1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 23
Текст из файла (страница 23)
 ïàêåòå Microsoft Excel äîñòèãàåìûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè âû÷èñëÿåòñÿ ôîðìóëîé=ÕÈ2ÐÀÑÏ(ÿ÷åéêà;r-1)(15.6)(â êà÷åñòâå ÿ÷åéêè íàäî ïîäñòàâèòü àäðåñ ÿ÷åéêè, â êîòîðîé âû÷èñëåíàñòàòèñòèêà õè-êâàäðàò, à r − 1 ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû).Òîãäà êðèòåðèé Ïèðñîíà èìååò ñëåäóþùèé âèä:H0 ⇔ α∗ > α.(15.7)Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ ðåêîìåíäóåòñÿ ðàçáèåíèåïðîèçâîäèòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå npj ≥ 10.Ïðè íàðóøåíèè ýòîãî óñëîâèÿ íóæíî îáúåäèíèòü ñîñåäíèå ìíîæåñòâà Sj .Âåðîÿòíîñòè pj íàäî âûáèðàòü ïî âîçìîæíîñòè ðàâíûìè.Êðèòåðèé õè-êâàäðàò ÷àñòî èñïîëüçóþò äëÿ ïðîâåðêè ñëîæíûõ ãèïîòåçî ïðèíàäëåæíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ê íåêîòîðîìó ïàðàìåòðè÷åñêîìó ñåìåéñòâó (íàïðèìåð, ê íîðìàëüíîìó). Ïðè ýòîì âìåñòî èçâåñòíûõ âåðîÿòíîñòåépj ïîäñòàâëÿþò èõ îöåíêè p∗j , ïîëó÷åííûå ïóòåì îöåíèâàíèÿ íåèçâåñòíûõïàðìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ.
Âàæíî ïîíèìàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïðåäåëüíîå⃗ óæå íå áóäåò ðàñïðåäåëåíèåì χ2 , à áóðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè χ2 (X)r−12äåò áëèçêî ê ðàñïðåäåëåíèþ χr−1−s , ãäå s ÷èñëî îöåíèâàåìûõ ïàðàìåòðîâ(s = 2 äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ). Áîëåå òî÷íî, ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ çàêëþ÷åíà ìåæäó ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ χ2r−1−s èχ2r−1 .⃗Äîñòèãàåìûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè α∗ çàêëþ÷åí ìåæäó 1 − Fχ2 (χ2 (X))r−1⃗ , ãäå s ÷èñëî îöåíèâàåìûõ ïàðàìåòðîâ.è 1 − Fχ2r−1−s (χ2 (X))Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü â òî÷íîñòè ðàñïðåäåëåíèå õè-êâàäðàò ñr − 1 − s ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, ñëåäóåò îöåíèâàòü íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïî ãðóïïèðîâàííîé âûáîðêå, íî ýòîïðèâîäèò, êàê ïðàâèëî, ê ñëîæíûì âû÷èñëèòåëüíûì ïðîöåäóðàì.154 15.6.Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâÏðèìåð15.4. Âàðèàöèîííûé ðÿä âûáîðêè èìååò âèä(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10).
Ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î ðàâíîìåðíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåìåíòîâ âûáîðêè íà îòðåçêå îò 0 äî 10 ñ ïîìîùüþêðèòåðèÿ Êîëìîãîðîâà: íàéòè ðåàëèçàöèþ äîñòèãàåìîãî óðîâíÿ çíà÷èìîñòè è ñäåëàòü âûâîä î ïðèíÿòèè ãèïîòåçû íà óðîâíÿõ 0,1 è0,01.Ðåøåíèå. Ïîñòðîèì íà îäíîì ãðàôèêå ýìïèðè÷åñêóþ Fn∗ (t) è òåîðå-òè÷åñêóþ F0 (t) ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ýòî ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ,âûñîòà ñòóïåíüêè ðàâíà 1/10 â òî÷êàõ 1; .
