1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Îöåíèòü âåðîÿòíîñòüïîëó÷åíèÿ öåííîãî ïðèçà.11. Äëÿ âûáîðêè (X1 , X2 , . . . , Xn ) èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþðàñïðåäåëåíèÿ f (x) íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðà θ > 3 ïî ïåðâîìó ìîìåíòó èìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ïðîâåðèòü ñîñòîÿòåëüíîñòü ïîëó÷åííûõ îöåíîê. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà{(θ − 1)x−θ ïðè x > 1;f (x) =0 ïðè x ≤ 1.12. Äàíà âûáîðêà èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íåèçâåñòíûìè ïàðàìåòðàìè. Íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòîíåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ èõ òî÷å÷íûå îöåíêè, çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿîöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîñòðîèòü íà îäíîì ãðàôèêå ãèñòîãðàììó ñ øàãîì, ðàâíûì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó (ñòàíäàðòíîìó) îòêëîíåíèþ,è ãðàôèê îöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.1,87 1,26 1,58 2,11 0,01 1,35 2,05 0,76 1,65 1,61 0,12 2,03 1,07 1,103,06 0,38 0,64 1,63 0,54 2,65 0,82 1,21 0,73 1,99 2,44 0,93 0,47 0,8813.
Ïî êðèòåðèþ Êîëìîãîðîâà ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî âûáîðêàèìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0; 2]. Ñäåëàòü âûâîä î òîì,ïðèíèìàåòñÿ ëè ýòà ãèïîòåçà íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,1; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,01; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,001.0,46 0,68 0,59 1,97 1,03 0,62 0,89 1,93 0,881,66 1,34 1,99 0,59 0,00 0,46 1,48 1,35 1,7414. Îöåíèòü ïàðàìåòðû íîðìàëüíîé ðåãðåññèè Y íà X ïî äâóìåðíîéâûáîðêå. Èçîáðàçèòü íà ÷åðòåæå òî÷êè äâóìåðíîé âûáîðêè è ïðÿìóþ ëèíåéíîé ðåãðåññèè.X1234Y −3 −1 2 −4Âàðèàíò 121. Èãðàëüíàÿ êîñòü áðîñàåòñÿ n ðàç, n ≥ 6. Ïóñòü ñîáûòèå Ai îçíà÷àåò,÷òî ãðàíü i âûïàäåò õîòÿ áû ðàç, à ñîáûòèå A ÷òî ñðåäè ãðàíåé íàéäåòñÿòàêàÿ, êîòîðàÿ íå âûïàäåò íè ðàçó.
Îïèñàòü ñîáûòèå A, èñïîëüçóÿ194îïåðàöèè íàä ñîáûòèÿìè.2. Áðîñàþò 4 èãðàëüíûå êîñòè. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà íèõâûïàäóò òîëüêî ¾5¿ è ¾6¿?3. Íà îòðåçêå åäèíè÷íîé äëèíû íàóäà÷ó ïîñòàâëåíû äâå òî÷êè, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ýòîò îòðåçîê îêàçûâàåòñÿ ðàçäåëåííûì íà òðè ÷àñòè. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äëèíà ìàêñèìàëüíîé ÷àñòè èç òðåõ ïîëó÷èâøèõñÿ ÷àñòåé íå ïðåâîñõîäèò 4/5.4.
Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ Ak , ñîåäèíåííûõ ïî ñëåäóþùåé ñõåìå:A4--A3A1A2Âåðîÿòíîñòü âûõîäà èç ñòðîÿ êàæäîãî ýëåìåíòà Ak ðàâíà 0,02. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýëåìåíòû âûõîäÿò èç ñòðîÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà. Íàéòèâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî öåïü áóäåò ïðîïóñêàòü òîê.5. Îäèíàêîâûå äåòàëè ïîñòóïàþò íà ñáîðêó ñ òðåõ çàâîäîâ. Ïåðâûé çàâîä äàåò 10 %, âòîðîé 40 %, òðåòèé 50 % âñåõ äåòàëåé, íåîáõîäèìûõ äëÿñáîðêè. Áðàê â ïðîäóêöèè ïåðâîãî çàâîäà ñîñòàâëÿåò 2 %, âòîðîãî 3 %,òðåòüåãî 4 %. Íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîñòóïëåíèÿ íà ñáîðêó áðàêîâàííîéäåòàëè.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îêàçàâøàÿñÿ áðàêîâàííîé äåòàëü èçãîòîâëåíà íà ïåðâîì çàâîäå.6. Äëÿ òðåõ ñàæåíöåâ âåðîÿòíîñòè óñïåøíî âûíåñòè ïåðåñàäêó ðàâíû0,7, 0,8 è 0,85. Íàéòè ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ÷èñëà âûíåñøèõ ïåðåñàäêó ñàæåíöåâ. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ.7.
Ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî ïðèáëèæåííî îïèñûâàåò ðàñïðåäåëåíèå äîõîäîâ ôèçè÷åñêèõ ëèö. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà{ Aïðè x ≥ θ;xα+1f (x) =0 ïðè x < θ.Çäåñü α > 1, θ > 0 ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ, A íîðìèðóþùàÿ êîíñòàíòà. Íàéòè êîíñòàíòó A. Âû÷èñëèòü çíà÷åíèå ïàðàìåòðà α, ïðè êîòîðîììàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðåâîñõîäèò çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ â 10 ðàç.8. Ïîäáðàñûâàþòñÿ òðè ñèììåòðè÷íûõ ìîíåòû.
Ñîñòàâèòü òàáëèöó ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ êîëè÷åñòâ âûïàâøèõ ãåðáîâ íà ïåðâûõ äâóõ ìîíå-195òàõ è íà ïîñëåäíèõ äâóõ ìîíåòàõ. Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ìåæäóíèìè.9. Äâóìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y çàäàåòñÿ ôîðìóëîé f (x, y) = c(x + y + xy), åñëè 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 è 0 èíà÷å.Íàéòè êîíñòàíòó c è ρ(X, Y ).10. Âðåìÿ îæèäàíèÿ òðîëëåéáóñà çà îäíó ïîåçäêó èìååò ðàâíîìåðíîåðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå îò 0 äî 15 ìèíóò.
Îöåíèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òîñóììàðíîå âðåìÿ îæèäàíèÿ çà 10 ïîåçäîê îêàæåòñÿ ìåíüøå 1,5 ÷àñîâ.11. Äëÿ âûáîðêè (X1 , X2 , . . . , Xn ) èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþðàñïðåäåëåíèÿ f (x) íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðà θ > 0 ïî âòîðîìó ìîìåíòó èìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ïðîâåðèòü ñîñòîÿòåëüíîñòü ïîëó÷åííûõ îöåíîê. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà{ 2x−x2 /θ2ïðè x > 0;θ2 ef (x) =0 ïðè x ≤ 0.12. Äàíà âûáîðêà èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íåèçâåñòíûìè ïàðàìåòðàìè. Íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòîíåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ èõ òî÷å÷íûå îöåíêè, çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿîöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîñòðîèòü íà îäíîì ãðàôèêå ãèñòîãðàììó ñ øàãîì, ðàâíûì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó (ñòàíäàðòíîìó) îòêëîíåíèþ,è ãðàôèê îöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.3,50 0,80 0,32 3,31 1,12 3,29 3,87 2,65 2,01 2,65 1,19 -0,85 4,07 1,233,38 5,17 1,51 2,20 5,41 1,22 1,89 2,02 3,17 -1,02 2,73 1,10 3,8713.
Ïî êðèòåðèþ Êîëìîãîðîâà ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî âûáîðêàèìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0; 2]. Ñäåëàòü âûâîä î òîì,ïðèíèìàåòñÿ ëè ýòà ãèïîòåçà íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,1; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,01; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,001.1,42 1,25 0,87 0,54 0,48 1,20 1,79 0,62 0,75 0,550,46 1,02 1,71 1,91 0,83 0,99 1,46 1,09 0,9414.
