1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü: 1) êàêîâû ñòàòèñòè÷åñêèå ãèïîòåçû, ñòàòèñòèêà159êðèòåðèÿ, îáëàñòü åå çíà÷åíèé, êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü; 2) êàêîå ðàñïðåäåëåíèå èìååò ñòàòèñòèêà êðèòåðèÿ, â ÷åì ñîñòîÿò îøèáêè ïåðâîãî è âòîðîãîðîäà è êàêîâû èõ âåðîÿòíîñòè.15.5 Èìååòñÿ âûáîðêà îáúåìà 1 èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Na,1 . Ïðîâåðÿþòñÿ ïðîñòûå ãèïîòåçû H0 : a = 0, H1 : a = 1.
Èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùèé êðèòåðèé (ïðè çàäàííîé ïîñòîÿííîé c):H0 ⇔ X1 ≤ c.Âû÷èñëèòü, â çàâèñèìîñòè îò c, âåðîÿòíîñòè îøèáîê ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà.15.6 Ïîñòðîèòü êðèòåðèé, îáëàäàþùèé íóëåâûìè âåðîÿòíîñòÿìè îøèáîê,⃗ ⊂⃗ ⊂äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåç H0 : X= N0,1 ïðîòèâ H1 : X= Πλ .⃗ ⊂15.7 ÏóñòüX= Na,1 . Äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåç H0 : a = 0 ïðîòèâ H1 : a = 1èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùèé êðèòåðèé: H0 ïðèíèìàåòñÿ, åñëè X(n) < 3, èîòâåðãàåòñÿ â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Íàéòè âåðîÿòíîñòè îøèáîê.15.8 Èñïîëüçóÿ êîíñòðóêöèè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà, ïîñòðîèòü êðè⃗ ⊂òåðèé óðîâíÿ ε äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû H : θ = 1 , åñëè à) X= Nθ,1 ; á)⃗⃗⃗⃗X ⊂= N1,θ ; â) X ⊂= Eθ ; ã) X ⊂= Bθ/2 ; ä) X ⊂= Πθ .160Ãëàâà 16Ðåãðåññèîííûé àíàëèç 16.1.Ëèíåéíàÿ ðåãðåññèÿÍàáëþäàåòñÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà y , çíà÷åíèÿ êîòîðîé çàâèñÿò îò ñëó÷àé→íîãî âåêòîðà ôàêòîðîâ ðåãðåññèè −x = (1, x1 , ..., xk ).
Ââåäåì â ðàññìîò−→ðåíèå âåêòîð íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ðåãðåññèè β = (a0 , a1 , ..., ak ). Áóäåìèçó÷àòü ëèíåéíóþ ðåãðåññèþ→E(y|−x ) = a0 +k∑ai xi .i=1Ïóñòü â t-ì ýêñïåðèìåíòå ôàêòîðû ðåãðåññèè ïðèíèìàþò çàäàííûå çíà÷åíèÿ−→x (t) = (1, x1,t , ..., xk,t ),ãäå t = 1, ..., N . Ïîñëå N ≥ k + 1 ýêñïåðèìåíòîâ ïîëó÷åí íàáîð îòêëèêîâ(y1 , ..., yN ):−→ →−→u,y = XT β + −ñ ìàòðèöåé ïëàíà X(k + 1 × N )1 x1,1 x2,1 .. .xk,1............1x1,Nx2,N.... . .
xk,N161.Ìàòðèöó X T áóäåì íàçûâàòü ìàòðèöåé ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, âåê→òîð −u = (u1 , ..., uN ) áóäåì íàçûâàòü âåêòîðîì îøèáîê (ñëó÷àéíûõ îñòàòêîâ).Ñôîðìóëèðóåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó.Òåîðåìà 16.1 (Ãàóññà-Ìàðêîâà). Ïóñòü ìàòðèöà X èìååò ðàíã k+1→è âåêòîð îøèáîê −u ñîñòîèò èç íåçàâèñèìûõ ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí ñ ðàñïðåäåëåíèåì Φ0,σ2 ñ îäíîé è òîé æå äèñïåðñèåé.
