1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Äëÿ âûáîðêè (X1 , X2 , . . . , Xn ) èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþðàñïðåäåëåíèÿ f (x) íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðà θ > 2 ïî ïåðâîìó ìîìåíòó èìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ïðîâåðèòü ñîñòîÿòåëüíîñòü ïîëó÷åííûõ îöåíîê. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà{θx−(θ+1) ïðè x > 1;f (x) =0 ïðè x ≤ 1.12. Äàíà âûáîðêà èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íåèçâåñòíûìè ïàðàìåòðàìè. Íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòîíåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ èõ òî÷å÷íûå îöåíêè, çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿîöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîñòðîèòü íà îäíîì ãðàôèêå ãèñòîãðàììó ñ øàãîì, ðàâíûì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó (ñòàíäàðòíîìó) îòêëîíåíèþ,è ãðàôèê îöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.0,78 1,26 1,58 2,11 0,01 1,35 2,05 0,76 1,65 1,61 0,12 2,03 1,07 1,103,06 0,38 0,64 1,63 0,54 2,65 0,82 1,21 0,73 1,99 2,44 0,93 0,47 0,8813.
Ïî êðèòåðèþ Êîëìîãîðîâà ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî âûáîðêàèìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0; 2]. Ñäåëàòü âûâîä î òîì,ïðèíèìàåòñÿ ëè ýòà ãèïîòåçà íà óðîâíå äîâåðèÿ 0,1; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè0,01; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,001.0,46 0,68 0,59 1,97 1,03 0,62 0,89 1,93 0,881,66 1,34 1,99 0,59 0,00 0,46 1,48 1,35 1,7417414. Îöåíèòü ïàðàìåòðû íîðìàëüíîé ðåãðåññèè Y íà X ïî äâóìåðíîéâûáîðêå.
Èçîáðàçèòü íà ÷åðòåæå òî÷êè äâóìåðíîé âûáîðêè è ïðÿìóþ ëèíåéíîé ðåãðåññèè.X 1234Y 3 −1 2 −2Âàðèàíò 21. Èç òàáëèöû ñëó÷àéíûõ ÷èñåë íàóäà÷ó âçÿòî îäíî ÷èñëî. Ñîáûòèå A âûáðàííîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 5; ñîáûòèå B äàííîå ÷èñëî îêàí÷èâàåòñÿíóëåì. ×òî îçíà÷àþò ñîáûòèÿ A \ B è AB ?2.
 êâàäðàò ñ âåðøèíàìè (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) íàóäà÷ó áðîøåíàòî÷êà. Ïóñòü (X, Y ) åå êîîðäèíàòû. Íàéòè: P(max{X + 3Y, Y } ≤ 1/2).3. Áðîñàþò 3 èãðàëüíûå êîñòè. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà íèõâûïàäåò ðàçíîå ÷èñëî î÷êîâ?4. Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ Ak , ñîåäèíåííûõ ïî ñëåäóþùåé ñõåìå:A3A1A2Âåðîÿòíîñòü âûõîäàâûõîäà èçèç ñòðîÿñòðîÿ êàæäîãîêàæäîãî ýëåìåíòàýëåìåíòà Ak ðàâíà 0,02. ÏðåäïîÂåðîÿòíîñòüëàãàåòñÿ, ÷òî ýëåìåíòû âûõîäÿò èç ñòðîÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà. Íàéòèâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî öåïü áóäåò ïðîïóñêàòü òîê.5. Îäèíàêîâûå äåòàëè ïîñòóïàþò íà ñáîðêó ñ òðåõ àâòîìàòîâ.
Ïåðâûéàâòîìàò äàåò 20 %, âòîðîé 30 %, òðåòèé 50 % âñåõ äåòàëåé, íåîáõîäèìûõäëÿ ñáîðêè. Áðàê â ïðîäóêöèè ïåðâîãî àâòîìàòà ñîñòàâëÿåò 2,5 %, âòîðîãî 2 %, òðåòüåãî 2,5 %. Íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîñòóïëåíèÿ íà ñáîðêó áðàêîâàííîé äåòàëè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îêàçàâøàÿñÿ áðàêîâàííîéäåòàëü èçãîòîâëåíà íà ïåðâîì àâòîìàòå.6. Ïî ìèøåíè îäíîâðåìåííî ñòðåëÿþò òðè ñòðåëêà, âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèé êîòîðûõ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 0,55, 0,6 è 0,65. Íàéòè ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ÷èñëà ïîïàäàíèé â ìèøåíü.Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.1757. Ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî ïðèáëèæåííî îïèñûâàåò ðàñïðåäåëåíèå äîõîäîâ ôèçè÷åñêèõ ëèö. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà{ Aïðè x ≥ θ;xαf (x) =0 ïðè x < θ.Çäåñü α > 2, θ > 0 ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ, A íîðìèðóþùàÿ êîíñòàíòà. Íàéòè êîíñòàíòó A.