Îöåíèòü ïàðàìåòðû íîðìàëüíîé ðåãðåññèè Y íà X ïî äâóìåðíîéâûáîðêå. Èçîáðàçèòü íà ÷åðòåæå òî÷êè äâóìåðíîé âûáîðêè è ïðÿìóþ ëèíåéíîé ðåãðåññèè.X0246Y −3 −1 2 −4196Âàðèàíò 131. Íàéòè ñëó÷àéíîå ñîáûòèå X èç ðàâåíñòâàX + A + X + A = B.2.  ñòóäåí÷åñêîé ãðóïïå 10 þíîøåé è 15 äåâóøåê. Íà óíèâåðñèòåòñêèéïðàçäíè÷íûé áàë ãðóïïà ïîëó÷èëà òîëüêî 3 ïðèãëàñèòåëüíûõ áèëåòà, êîòîðûå ðàçûãðûâàþòñÿ ïî æðåáèþ. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà áàëïîïàäóò òðè äåâóøêè?3. Íà îòðåçêå åäèíè÷íîé äëèíû íàóäà÷ó ïîñòàâëåíû äâå òî÷êè, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ýòîò îòðåçîê îêàçûâàåòñÿ ðàçäåëåííûì íà òðè ÷àñòè. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äëèíà ìèíèìàëüíîé ÷àñòè èç òðåõ ïîëó÷èâøèõñÿ ÷àñòåé íå ïðåâîñõîäèò 4/5.4. Ñèñòåìíûé àäìèíèñòðàòîð îáñëóæèâàåò 4 ñåðâåðà, ðàáîòàþùèõíåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â òå÷åíèå ðàáî÷åãî äíÿñåðâåð íå ïîòðåáóåò âíèìàíèÿ àäìèíèñòðàòîðà, ðàâíà äëÿ ïåðâîãî è âòîðîãî ñåðâåðà 0,8, äëÿ òðåòüåãî è ÷åòâåðòîãî 0,10.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî,÷òî õîòÿ áû îäèí èç ñåðâåðîâ íå ïîòðåáóåò âíèìàíèÿ àäìèíèñòðàòîðà.5. Ôèðìà ðàñïðîñòðàíÿåò 2 âèäà ðåêëàìíûõ ëèñòîâîê A è B , ïðè÷åìêîëè÷åñòâà ëèñòîâîê äâóõ âèäîâ íàõîäÿòñÿ â ñîîòíîøåíèè 2:3. Íà ëèñòîâêóâèäà A ïîëîæèòåëüíî ðåàãèðóþò 20 % ïîëó÷àòåëåé, íà ëèñòîâêó âèäà B 10 % ïîëó÷àòåëåé.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîëîæèòåëüíîé ðåàêöèè ïîëó÷àòåëÿëèñòîâêè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîëó÷åíà ëèñòîâêà âèäà A, åñëèèçâåñòíî, ÷òî ðåàêöèÿ áûëà ïîëîæèòåëüíîé.6. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ áàñêåòáîëüíîãî ìÿ÷à â êîëüöî ïðè áðîñàíèèíà÷èíàþùèì ñïîðòñìåíîì ðàâíà 1/5. Ìÿ÷ áðîñàþò äî ïåðâîãî ïîïàäàíèÿ,íî äàþò íå áîëåå 5 ïîïûòîê.
Íàéòè ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå è äèñïåðñèþ ÷èñëà ïðîìàõîâ. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.7. Ñêîðîñòü àâòîìîáèëÿ íà äèñòàíöèè â 100 êì ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé íà îòðåçêå îò 40 êì/÷ äî 80 êì/÷.Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå âðåìåíè, çàòðà÷åííîãî íà ïðåîäîëåíèå äèñòàíöèè.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ýòîâðåìÿ ïðåâûñèò 2 ÷àñà.8.  ãðóïïå èç 20 ñòóäåíòîâ òîëüêî äâîå ïðîïóñòèëè áîëåå ïîëîâèíûçàíÿòèé, è èìåííî îíè ïîëó÷èëè îöåíêó ¾2¿ íà ýêçàìåíå. Èç îñòàëüíûõñòóäåíòîâ 5 ÷åëîâåê ïîëó÷èëè îöåíêó ¾5¿, 10 ÷åëîâåê îöåíêó ¾4¿, è 3197ñòóäåíòà ïîëó÷èëè ¾òðîéêè¿. Ñîñòàâèòü òàáëèöó ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îöåíêè íà ýêçàìåíå è èíäèêàòîðà ïðîïóñêà áîëåå ïîëîâèíû çàíÿòèéäëÿ âûáðàííîãî íàóäà÷ó ñòóäåíòà. Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè.9.
Äâóìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y èìååòâèä: f (x, y) = c, åñëè x2 + y 2 ≤ 1, è 0 èíà÷å. Íàéòè êîíñòàíòó c è ρ(X, Y ).10. ×èñëî ñåðèàëîâ, ïðîñìàòðèâàåìûõ çà äåíü âûáðàííûì íàóäà÷ó ñòóäåíòîì, èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì 0,5. Íàéòè ïðåäåëû,â êîòîðûõ ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,8 ëåæèò ÷èñëî ïðîñìîòðîâ ñåðèàëîâ çà äåíüñòóäåíòàìè ãðóïïû èç 20 ÷åëîâåê.11. Äëÿ âûáîðêè (X1 , X2 , . . . , Xn ) èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþðàñïðåäåëåíèÿ f (x) íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðà θ > 0 ïî òðåòüåìó ìîìåíòó è ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ïðîâåðèòü ñîñòîÿòåëüíîñòüïîëó÷åííûõ îöåíîê. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà{ 3x2−x3 /θ2ïðè x > 0;θ2 ef (x) =0 ïðè x ≤ 0.12. Äàíà âûáîðêà èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íåèçâåñòíûìè ïàðàìåòðàìè. Íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòîíåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ èõ òî÷å÷íûå îöåíêè, çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿîöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîñòðîèòü íà îäíîì ãðàôèêå ãèñòîãðàììó ñ øàãîì, ðàâíûì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó (ñòàíäàðòíîìó) îòêëîíåíèþ,è ãðàôèê îöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.8,16 3,33 7,35 3,05 2,54 1,91 1,77 2,92 5,95 2,31 0,27 5,12 6,60 -1,585,42 5,67 6,28 -0,09 2,74 2,45 1,11 6,97 -1,59 -1,41 2,69 4,99 7,24 1,754,7613. Ïî êðèòåðèþ Êîëìîãîðîâà ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî âûáîðêàèìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0; 2]. Ñäåëàòü âûâîä î òîì,ïðèíèìàåòñÿ ëè ýòà ãèïîòåçà íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,1; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,01; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,001.1,94 1,42 0,61 2,00 0,59 0,58 1,18 1,58 1,01 0,570,05 0,25 0,17 1,30 0,52 0,91 0,84 1,66 1,2414.
Îöåíèòü ïàðàìåòðû íîðìàëüíîé ðåãðåññèè Y íà X ïî äâóìåðíîéâûáîðêå. Èçîáðàçèòü íà ÷åðòåæå òî÷êè äâóìåðíîé âûáîðêè è ïðÿìóþ ëèíåéíîé ðåãðåññèè.X1234Y −3 −1 −2 −4198Âàðèàíò 141. Ïóñòü A, B è C ñîáûòèÿ. Êàêîâ ñìûñë ðàâåíñòâ: ABC = A èA ∪ B ∪ C = A? Ïðèâåñòè ïðèìåðû.2. Ñëó÷àéíî âûáðàííàÿ êîñòü äîìèíî îêàçàëàñü íå äóáëåì.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âòîðóþ òàêæå âçÿòóþ íàóäà÷ó êîñòü ìîæíî ïðèñòàâèòüê ïåðâîé.3. Âñòðå÷íûå ïîåçäà ïðèõîäÿò íà ñòàíöèþ â ñëó÷àéíûå ìîìåíòû âðåìåíè â òå÷åíèå ñóòîê. Îäèí ïîåçä ñòîèò íà ñòàíöèè 30 ìèíóò, äðóãîé 40ìèíóò. Íàéòè âåðîÿòíîñòü âñòðå÷è ïîåçäîâ íà ñòàíöèè.4. Ïðåäíàçíà÷åííûé ê ïå÷àòè òåêñò ïðîâåðÿåòñÿ ñíà÷àëà àâòîðîì, çàòåì êîððåêòîðîì. Àâòîð íàõîäèò â ñðåäíåì 80 % äîïóùåííûõ â òåêñòå îïå÷àòîê, êîððåêòîð 90 %. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî áóäóò èñïðàâëåíûâñå 4 ñîäåðæàùèåñÿ â ïåðâîíà÷àëüíîì òåêñòå îïå÷àòêè.5. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èçäåëèå óäîâëåòâîðÿåò ñòàíäàðòó, ðàâíà 0,8.Íà çàâîäå ïðèíÿòà ñèñòåìà èç òðåõ íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé, êàæäîå èç êîòîðûõ èçäåëèå, óäîâëåòâîðÿþùåå ñòàíäàðòó, ïðîõîäèò ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,9,à íåóäîâëåòâîðÿþùåå ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,3. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òîíàóäà÷ó âçÿòîå èçäåëèå âûäåðæèò èñïûòàíèÿ? Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî,÷òî èçäåëèå, âûäåðæàâøåå èñïûòàíèÿ, óäîâëåòâîðÿåò ñòàíäàðòó?6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