. . ; 10.Òåîðåòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíîìåðíîãî çàêîíà íà îòðåçêå îò 0 äî 10 ðàâíàåñëè t ≤ 0, 0,t/10, åñëè 0 < t ≤ 10,(15.8)F0 (t) =1,åñëè t > 10.Òàê êàê ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F0 (t) íåïðåðûâíà, òî ìîæíî ïðèìåíÿòü êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà. Íàéäåì ïî ãðàôèêó çíà÷åíèå Dn íàèáîëüøóþ ïî ìîäóëþ ðàçíîñòü ìåæäó ýìïèðè÷åñêîé è òåîðåòè÷åñêîé ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ýòà ðàçíîñòü äîñòèãàåòñÿ â òî÷êàõ ðàçðûâà ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ðàâíà 1/10.
Âû÷èñëèì ðåàëèçàöèþ äîñòèãàåìîãî óðîâíÿ çíà÷èìîñòè, âñïîìèíàÿ, ÷òî n = 10: ñîãëàñíî (15.3),α∗ = 2∞∑(−1)k+1 e−2k22nDn≈k=1≈ 2e−0,2 −2e−4·0,2 +2e−9·0,2 −2e−16·0,2 +2e−25·0,2 −2e−36·0,2 +2e−49·0,2 ≈ 0, 99997.Äîñòèãàåìûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè îêàçàëñÿ áëèçêèì ê 1; ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íåò îñíîâàíèé îòâåðãàòü ãèïîòåçó î ðàâíîìåðíîñòè âûáîðî÷íûõçíà÷åíèé. Ýòó ãèïîòåçó ñëåäîâàëî áû îòâåðãíóòü òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäàäîñòèãàåìûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè îêàçàëñÿ áû áëèçêèì ê íóëþ. ÷àñòíîñòè, â íàøåì ñëó÷àå âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî α∗ > 0, 1.
Ñëåäîâàòåëüíî, ãèïîòåçà î ðàâíîìåðíîñòè ïðèíèìàåòñÿ íà óðîâíå 0,1. Òåì áîëååîíà áóäåò ïðèíèìàòüñÿ íà óðîâíå 0,01.155Ïðèìåð15.5. Ðåøèòü ïðèìåð 15.4 äëÿ ðåàëèçàöèè âûáîðêè(10; 0; 0; 10; 10; 10; 0; 0; 0; 10).Ðåøåíèå. Óïîðÿäî÷èâ ðåàëèçàöèþ âûáîðêè ïî íåóáûâàíèþ, ïîëó÷èìðåàëèçàöèþ âàðèàöèîíîãî ðÿäà: (0; 0; 0; 0; 0; 10; 10; 10; 10; 10). Êàê èâ ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, ïîñòðîèì íà îäíîì ãðàôèêå ýìïèðè÷åñêóþ Fn∗ (t)è òåîðåòè÷åñêóþ F0 (t) ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.
 îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà, ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ çäåñü èìååò âñåãî äâåñòóïåíüêè â òî÷êàõ 0 è 10, âûñîòîé ïî 5/10 = 0, 5. Òåîðåòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ îñòàåòñÿ òîé æå ñàìîé è îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (15.8).Çíà÷åíèå Dn äîñòèãàåòñÿ â òî÷êàõ ðàçðûâà ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ðàâíÿåòñÿ 0, 5. Âû÷èñëèì ðåàëèçàöèþ äîñòèãàåìîãî óðîâíÿçíà÷èìîñòè:∗α =2∞∑(−1)k+1 e−2k22nDn≈ 2e−2·10·0,5 = 2e−5 ≈ 0, 0135.2k=1Çäåñü ìû âçÿëè òîëüêî îäíî ñëàãàåìîå ñóììû, òàê êàê îñòàëüíûå ñëàãàåìûå ãîðàçäî ìåíüøå. ýòîì ïðèìåðå äîñòèãàåìûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè îêàçàëñÿ áëèçêèì ê0, ÷òî ãîâîðèò ïðîòèâ ãèïîòåçû H0 .  ÷àñòíîñòè, α∗ < 0, 1, òî åñòü ãèïîòåçàîäíîðîäíîñòè îòâåðãàåòñÿ íà óðîâíå 0,1.