Âû÷èñëèòü çíà÷åíèå ïàðàìåòðà α, ïðè êîòîðîììàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðåâîñõîäèò çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ â 3 ðàçà.8. Ïîäáðàñûâàþòñÿ òðè ñèììåòðè÷íûõ ìîíåòû. Ñîñòàâèòü òàáëèöó ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ êîëè÷åñòâ âûïàâøèõ ãåðáîâ íà òðåõ ìîíåòàõ è íàïåðâûõ äâóõ ìîíåòàõ. Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ìåæäó íèìè.9. Äâóìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y çàäàåòñÿ ôîðìóëîé f (x, y) = c, åñëè x, y ≥ 0, x + 2y ≤ 2, è 0 èíà÷å. Íàéòèêîíñòàíòó c è ρ(X, Y ).10. Âðåìÿ îæèäàíèÿ ïîåçäà ìåòðî çà îäíó ïîåçäêó èìååò ðàâíîìåðíîåðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå îò 0 äî 5 ìèíóò. Îöåíèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òîñóììàðíîå âðåìÿ îæèäàíèÿ çà 30 ïîåçäîê îêàæåòñÿ ìåíüøå 1,5 ÷àñîâ.11.
Äëÿ âûáîðêè (X1 , X2 , . . . , Xn ) èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþðàñïðåäåëåíèÿ f (x) íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðà θ > 0 ïî âòîðîìó ìîìåíòó èìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ïðîâåðèòü ñîñòîÿòåëüíîñòü ïîëó÷åííûõ îöåíîê. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà{ 2x−x2 /θïðè x > 0;θ ef (x) =0 ïðè x ≤ 0.12. Äàíà âûáîðêà èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íåèçâåñòíûìè ïàðàìåòðàìè. Íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòîíåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ èõ òî÷å÷íûå îöåíêè, çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿîöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ïîñòðîèòü íà îäíîì ãðàôèêå ãèñòîãðàììó ñ øàãîì, ðàâíûì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó (ñòàíäàðòíîìó) îòêëîíåíèþ,è ãðàôèê îöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.2,05 0,80 0,32 3,31 1,12 3,29 3,87 2,65 2,01 2,65 1,19 -0,85 4,07 1,233,38 5,17 1,51 2,20 5,41 1,22 1,89 2,02 3,17 -1,02 2,73 1,10 3,8713. Ïî êðèòåðèþ Êîëìîãîðîâà ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî âûáîðêàèìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0; 2].
Ñäåëàòü âûâîä î òîì,ïðèíèìàåòñÿ ëè ýòà ãèïîòåçà íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,1; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,01; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,001.0,24 1,25 0,87 0,54 0,48 1,20 1,79 0,62 0,75 0,550,46 1,02 1,71 1,91 0,83 0,99 1,46 1,09 0,9417614. Îöåíèòü ïàðàìåòðû íîðìàëüíîé ðåãðåññèè Y íà X ïî äâóìåðíîéâûáîðêå. Èçîáðàçèòü íà ÷åðòåæå òî÷êè äâóìåðíîé âûáîðêè è ïðÿìóþ ëèíåéíîé ðåãðåññèè.X 1357Y 3 −1 2 −2Âàðèàíò 31. Ñîáûòèå A õîòÿ áû îäíî èç èìåþùèõñÿ ÷åòûðåõ èçäåëèé áðàêîâàííîå, ñîáûòèå B áðàêîâàííûõ èçäåëèé ñðåäè íèõ íå ìåíåå äâóõ.
