ãäå pj = P(Xi ∈ Sj ), òî ïðè âûïîëíåíèè ýòîé ãèïîòåçû⃗ ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ðàñïðåäåëåíèþ χ2 :ñòàòèñòèêà χ2 (X)r−1χ2 =⇒ χ2r−1 , n → ∞.⃗ ñõîäèòñÿ ïîÏðè íåâûïîëíåíèè íóëåâîé ãèïîòåçû ñòàòèñòèêà χ2 (X)÷òè íàâåðíîå ê +∞.153Äëÿ ïîñòðîåíèÿ êðèòåðèÿ, îñíîâàííîãî íà ñòàòèñòèêå χ2 , èñïîëüçó⃗ îòûñêèâàåìåì ðàñïðåäåëåíèå χ2r−1 , è ïî íàéäåííîìó çíà÷åíèþ χ2 (X)äîñòèãàåìûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè⃗α∗ = 1 − Fχ2r−1 (χ2 (X))ïî òàáëèöå 5 ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò èëè ñ ïîìîùüþ ìàòåìàòè÷åñêèõïàêåòîâ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