Îäíàêî îíà ïðèíèìàåòñÿ íà áîëååíèçêîì óðîâíå 0,01, òàê êàê α∗ > 0, 01.Ïðèìåð 15.6. Ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î ðàâíîìåðíîñòè íà îòðåçêå îò0 äî 10 äëÿ âûáîðîê èç äâóõ ïðåäûäóùèõ ïðèìåðîâ ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿõè-êâàäðàò Ïèðñîíà: íàéòè ðåàëèçàöèè äîñòèãàåìûõ óðîâíåé çíà÷èìîñòè è ñäåëàòü âûâîäû î ïðèíÿòèè ãèïîòåçû íà óðîâíÿõ 0,1 è 0,01. ×èñëîïðîìåæóòêîâ ãðóïïèðîâàíèÿ âûáðàòü ïî ôîðìóëå Ñòåäæåñà.Ðåøåíèå.Ñîãëàñíî ôîðìóëå Ñòåäæåñà (11.3), âû÷èñëÿåì öåëóþ ÷àñòü ëîãàðèôìàïî îñíîâàíèþ 2 îò îáúåìà âûáîðêè è ïðèáàâëÿåì åäèíèöó:r = [log2 n] + 1 = [log2 10] + 1 = 3 + 1 = 4,òàê êàê 23 = 8 < 10 < 24 = 16.Èòàê, ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé îòðåçîê [0; 10] ñëåäóåò ðàçáèòü íà 4 ïðîìåæóòêà ðàâíîé äëèíû:S1 = [0; 2, 5), S2 = [2, 5; 5), S3 = [5; 7, 5), S4 = [7, 5; 10].156Ñîãëàñíî íóëåâîé ãèïîòåçå, ðàñïðåäåëåíèå ðàâíîìåðíîå íà îòðåçêå îò0 äî 10.
Ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíû âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ ýëåìåíòà âûáîðêèâ îòðåçêè ðàâíîé äëèíû:p1 = p2 = p3 = p4 = 1/4 = 0, 25.Çíà÷åíèÿ ñòàòèñòèêè õè-êâàäðàò Ïèðñîíà ðàçëè÷íû äëÿ ïðèìåðîâ 15.4è 15.5:1)  ïðèìåðå 15.4 êîëè÷åñòâà ýëåìåíòîâ, ïîïàâøèõ â êàæäûé èç ïðîìåæóòêîâ, ðàâíû ñîîòâåòñòâåííîν1 = 2, ν2 = 2, ν3 = 3, ν4 = 3.Âû÷èñëèì ñòàòèñòèêó õè-êâàäðàò ñîãëàñíî ôîðìóëå (15.5):⃗ =χ2 (X)=r∑(νj − npj )2=npjj=1(2 − 10 · 0, 25)2 (2 − 10 · 0, 25)2 (3 − 10 · 0, 25)2 (3 − 10 · 0, 25)2+++= 0, 4.10 · 0, 2510 · 0, 2510 · 0, 2510 · 0, 25Íàéäåì äîñòèãíóòûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè ïî ôîðìóëå (15.6), èñïîëüçóÿôóíêöèþ ÕÈ2ÐÀÑÏ è ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå 0,4 è ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû,ðàâíîå r − 1 = 4 − 1 = 3:ÕÈ2ÐÀÑÏ(0,4;3) ≈ 0, 94.Èòàê, çäåñü äîñòèãíóò óðîâåíü çíà÷èìîñòè 0,94, ÷òî íå äàåò îñíîâàíèéîòâåðãàòü ãèïîòåçó î ðàâíîìåðíîñòè íè íà óðîâíå 0, 1 < 0, 94, íè òåì áîëååíà óðîâíå 0,01.2)  ïðèìåðå 15.5 êîëè÷åñòâà ýëåìåíòîâ, ïîïàâøèõ â êàæäûé èç ïðîìåæóòêîâ, ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿν1 = 5, ν2 = 0, ν3 = 0, ν4 = 5.