×òîîçíà÷àþò ïðîòèâîïîëîæíûå ñîáûòèÿ A è B ?2.  êâàäðàò ñ âåðøèíàìè (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) íàóäà÷ó áðîøåíàòî÷êà. Ïóñòü (X, Y ) åå êîîðäèíàòû. Íàéòè: P(max{2X, Y } < 1/3)?3.  ñòóäåí÷åñêîé ãðóïïå 15 þíîøåé è 10 äåâóøåê. Íà óíèâåðñèòåòñêèéïðàçäíè÷íûé áàë ãðóïïà ïîëó÷èëà òîëüêî 2 ïðèãëàñèòåëüíûõ áèëåòà, êîòîðûå ðàçûãðûâàþòñÿ ïî æðåáèþ. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà áàëïîïàäåò ðàçíîïîëàÿ ïàðà?4. Ðàáî÷èé îáñëóæèâàåò 4 ñòàíêà, ðàáîòàþùèõ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà.
Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â òå÷åíèå ÷àñà ñòàíîê íå ïîòðåáóåò âíèìàíèÿðàáî÷åãî, ðàâíà äëÿ ïåðâîãî ñòàíêà 0,6, äëÿ âòîðîãî 0,8, äëÿ òðåòüåãî 0,9, äëÿ ÷åòâåðòîãî 0,7. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî õîòÿ áû îäèí èçñòàíêîâ â òå÷åíèå ÷àñà íå ïîòðåáóåò âíèìàíèÿ ðàáî÷åãî.5. Ñòàíîê îáðàáàòûâàåò 2 âèäà äåòàëåé A è B , ïðè÷åì âðåìÿ ðàáîòûðàñïðåäåëÿåòñÿ ìåæäó íèìè â ñîîòíîøåíèè 1:4.
Ïðè îáðàáîòêå äåòàëè âèäàA îí ðàáîòàåò ñ ìàêñèìàëüíîé äëÿ íåãî íàãðóçêîé â òå÷åíèå 70 % âðåìåíè,ïðè îáðàáîòêå äåòàëè âèäà B 50 % âðåìåíè.  ñëó÷àéíûé ìîìåíò âðåìåíè ñòàíîê ðàáîòàë ñ ìàêñèìàëüíîé íàãðóçêîé. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî â ýòî âðåìÿ îí îáðàáàòûâàë äåòàëü âèäà A; âèäà B .6. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ áàñêåòáîëüíîãî ìÿ÷à â êîëüöî ïðè áðîñàíèèíà÷èíàþùèì ñïîðòñìåíîì ðàâíà 1/4. Ìÿ÷ áðîñàþò äî ïåðâîãî ïîïàäàíèÿ,íî äàþò íå áîëåå 4 ïîïûòîê. Íàéòè ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå è äèñïåðñèþ ÷èñëà ïðîìàõîâ.
Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.7. Ñêîðîñòü ïåøåõîäà íà äèñòàíöèè â 1 êì ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé íà îòðåçêå îò 2 êì/÷ äî 4 êì/÷. Íàéòèìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå âðåìåíè, çàòðà÷åí-177íîãî íà ïðåîäîëåíèå äèñòàíöèè.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ýòî âðåìÿïðåâûñèò 24 ìèíóòû.8.  ãðóïïå èç 25 ñòóäåíòîâ òîëüêî äâîå èçó÷àëè â øêîëå ìîäàëüíóþëîãèêó, è èìåííî îíè ïîëó÷èëè îöåíêó ¾5¿ íà ýêçàìåíå. Èç îñòàëüíûõñòóäåíòîâ 10 ÷åëîâåê ïîëó÷èëè îöåíêó ¾4¿, 10 ÷åëîâåê îöåíêó ¾3¿, è3 ñòóäåíòà ïîëó÷èëè ¾äâîéêè¿. Ñîñòàâèòü òàáëèöó ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îöåíêè íà ýêçàìåíå è èíäèêàòîðà èçó÷åíèÿ ìîäàëüíîé ëîãèêè äëÿâûáðàííîãî íàóäà÷ó ñòóäåíòà. Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ìåæäó íèìè.9.
Äâóìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y çàäàåòñÿ ôîðìóëîé f (x, y) = c(x2 + y), åñëè 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 è 0 èíà÷å.Íàéòè êîíñòàíòó c è ρ(X, Y ).10. ×èñëî îïå÷àòîê íà ñòðàíèöå êíèãè èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñïàðàìåòðîì 2. Íàéòè ïðåäåëû, â êîòîðûõ ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,9 ëåæèò ÷èñëîîïå÷àòîê â êíèãå èç 400 ñòðàíèö.11. Äëÿ âûáîðêè (X1 , X2 , . .