Òîãäà îöåíêàïîëó÷åííàÿ ïî ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ bβ, êîòîðàÿ ìèíèìèçèðóåòôóíêöèþ→−−→ →−→→S( β ) = (−y − X T β )T (−y − XT β )èìååò âèä→bβ = (XX T )−1 X −y.Êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà îöåíêè bβ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåCov(bβ, bβ|X) = σ2u (XX T )−1 ,∑N 2→→β) = N 1−k i=1 uy −X T bβ)T (−y −X T bbi íåñìåùåííàÿ îöåíêàãäå σ2u = N 1−k (−äëÿ äèñïåðñèè ñëó÷àéíîãî îñòàòêà, ÷åðåç ubi ìû îáîçíà÷èëè i-óþ êîìïî→íåíòó âåêòîðà −y − XT bβ. ïðîñòåéøåì âàðèàíòå çàäà÷è î ëèíåéíîé ðåãðåññèè äàíû ïàðû òî÷åê(x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ).
Çàäà÷à ñîñòîèò â îòûñêàíèè ïðÿìîé y = kx + b, íàèëó÷øèì îáðàçîì ïðèáëèæàþùåé ýòè òî÷êè â ñëåäóþùåì ñìûñëå: çíà÷åíèåñóììû êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé çíà÷åíèé yi îò ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèékxi + b äîñòèãàåò ìèíèìóìà:n∑(yi − kxi − b)2 → min .i=1Ðåøåíèå çàäà÷è äàåòñÿ ñëåäóþùèìè ôîðìóëàìè:k=xy − x yx2 − (x)2;b = y − kx.Âåðîÿòíîñòíàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è, ïðèâîäÿùàÿ ê òîìó æå îòâåòó, ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû yi èìåþò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ îäíîé è òîé æå äèñïåðñèåé è ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì Kxi + B .Òîãäà k è b ýòî îöåíêè ïàðàìåòðîâ K , B ïî ìåòîäó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ.162 16.2.Êðèòåðèé Äàðáèíà-ÂàòñîíàÐàññìîòðèì ñòàòèñòèêó Äàðáèíà-Âàòñîíà∑NDW =ui − ubi−1 )2i=2 (b,∑N 2bii=1 u→ãäå ÷åðåç ubi îáîçíà÷àåòñÿ i-àÿ êîìïîíåíòó âåêòîðà −y − XT bβ (ñì. òåîðåìó16.1).
Íà îñíîâå ýòîé ñòàòèñòèêè ñòðîèòñÿ êðèòåðèé äëÿ ïðîâåðêè ïðåäïîñûëêè òåîðåìû Ãàóññà-Ìàðêîâà î íåêîððåëèðîâàííîñòè ñëó÷àéíûõ îñòàòêîâ â ìîäåëè ëèíåéíîé ðåãðåññèè, à èìåííî, ïðîâåðÿåòñÿ îñíîâíàÿ ãèïîòåçàH1 : Cov(ui , uj ) = 0, j = i − 1.Ýòîò êðèòåðèé ðåàëèçóåòñÿ â èòîãå ñëåäóþùèõ øàãîâ.Øàã 1. Ïî êîëè÷åñòâó óðàâíåíèé íàáëþäåíèé N , à òàêæå êîëè÷åñòâók + 1 íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ðåãðåññèè è îøèáêå ïåðâîãî ðîäà êðèòåðèÿα ñëåäóåò âûáðàòü äâå âåëè÷èíû dL è dU (äëÿ ýòèõ âåëè÷èí ñîñòàâëåíûòàáëèöû, ñêàæåì äëÿ α = 0, 05 è k = 1, N = 10 çíà÷åíèÿ dL è dU áóäóòðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 0, 88 è 1, 32).Øàã 2.