Êàê è â ïóíêòå (1), âû÷èñëèì ñòàòèñòèêó õè-êâàäðàò è íàéäåì äîñòèãíóòûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè:⃗ =χ2 (X)=r∑(νj − npj )2=npjj=1(5 − 10 · 0, 25)2 (0 − 10 · 0, 25)2 (5 − 10 · 0, 25)2 (0 − 10 · 0, 25)2+++= 10;10 · 0, 2510 · 0, 2510 · 0, 2510 · 0, 25157ÕÈ2ÐÀÑÏ(10;3) ≈ 0, 0186. ýòîì ïðèìåðå äîñòèãíóò íèçêèé óðîâåíü çíà÷èìîñòè 0,0186, ÷òî äàåòîñíîâàíèÿ îòâåðãàòü ãèïîòåçó î ðàâíîìåðíîñòè íà óðîâíå 0, 1 > 0, 0186, íîíå íà óðîâíå 0,01.Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ðàññìîòðåííûõ ïðèìåðîâ êðèòåðèè Êîëìîãîðîâà èõè-êâàäðàò Ïèðñîíà äàþò ïîõîæèå ðåçóëüòàòû äîñòèãíóòûå óðîâíè çíà÷èìîñòè äëÿ îáîèõ êðèòåðèåâ îêàçàëèñü äîâîëüíî áëèçêèìè.
 ñëó÷àå, êîãäà îñíîâíàÿ ãèïîòåçà ïðåäïîëàãàåò äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå, êðèòåðèéÊîëìîãîðîâà íåïðèìåíèì, è ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ òîëüêî êðèòåðèåì õèêâàäðàò Ïèðñîíà.Ïðèìåð 15.7. Ïðè 4040 áðîñàíèÿõ ìîíåòû Áþôôîí ïîëó÷èë ν1 =2048 âûïàäåíèé ãåðáà è ν2 = n − ν1 = 1992 âûïàäåíèé ðåøåòêè. Ñîãëàñóåòñÿ ëè ýòî ñ ãèïîòåçîé î òîì, ÷òî ìîíåòà ïðàâèëüíàÿ, ïðè óðîâíåçíà÷èìîñòè α = 0, 1? Ñ êàêèì ïðåäåëüíûì óðîâíåì çíà÷èìîñòè ìîæåòáûòü ïðèíÿòà ýòà ãèïîòåçà?Ðåøåíèå. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìû èìååì äåëî ñî ñòàòèñòè÷åñêîé ìî⃗ ⊂äåëüþ X= Bp , ãäå íåèçâåñòåí ïàðàìåòð p - âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ ãåðáà.Ïðîâåðÿåìàÿ ãèïîòåçà H0 : p = 0, 5.
Ïîñêîëüêó âûáîðî÷íûå äàííûå óæåñãðóïïèðîâàíû ( ν1 = 2048 ÷èñëî çíà÷åíèé Xi = 1 , ν2 ÷èñëî çíà÷åíèé Xi = 0 ), òî ìîæåì âû÷èñëèòü íàáëþäàåìîå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêèχ2 :p1 = PH0 (Xi = 1) = 0, 5; p2 = PH0 (Xi = 0) = 0, 5;(ν1 − np1 )2(2048 − 2020)2== 0, 285;np12020(1992 − 2020)2(ν2 − np2 )2== 0, 388;np22020χ2 = 0, 285 + 0, 388 = 0, 673.×èñëî ìíîæåñòâ ðàçáèåíèÿ r = 2, ïîýòîìó äîñòèãíóòûé óðîâåíü çíà÷èìîñòèÕÈ2ÐÀÑÏ(0,673;1) ≈ 0, 412.Äîñòèãíóòûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè äîâîëüíî âûñîê.