. , Xn ) èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþðàñïðåäåëåíèÿ f (x) íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðà θ > 0 ïî òðåòüåìó ìîìåíòó è ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ïðîâåðèòü ñîñòîÿòåëüíîñòüïîëó÷åííûõ îöåíîê. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà{ 3x2−x3 /θïðè x > 0;θ ef (x) =0 ïðè x ≤ 0.12. Äàíà âûáîðêà èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íåèçâåñòíûìè ïàðàìåòðàìè. Íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòîíåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ èõ òî÷å÷íûå îöåíêè, çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿîöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîñòðîèòü íà îäíîì ãðàôèêå ãèñòîãðàììó ñ øàãîì, ðàâíûì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó (ñòàíäàðòíîìó) îòêëîíåíèþ,è ãðàôèê îöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.7,61 3,33 7,35 3,05 2,54 1,91 1,77 2,92 5,95 2,31 0,27 5,12 6,60 -1,585,42 5,67 6,28 -0,09 2,74 2,45 1,11 6,97 -1,59 -1,41 2,69 4,99 7,24 1,754,7613.
Ïî êðèòåðèþ Êîëìîãîðîâà ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî âûáîðêàèìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0; 2]. Ñäåëàòü âûâîä î òîì,ïðèíèìàåòñÿ ëè ýòà ãèïîòåçà íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,1; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,01; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,001.0,49 1,42 0,61 2,00 0,59 0,58 1,18 1,58 1,01 0,570,05 0,25 0,17 1,30 0,52 0,91 0,84 1,66 1,2414. Îöåíèòü ïàðàìåòðû íîðìàëüíîé ðåãðåññèè Y íà X ïî äâóìåðíîé178âûáîðêå. Èçîáðàçèòü íà ÷åðòåæå òî÷êè äâóìåðíîé âûáîðêè è ïðÿìóþ ëèíåéíîé ðåãðåññèè.X1234Y −3 −1 2 −2Âàðèàíò 41. Ìîíåòà ïîäáðàñûâàåòñÿ òðè ðàçà ïîäðÿä. Ïîñòðîèòü ïðîñòðàíñòâîýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω. Îïèñàòü ñîáûòèå A, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî âûïàëîíå ìåíåå äâóõ ãåðáîâ.2.
 êîìïàíèè èç òðåõ ÷åëîâåê ðåøèëè ñäåëàòü äðóã äðóãó ïîäàðêè, äëÿ÷åãî êàæäûé ïðèíåñ ïîäàðîê. Âñå ïîäàðêè ñëîæèëè âìåñòå, ïåðåìåøàëèè ñëó÷àéíî ðàñïðåäåëèëè ñðåäè ó÷àñòíèêîâ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü, ÷òî õîòÿáû îäèí ïîäàðîê âåðíåòñÿ ê ñâîåìó âëàäåëüöó.3. Íà ëèíåéêå äëèíîé 20 ñì ñëó÷àéíî ñäåëàíû äâå íàñå÷êè. Êàêîâàâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðâàÿ îêàæåòñÿ äàëüøå îò íà÷àëà íå ìåíåå, ÷åì íà5 ñì ïî ñðàâíåíèþ ñî âòîðîé?4. Äåòàëè ïðîõîäÿò òðè îïåðàöèè îáðàáîòêè. Íà êàæäîé èç îïåðàöèéìîæåò âîçíèêíóòü áðàê íåçàâèñèìî îò îñòàëüíûõ îïåðàöèé ñ âåðîÿòíîñòÿìè 0,02, 0,03 è 0,035 ñîîòâåòñòâåííî. Íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîëó÷åíèÿ íåáðàêîâàííîé äåòàëè.5. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èçäåëèå óäîâëåòâîðÿåò ñòàíäàðòó, ðàâíà 0,95.Íà çàâîäå ïðèíÿòà ñèñòåìà èç òðåõ íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé, êàæäîå èç êîòîðûõ èçäåëèå, óäîâëåòâîðÿþùåå ñòàíäàðòó, ïðîõîäèò ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,8,à íåóäîâëåòâîðÿþùåå ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