Îáëàñòüþ ïðèíÿòèÿ îñíîâíîé ãèïîòåçû ñëóæèò ïðîìåæóòîê(dU , 4 − dU ).Ïðè ïîïàäàíèè ðåàëèçàöèè ñòàòèñòèêè DW â ìíîæåñòâî (0, dl ] ïðèíèìàåòñÿ àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà:H1 : Cov(ui , uj ) > 0, j = i − 1.Åñëè æå ðåàëèçàöèÿ ñòàòèñòèêè DW ïîïàäàåò â ìíîæåñòâî [4 − dL , 4), òîïðèíèìàåòñÿ àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà:H1 : Cov(ui , uj ) < 0, j = i − 1. 16.3.Îáîáùåííûé ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ→Ïóñòü âåêòîð ñëó÷àéíûõ îøèáîê −u = (u1 , u2 , ..., uN ) â ìîäåëè ëèíåéíîéðåãðåññèè ÿâëÿåòñÿ ãàóññîâñêèì ñ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè êîìïîíåíòàìè.→→Êîâàðèàöèîííóþ ìàòðèöó Cov(−u,−u ) âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå−→−→2Cov( u , u ) = σ0 Ω, ãäå Ω ñèììåòðè÷íàÿ íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, à σ20 ïðîèçâîëüíî âûáðàííàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà.
Îöåíêà íåèçâåñòíûõ163ïàðàìåòðîâ ðåãðåññèè bβ, äîñòàâëÿåìàÿ ïðîöåäóðîé îáîáùåííîãî ìåòîäàíàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà â ïðîöåññå ðåøåíèÿ ñëåäóþùåé ñèñòåìû óðàâíåíèé→XΩ−1 X T bβ = XΩ−1 −y.Äàëåå ìû ðàññìîòðèì äâå ìîäåëè ñòàöèîíàðíûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ, àèìåííî: ìîäåëü àâòîðåãðåññèè ïåðâîãî ïîðÿäêà (îáîçíà÷åíèå AR(1)) è ìîäåëü ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî ïåðâîãî ïîðÿäêà (îáîçíà÷åíèå MA(1)). 16.4.Ìîäåëü àâòîðåãðåññèèïåðâîãî ïîðÿäêà, AR(1)Îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ut }t=1,2,... ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñëåäóþùèìîáðàçîì:ut = ρut−1 + ξt ,ãäå {ξt }t=1,2,...
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí ñ íóëåâûì ñðåäíèì è äèñïåðñèåé ðàâíîé σ2ξ , ρ íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà, òàêàÿ ÷òî |ρ| < 1, ïðè ýòîì Eu1 = 0, Du1 = σ2u , Cov(ut−1 , ξt ) = 0 è(1 − ρ2 )σ2u = σ2ξ .Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îïðåäåëåííûé òàêèì îáðàçîì âðåìåííîé ðÿä{ut }t=1,2,... ñîîòâåòñòâóåò ìîäåëè àâòîðåãðåññèè ïåðâîãî ïîðÿäêà è îáîçíà÷àòü ut ∈ AR(1).Ðàññìîòðèì óðîâíè âðåìåííîãî ðÿäà {ut }t=1,2,... â äâà ïðîèçâîëüíûõ íîôèêñèðîâàííûõ ìîìåíòà âðåìåíè t = i è t = j . Óðîâíè ui è uj ÿâëÿþòñÿñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, îïðåäåëèì äëÿ íèõ êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèèρuu (i, j) = Cor(ui , uj ).Ôóíêöèÿ ρuu (i, j) íàçûâàåòñÿ àâòîêîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé, çàìåòèì, ÷òîäëÿ ñòàöèîíàðíîãî âðåìåííîãî ðÿäà îíà çàâèñèò òîëüêî îò ðàçíîñòè i − j ,ò.
å. ρuu (i, j) = f (|i − j|), ãäå f íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ.  ÷àñòíîñòè äëÿut ∈ AR(1) àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ðàâíà ρuu (i, j) = ρ|i−j| . 16.5.Ìîäåëü ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãîïåðâîãî ïîðÿäêà, MA(1)Îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ut }t=1,2,... ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíut = γξt−1 + ξt ,164ãäå {ξt }t=0,1,... ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí ñ íóëåâûì ñðåäíèì è äèñïåðñèåé, ðàâíîé σ2ξ , γ íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îïðåäåëåííûé òàêèì îáðàçîì âðåìåííîé ðÿä{ut }t=1,2,... ñîîòâåòñòâóåò ìîäåëè ñêîëüçÿùåãî ïåðâîãî ïîðÿäêà è îáîçíà÷àòü ut ∈ MA(1).
Àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ρuu (i, j) â ýòîì ñëó÷àåðàâíà{ ()|i−j|γ, |i − j| ≤ 1;21+γρuu (i, j) =0, |i − j| ≥ 2. 16.6.Îöåíèâàíèå ëèíåéíûõðåãðåññèîííûõ ìîäåëåéñ çàâèñèìûìè îñòàòêàìèÐàññìîòðèì ðåãðåññèîííóþ ìîäåëü{yt = a0 + a1 x1,t + ... + ak xk,t + ut ;ut ∈ AR(1), t = 1, 2, ..., N.Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî yt , t = 1, 2, ..., N ýòî íàáîð îòêëèêîâ âðåãðåññèîííîé ìîäåëè, a1 , a2 , ..., ak íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû ðåãðåññèè,ut , t = 1, 2, ..., N íàáîð ñëó÷àéíûõ îñòàòêîâ. Ïîñêîëüêó ut ∈ AR(1) ìûäëÿ âñåõ t = 2, 3, ..., N ìîæåì âûïèñàòü ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:yt − ρyt−1 = a0 (1 − ρ) + a1 (x1,t − ρx1,t−1 ) + ... + ak (xk,t − ρxk,t−1 ) + ξt , (16.1)ãäå {ξt }t=2,3,...,N ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Åñëè áû êîíñòàíòà ρ áûëà èçâåñòíà, òî ìîäåëü (16.1) áûëà áû ìîäåëüþ ìíîæåñòâåííîé ðåãðåññèè, â ðàìêàõ êîòîðîé âñå ïðåäïîñûëêè òåîðåìû 16.1 (òåîðåìû Ãàóññà-Ìàðêîâà) ñïðàâåäëèâû.
Òàê ÷òî ìîæíî áûëî áûïîëó÷èòü ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ îöåíêè íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâðåãðåññèè. Îäíàêî ρ íåèçâåñòíàÿ êîíñòàíòà, çíà÷åíèÿ êîòîðîé ïðèíàäëåæèò ïðîìåæóòêó [0, 1). Àëãîðèòì åå îïðåäåëåíèÿ íåëèíåéíûì ìåòîäîìíàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ïðèíàäëåæèò Õèëäðåòó è Ëó è ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ øàãîâ:Øàã 1. Çàäàòüñÿ â ïðîìåæóòêå [0, 1) íàáîðîì ïðîáíûõ çíà÷åíèé ρ = ρi ïîïðàâèëóρi = (i − 1)/n, i = 1, ..., n,165ãäå n íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî.Øàã 2. Ïðè êàæäîì çíà÷åíèè ρ = ρi ñîñòàâèòü â ðàìêàõ ìîäåëè (16.1)ñèñòåìó óðàâíåíèé y2 − ρy1 = a0 (1 − ρ) + a1 (x1,2 − ρx1,1 ) + ... + ak (xk,2 − ρxk,1 ) + ξ2 ;...yN − ρyN −1 = a0 (1 − ρ) + a1 (x1,N − ρx1,N −1 ) + ...++ak (xk,N − ρxk,N −1 ) + ξNè âû÷èñëèòü íà îñíîâàíèè ýòîé ñèñòåìû îöåíêè íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ñïîìîùüþ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, à òàêæå îöåíêè ñëó÷àéíûõ îñòàòêîâ ðåãðåññèè bξj , j = 2, ..., N . Äàëåå ñëåäóåò âû÷èñëèòü ñóììó êâàäðàòîâîöåíîê ñëó÷àéíûõ îñòàòêîâN∑bξ2j .j=2Øàã 3.
