1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Íàéòè âåðîÿòíîñòü èñêàæåíèÿ ñèãíàëà. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî ïåðåäàâàëè ¾òèðå¿, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïðèíÿëè ¾òî÷êó¿.6. Äâà èãðîêà èãðàþò â øàõìàòû íà äåíüãè. Èçâåñòíî, ÷òî â ñðåäíåìèç 4 ïàðòèé îäíó âûèãðûâàåò ïåðâûé èãðîê, îäíà çàêàí÷èâàåòñÿ âíè÷üþ,è äâå âûèãðûâàåò âòîðîé èãðîê.
 ñëó÷àå ïðîèãðûøà ïåðâûé èãðîê ïëàòèò âòîðîìó 5 ðóáëåé. Ñêîëüêî îí äîëæåí ïîëó÷àòü â ñëó÷àå âûèãðûøà,÷òîáû ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå åãî âûèãðûøà ðàâíÿëîñü íóëþ? Íàéòèðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ è äèñïåðñèþ ñóììû âûèãðûøà (îòðèöàòåëüíàÿ ñóììàâûèãðûøà ýòî ñóììà ïðîèãðûøà, âçÿòàÿ ñî çíàêîì ¾ìèíóñ¿).
Ïîñòðîèòüãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.7. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ{22A√e−(x−a) /(2σ ) ïðè x ∈ [a; ∞);σ 2πf (x) =0 ïðèx < aÍàéòè íîðìèðóþùóþ êîíñòàíòó A, âû÷èñëèòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå.Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè a = σ = 1.8.  ïîäúåçäå 15 îäíîêîìíàòíûõ êâàðòèð ïëîùàäüþ ïî 50 êâ. ì., 10äâóõêîìíàòíûõ êâàðòèð ïî 70 êâ. ì. è 5 òðåõêîìíàòíûõ êâàðòèð ïî 80189êâ. ì. Äëÿ âûáðàííîé íàóäà÷ó êâàðòèðû íàéòè ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå÷èñëà êîìíàò è ïëîùàäè.
Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ìåæäó íèìè.9. Äâóìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y çàäàåòñÿ ôîðìóëîé f (x, y) = c(x + y), åñëè 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, è 0 èíà÷å.Íàéòè êîíñòàíòó c è ρ(X, Y ).10. Ñóììàðíîå âðåìÿ ðàáîòû ìàøèíû ñêëàäûâàåòñÿ èç 10 000 èíòåðâàëîâ âðåìåíè, êàæäûé èç êîòîðûõ èçìåðÿåòñÿ ñî ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåìâ 1 ìèíóòó. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ôàêòè÷åñêîå âðåìÿ ðàáîòû îòëè÷àåòñÿ îò èçìåðåííîãî áîëüøå, ÷åì íà 1 ÷àñ.11.
Äëÿ âûáîðêè (X1 , X2 , . . . , Xn ) èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþðàñïðåäåëåíèÿ f (x) íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðà θ > 0 ïî ïåðâîìó ìîìåíòó èìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ïðîâåðèòü ñîñòîÿòåëüíîñòü ïîëó÷åííûõ îöåíîê. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà{ x −x/θïðè x > 0;θ2 ef (x) =0 ïðè x ≤ 0.12.
Äàíà âûáîðêà èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íåèçâåñòíûìè ïàðàìåòðàìè. Íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòîíåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ èõ òî÷å÷íûå îöåíêè, çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿîöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîñòðîèòü íà îäíîì ãðàôèêå ãèñòîãðàììó ñ øàãîì, ðàâíûì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó (ñòàíäàðòíîìó) îòêëîíåíèþ,è ãðàôèê îöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.22,59 -2,61 11,87 1,37 5,92 -5,10 5,38 14,71 7,55 3,91 1,23 8,50 -5,58-1,97 17,93 9,42 11,99 9,39 4,78 5,43 9,40 8,68 2,20 7,15 14,78 14,77-15,1613. Ïî êðèòåðèþ Êîëìîãîðîâà ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî âûáîðêàèìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0; 2]. Ñäåëàòü âûâîä î òîì,ïðèíèìàåòñÿ ëè ýòà ãèïîòåçà íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,1; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,01; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,001.1,49 1,96 0,64 0,76 0,01 0,82 0,23 0,82 1,961,28 1,49 1,07 1,92 0,17 1,68 1,01 0,4814.
Îöåíèòü ïàðàìåòðû íîðìàëüíîé ðåãðåññèè Y íà X ïî äâóìåðíîéâûáîðêå. Èçîáðàçèòü íà ÷åðòåæå òî÷êè äâóìåðíîé âûáîðêè è ïðÿìóþ ëèíåéíîé ðåãðåññèè.X 0123Y 3 −3 2 −2190Âàðèàíò 101. Áðîøåíû äâå èãðàëüíûå êîñòè. Ïóñòü ñîáûòèå A ñîñòîèò â òîì, ÷òîâûïàâøàÿ ñóììà î÷êîâ íå÷åòíà, à ñîáûòèå B â òîì, ÷òî õîòÿ áû íà îäíîéèç êîñòåé âûïàëà òðîéêà.