 ÷àñòíîñòè,0, 412 > 0, 1, òî åñòü ãèïîòåçà î ñèììåòðè÷íîñòè ìîíåòû ïðèíèìàåòñÿ íàóðîâíå 0,1.158 15.7.Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿÏðè n=4000 íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ñîáûòèÿ A1, A2, A3, ñîñòàâëÿþùèå ïîëíóþ ãðóïïó, îñóùåñòâèëèñü ñîîòâåòñòâåííî 1905, 1015 è1080 ðàç.
Ïðîâåðèòü, ñîãëàñóþòñÿ ëè ýòè äàííûå ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè0,05 ñ ãèïîòåçîé H0 : p1 = 1/2, p2 = p3 = 1/4, ãäå pj = P(Aj ). Íàéòèäîñòèãíóòûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè.15.3  ýêñïåðèìåíòàõ ñ ñåëåêöèåé ãîðîõà Ìåíäåëü íàáëþäàë ÷àñòîòû ðàçëè÷íûõ âèäîâ ñåìÿí, ïîëó÷åííûõ ïðè ñêðåùèâàíèè ðàñòåíèé ñêðóãëûìè æåëòûìè ñåìåíàìè è ðàñòåíèé ñ ìîðùèíèñòûìè çåëåíûìèñåìåíàìè. Ýòè äàííûå è çíà÷åíèÿ òåîðåòè÷åñêèõ âåðîÿòíîñòåé ïî òåîðèèíàñëåäñòâåííîñòè ïðèâåäåíû â ñëåäóþùåé òàáëèöå:15.1ÑåìåíàÊðóãëûå è æåëòûåÌîðùèíèñòûå è æåëòûåÊðóãëûå è çåëåíûåÌîðùèíèñòûå è çåëåíûåΣ×àñòîòà31510110832n=556Âåðîÿòíîñòü9/163/163/161/161Ñëåäóåò ïðîâåðèòü ãèïîòåçó H0 î ñîãëàñîâàíèè ÷àñòîòíûõ äàííûõ ñòåîðåòè÷åñêèìè âåðîÿòíîñòÿìè (íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,1) è íàéòèäîñòèãíóòûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè.15.3  òàáëèöå ïðèâåäåíû ÷èñëà mi ó÷àñòêîâ ðàâíîé ïëîùàäè 0,25 êì2þæíîé ÷àñòè Ëîíäîíà, íà êàæäûé èç êîòîðûõ ïðèõîäèëîñü ïî i ïîïàäàíèéñàìîëåòîâ-ñíàðÿäîâ âî âðåìÿ âòîðîé ìèðîâîé âîéíû.
Ïðîâåðèòü ñîãëàñèåîïûòíûõ äàííûõ ñ çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà, ïðèíÿâ çà óðîâåíüçíà÷èìîñòè α = 0, 05:i01234mi229211933575èáîëåå1ÈòîãîΣmi = 57615.4 Êðóïíàÿ ïàðòèÿ òîâàðîâ ìîæåò ñîäåðæàòü äîëþ äåôåêòíûõ èçäåëèé.Ïîñòàâùèê ïîëàãàåò, ÷òî ýòà äîëÿ ñîñòàâëÿåò 3%, à ïîêóïàòåëü 10%.Óñëîâèÿ ïîñòàâêè: åñëè ïðè ïðîâåðêå 20 ñëó÷àéíûì îáðàçîì îòîáðàííûõòîâàðîâ îáíàðóæåíî íå áîëåå îäíîãî äåôåêòíîãî, òî ïàðòèÿ ïðèíèìàåòñÿíà óñëîâèÿõ ïîñòàâùèêà, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå íà óñëîâèÿõ ïîêóïàòåëÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