Âûáðàòü èç ìíîæåñòâà ïðîáíûõ çíà÷åíèé ρi òàêóþ âåëè÷èíó bρèñîîòâåòñòâóþùèå åé îöåíêè íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ðåãðåññèè, äëÿ êîòî∑N 2ðîé äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì j=2 bξj . Ïîëó÷åííûå îöåíêè è áóäóò èñêîìûìèîöåíêàìè ïàðàìåòðà ρ â ìîäåëè àâòîðåãðåññèè, à òàêæå íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ðåãðåññèè a0 , a1 , ..., ak . ïðåäëàãàåìûõ çàäà÷àõ âñþäó ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî k = 1. 16.7.Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ16.1 Ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ íàéòè íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû ðå-ãðåññèè.x1,t 1yt523−1 216.2 Ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ íàéòè íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðûðåãðåññèè.x1,t12345678910yt5, 4 10, 4 14, 6 16, 8 20, 07 26, 13 30, 8 35, 3 41, 5 43, 516.3 Ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ íàéòè íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðûðåãðåññèè.x1,t 123yt2 −1 2Âû÷èñëèòü ñòàòèñòèêó Äàðáèíà-Âàòñîíà è ñäåëàòü âûâîäû, âû÷èñëèòüñóììó êâàäðàòîâ îñòàòêîâ. Äàëåå, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ñëó÷àéíûå îñòàòêè166ïîä÷èíÿþòñÿ ìîäåëè AR(1) ñ ρ = 1/2, âû÷èñëèòü òàêæå îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðåãðåññèè è ñóììó êâàäðàòîâ îñòàòêîâ, ñðàâíèòü ýòó ñóììó êâàäðàòîâñ ïîëó÷åííîé ðàíåå è ñäåëàòü âûâîäû.16.4 Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {ut } ïîä÷èíÿåòñÿ ìîäåëè àâòîðåãðåññèè ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèèìåæäó ñîñåäíèìè óðîâíÿìè, ðàâíûì 1/3.
Âû÷èñëèòü àâòîêîððåëÿöèîííóþôóíêöèþ.16.5 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {ut } óäîâëåòâîðÿåò ìîäåëè ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèèìåæäó ñîñåäíèìè óðîâíÿìè, ðàâíûì 1/2. Âû÷èñëèòü àâòîêîððåëÿöèîííóþôóíêöèþ.16.6 Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ñëó÷àéíûå îñòàòêè â ìîäåëè ðåãðåññèè ïîä÷èíÿþòñÿ ìîäåëè àâòîðåãðåññèè ïåðâîãî ïîðÿäêà, âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíòêîððåëÿöèè ìåæäó ñîñåäíèìè óðîâíÿìè ñëó÷àéíûõ îñòàòêîâ (èñïîëüçîâàòü àëãîðèòì Õèëäðåòà-Ëó).x1,tyt17, 729, 2313418, 816.7 Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ñëó÷àéíûå îñòàòêè â ìîäåëè ðåãðåññèè óäîâëåòâîðÿþò ìîäåëè ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî ïåðâîãî ïîðÿäêà, íàéòè îöåíêèíåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ðåãðåññèè.x1,t 12346yt5 −1 2 −1 316.8 Ïóñòü ðåàëèçàöèÿ ñëó÷àéíûõ îñòàòêîâ â ìîäåëè ëèíåéíîé ðåãðåññèè èìååò âèä:0, 27; 2, 18; 0, 18; −1, 17; 0, 68; 2, 05; 0, 45; −1, 1; −1, 74; −3, 21.Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñëó÷àéíûå îñòàòêè óäîâëåòâîðÿþò ìîäåëèAR(1), ò.å.
ut = ρut−1 + ξi , ãäå {ξi } ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõîäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ íîðìàëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Èñïîëüçóÿìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, íàéòè îöåíêó äëÿ ρ.167Ãëàâà 17Ìàðêîâñêèå öåïè èïðîöåññû 17.1.Öåïè Ìàðêîâà. Ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðåìàÏóñòü êàæäàÿ èç ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X0 , X1 , ... ïðèíèìàåò êîíå÷íîå ÷èñëî çíà÷åíèé {x1 , x2 , ..., xm }, ýòè çíà÷åíèÿ ìû áóäåì íàçûâàòü ñîñòîÿíèÿìè.Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X0 , X1 , ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