Îïèñàòü ñîáûòèÿ AB è AB .2. Èç ïîëíîãî íàáîðà êîñòåé äîìèíî íàóäà÷ó áåðóòñÿ ïÿòü êîñòåé. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè íèõ áóäåò õîòÿ áû îäíà ñ øåñòåðêîé.3. Íà ëèíåéêå íàóäà÷ó ïîñòàâëåíû 2 òî÷êè. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî,÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè îêàæåòñÿ áîëüøå ïîëîâèíû äëèíû ëèíåéêè?4. Äâà ñòðåëêà ïîî÷åðåäíî ñòðåëÿþò ïî îäíîé è òîé æå ìèøåíè. Óêàæäîãî ñòðåëêà 2 ïàòðîíà. Ïðè ïåðâîì ïîïàäàíèè ñòðåëüáà ïðåêðàùàåòñÿ. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ìèøåíü ïðè îäíîì âûñòðåëå äëÿ ïåðâîãîñòðåëêà 0,3, äëÿ âòîðîãî 0,4.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îáà ñòðåëêàèçðàñõîäóþò âåñü ñâîé áîåçàïàñ.5. Ïåðâîå îðóäèå 2-îðóäèéíîé áàòàðåè ïðèñòðåëÿíî òàê, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äëÿ íåãî ðàâíà 3/11. Äëÿ âòîðîãî îðóäèÿ îíà ðàâíà 1/5.Áàòàðåÿ äàëà çàëï ïî öåëè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî öåëü ïîðàæåíà.Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðâîå îðóäèå ïîïàëî â öåëü, åñëè èçâåñòíî,÷òî öåëü áûëà ïîðàæåíà. Äëÿ ïîðàæåíèÿ öåëè äîñòàòî÷íî îäíîãî ïîïàäàíèÿ.6. Âåðîÿòíîñòü ïðèåìà îòäåëüíîãî ñèãíàëà ðàâíà 0,15.
Ðàäèîñèãíàë ïåðåäàåòñÿ 4 ðàçà. Íàéòè ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå èäèñïåðñèþ ÷èñëà ïðèíÿòûõ ñèãíàëîâ. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðèíÿòûõ ñèãíàëîâ áóäåò íå ìåíüøå2, íî íå áîëüøå 3.7. Ðàäèóñ êðóãà ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé íà îòðåçêå [0;1]. Íàéòè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ïëîùàäè êðóãà.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïëîùàäü ïðåâîñõîäèò π/16. Íà÷åðòèòü ãðàôèêèïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.8.  îòäåëå ðàáîòàåò îäèí ñîòðóäíèê ñ äâóìÿ âûñøèìè îáðàçîâàíèÿìè,àâòîð 6 èçîáðåòåíèé, ÷åòûðå ñîòðóäíèêà ñ âûñøèì îáðàçîâàíèåì, êàæäûéèç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ àâòîðîì îäíîãî èçîáðåòåíèÿ, è ÷åòûðå ñîòðóäíèêà áåçâûñøåãî îáðàçîâàíè, íà ñ÷åòó êîòîðûõ èçîáðåòåíèé íåò. Äëÿ âûáðàííîãîíàóäà÷ó ñîòðóäíèêà íàéòè ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå êîëè÷åñòâà èçîáðåòåíèé è âûñøèõ îáðàçîâàíèé. Âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ìåæäóíèìè.9. Äâóìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y çàäà-191åòñÿ ôîðìóëîé f (x, y) = c(x + y), åñëè x, y ≥ 0, x + y ≤ 1, è 0 èíà÷å.
Íàéòèêîíñòàíòó c è ρ(X, Y ).10. Âðåìÿ îæèäàíèÿ àâòîáóñà ïàññàæèðîì èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì 10 ìèíóò. Íàéòè ïðåäåëû, â êîòîðûõ ñâåðîÿòíîñòüþ 0,8 ëåæèò ñóììàðíîå âðåìÿ, çàòðà÷åííîå íà îæèäàíèå àâòîáóñà çà 48 ïîåçäîê.11. Äëÿ âûáîðêè (X1 , X2 , . . . , Xn ) èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþðàñïðåäåëåíèÿ f (x) íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðà θ > 0 ïî ïåðâîìó ìîìåíòó èìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ïðîâåðèòü ñîñòîÿòåëüíîñòü ïîëó÷åííûõ îöåíîê. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà{ x2−x/θïðè x > 0;2θ3 ef (x) =0 ïðè x ≤ 0.12. Äàíà âûáîðêà èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íåèçâåñòíûìè ïàðàìåòðàìè.
Íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòîíåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ èõ òî÷å÷íûå îöåíêè, çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿîöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîñòðîèòü íà îäíîì ãðàôèêå ãèñòîãðàììó ñ øàãîì, ðàâíûì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó (ñòàíäàðòíîìó) îòêëîíåíèþ,è ãðàôèê îöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.9,36 19,48 3,89 4,45 15,11 15,90 24,94 1,72 3,25 -3,77 12,17 10,08 14,369,39 1,27 7,89 8,68 1,59 10,57 3,21 -6,11 15,61 10,82 1,68 5,63 6,7920,27 -2,1513. Ïî êðèòåðèþ Êîëìîãîðîâà ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî âûáîðêàèìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0; 2]. Ñäåëàòü âûâîä î òîì,ïðèíèìàåòñÿ ëè ýòà ãèïîòåçà íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,1; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,01; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,001.0,46 1,43 0,40 1,23 1,40 0,76 1,09 1,65 1,321,24 1,39 0,81 0,39 0,76 1,14 1,24 1,69 1,5814.
Îöåíèòü ïàðàìåòðû íîðìàëüíîé ðåãðåññèè Y íà X ïî äâóìåðíîéâûáîðêå. Èçîáðàçèòü íà ÷åðòåæå òî÷êè äâóìåðíîé âûáîðêè è ïðÿìóþ ëèíåéíîé ðåãðåññèè.X −1012Y −3 −1 2 −5192Âàðèàíò 111. Ñîáûòèÿ: A õîòÿ áû îäèí èç òðåõ ïðîâåðÿåìûõ ïðèáîðîâ áðàêîâàííûé, B âñå ïðèáîðû äîáðîêà÷åñòâåííûå. ×òî îçíà÷àþò ñîáûòèÿ: A ∪ Bè AB ?2.  ÿùèêå ëåæàò 3 ÷åðíûõ è 3 áåëûõ øàðà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî,÷òî ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñëó÷àéíîì èçâëå÷åíèè øàðîâ èç ÿùèêà ñíà÷àëàâûíóò âñå áåëûå øàðû.3. Íà îòðåçêå åäèíè÷íîé äëèíû íàóäà÷ó ïîñòàâëåíû äâå òî÷êè, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ýòîò îòðåçîê îêàçûâàåòñÿ ðàçäåëåííûì íà òðè ÷àñòè.
Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äëèíà êàæäîé èç òðåõ ïîëó÷èâøèõñÿ ÷àñòåéíå ìåíüøå 2/3.4. Âåðîÿòíîñòü èçãîòîâëåíèÿ íåêà÷åñòâåííîé äåòàëè ðàâíà 0,2. Íàéòèâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç 4 äåòàëåé íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäíà êà÷åñòâåííàÿ.5. Çàïðîñ àáîíåíòà àâòîìàòè÷åñêè ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè íàïðàâëÿåòñÿ íà îäèí èç äâóõ ñåðâåðîâ. Âåðîÿòíîñòü âîçíèêîíîâåíèÿ ñáîÿ â ðàáîòåïåðâîãî ñåðâåðà ðàâíà 0,1, âòîðîãî 0,01.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òîçàïðîñ áóäåò îáñëóæåí áåç ñáîÿ? Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî àáîíåíò îáñëóæèâàëñÿ íà ïåðâîì ñåðâåðå, åñëè èçâåñòíî, ÷òî îí áûë îáñëóæåí áåçñáîÿ?6. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ìèøåíü ðàâíà 0,8 ïðè êàæäîì âûñòðåëå.Ñòðåëüáà âåäåòñÿ îäèíî÷íûìè âûñòðåëàìè äî ïåðâîãî ïîïàäàíèÿ, ïîêà íåáóäåò èçðàñõîäîâàí áîåçàïàñ. Íàéòè ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå è äèñïåðñèþ ÷èñëà ïðîèçâåäåííûõ âûñòðåëîâ, åñëè áîåçàïàñ ñîñòàâëÿåò 4 åäèíèöû. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.7.
Òî÷êó áðîñàþò íàóäà÷ó â øàð ðàäèóñà R. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî öåíòðà øàðà. Íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ,ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ξ ïðèìåò çíà÷åíèå, áîëüøåå ïîëîâèíû ðàäèóñà øàðà. Íà÷åðòèòü ãðàôèêè ïëîòíîñòèðàñïðåäåëåíèÿ è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.8. Ñîñòàâèòü òàáëèöó ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà âûïàâøèõ äâîåê è ÷èñëà âûïàâøèõ ÷åòíûõ ÷èñåë ïðè îäíîì ïîäáðàñûâàíèè èãðàëüíîéêîñòè.
Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ìåæäó íèìè.9. Äâóìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y çàäàåòñÿ ôîðìóëîé f (x, y) = c(x + y), åñëè x, y ≥ 0, x + y ≤ 1, è 0 èíà÷å. Íàéòèêîíñòàíòó c è ρ(X, Y ).19310. Ó÷àñòíèê ëîòåðåè áðîñàåò èãðàëüíóþ êîñòü 20 ðàç. Ó÷àñòíèê ïîëó÷àåò öåííûé ïðèç, åñëè ñóììà î÷êîâ áîëüøå 90.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
