1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòîíåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ èõ òî÷å÷íûå îöåíêè, çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿîöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîñòðîèòü íà îäíîì ãðàôèêå ãèñòîãðàììó ñ øàãîì, ðàâíûì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó (ñòàíäàðòíîìó) îòêëîíåíèþ,è ãðàôèê îöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.5,16 6,70 2,88 9,09 -2,06 6,25 6,46 4,25 16,16 7,07 1,35 13,58 7,96 14,64-2,14 10,81 2,50 2,24 -1,04 5,31 11,93 16,20 7,49 -5,21 5,90 5,63 7,2613.
Ïî êðèòåðèþ Êîëìîãîðîâà ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî âûáîðêàèìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0; 2]. Ñäåëàòü âûâîä î òîì,ïðèíèìàåòñÿ ëè ýòà ãèïîòåçà íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,1; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,01; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,001.0,46 0,79 0,64 1,06 0,42 0,69 1,65 0,45 0,431,48 0,44 0,97 1,49 0,46 1,29 0,37 0,4514. Îöåíèòü ïàðàìåòðû íîðìàëüíîé ðåãðåññèè Y íà X ïî äâóìåðíîéâûáîðêå. Èçîáðàçèòü íà ÷åðòåæå òî÷êè äâóìåðíîé âûáîðêè è ïðÿìóþ ëèíåéíîé ðåãðåññèè.X 1234Y 6 −1 2 −8184Âàðèàíò 71. Ðàáî÷èé èçãîòîâèë òðè äåòàëè. Ïóñòü ñîáûòèå Ai ñîñòîèò â òîì, ÷òîi-àÿ èçãîòîâëåííàÿ èì äåòàëü èìååò äåôåêò.
Çàïèñàòü ñîáûòèå, çàêëþ÷àþùååñÿ â òîì, ÷òî ðîâíî îäíà äåòàëü èìååò äåôåêò.2. Îäèí øêîëüíèê, æåëàÿ ïîäøóòèòü íàä ñâîèìè òîâàðèùàìè, ñîáðàëâ ãàðäåðîáå âñå ïàëüòî, à ïîòîì ðàçâåñèë èõ â ñëó÷àéíîì ïîðÿäêå. Êàêîâàâåðîÿòíîñòü, ÷òî êàæäîå ïàëüòî ñíîâà ïîïàëî íà ïðåæíåå ìåñòî, åñëè âãàðäåðîáå øåñòü êðþ÷êîâ è íà íèõ âèñåëî øåñòü ïàëüòî.3.
Íà îòðåçêå AB íàóäà÷ó âûáèðàþòñÿ äâå òî÷êè M è N . Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òî÷êà M îêàæåòñÿ áëèæå ê òî÷êå N , ÷åì ê òî÷êå A?4. Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ Ak , ñîåäèíåííûõ ïî ñëåäóþùåéäóþùåé ñõåìå:ñõåìå:A3-A2-A1Âåðîÿòíîñòü âûõîäàâûõîäà èçèç ñòðîÿñòðîÿ ýëåìåíòàýëåìåíòà A ðàâíà 0,1, îñòàëüíûõ ýëåìåíÂåðîÿòíîñòü1òîâ Ak ïî 0,04.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýëåìåíòû âûõîäÿò èç ñòðîÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî öåïü áóäåò ïðîïóñêàòüòîê.5. Ïðèáîð ñîñòîèò èç äâóõ íåçàâèñèìî ðàáîòàþùèõ áëîêîâ, âåðîÿòíîñòèîòêàçà êîòîðûõ çà ñìåíó ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 0,05 è 0,08. Âåðîÿòíîñòüâûõîäà èç ñòðîÿ ïðèáîðà ïðè îòêàçå îäíîãî èç áëîêîâ ðàâíà 0,8; ïðè îòêàçåîáîèõ áëîêîâ 1. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü âûõîäà ïðèáîðà èç ñòðîÿ çàñìåíó. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îòêàçàëè îáà áëîêà, åñëè èçâåñòíî, ÷òîïðèáîð âûøåë èç ñòðîÿ.6. Ïðè èãðå ñ àâòîìàòîì â ñëó÷àå âûèãðûøà èãðîê ïîëó÷àåò 10 ðóáëåé.Âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà ñîñòàâëÿåò 0,3. Íàéòè ñóììó x ðóáëåé, êîòîðóþ èãðîê áðîñàåò â àâòîìàò è òåðÿåò â ñëó÷àå ïðîèãðûøà, åñëè ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå âûèãðûøà ðàâíî ìèíóñ 2 ðóáëÿì. ( ñëó÷àå ïðîèãðûøà ñóììàâûèãðûøà ñ÷èòàåòñÿ îòðèöàòåëüíûì ÷èñëîì, ðàâíûì ñóììå ïðîèãðûøà,âçÿòîé ñî çíàêîì ¾ìèíóñ¿.) Íàéòè ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ è äèñïåðñèþ ñóììûâûèãðûøà.
Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.7. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ èìååòâèä f (x) = Ae−2|x| (ðàñïðåäåëåíèå Ëàïëàñà). Íàéòè êîýôôèöèåíò A, âû÷èñëèòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèìåò çíà÷åíèå, áîëüøåå 1.1858.  òðåõ èç ÷åòûðåõ àóäèòîðèé ïî 20 ñòóäåíòîâ è óðîâåíü øóìà 80äåöèáåëë, à â ÷åòâåðòîé àóäèòîðèè íåò ñòóäåíòîâ è óðîâåíü øóìà 20 äåöèáåëë. Íàéòè ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà ñòóäåíòîâ è óðîâíÿ øóìàâ âûáðàííîé íàóäà÷ó àóäèòîðèè.
Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ìåæäó÷èñëîì ñòóäåíòîâ è óðîâíåì øóìà.9. Äâóìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y çàäàåòñÿ ôîðìóëîé f (x, y) = c(x + y), åñëè 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, è 0 èíà÷å.Íàéòè êîíñòàíòó c è ρ(X, Y ).10. Êîëè÷åñòâî 10-êîïåå÷íûõ ìîíåò, íåîáõîäèìîå äëÿ âûäà÷è êàæäîéñäà÷è â êàññå, ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ îò 0 äî 4 ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè.Íàéòè, ñêîëüêî äîëæíî áûòü 10-êîïåå÷íûõ ìîíåò â êàññå, ÷òîáû ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,9 èõ õâàòèëî íà 2500 âûäà÷ ñäà÷è.11.
Äëÿ âûáîðêè (X1 , X2 , . . . , Xn ) èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþðàñïðåäåëåíèÿ f (x) íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðà 0 < θ < 1 ïî ïåðâîìó ìîìåíòó è ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ïðîâåðèòü ñîñòîÿòåëüíîñòüïîëó÷åííûõ îöåíîê. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà{ 1 −(θ+1)/θïðè x > 1;θxf (x) =0 ïðè x ≤ 1.12. Äàíà âûáîðêà èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íåèçâåñòíûìè ïàðàìåòðàìè. Íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòîíåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ èõ òî÷å÷íûå îöåíêè, çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿîöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ïîñòðîèòü íà îäíîì ãðàôèêå ãèñòîãðàììó ñ øàãîì, ðàâíûì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó (ñòàíäàðòíîìó) îòêëîíåíèþ,è ãðàôèê îöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.1,29 12,70 10,80 -10,19 4,32 12,02 13,68 3,75 -0,90 2,94 15,07 2,08 16,2213,42 1,55 -6,05 15,70 12,35 13,94 -0,56 24,10 7,45 3,60 -0,24 16,84 6,13-5,28 3,00 10,0413. Ïî êðèòåðèþ Êîëìîãîðîâà ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî âûáîðêàèìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0; 2]. Ñäåëàòü âûâîä î òîì,ïðèíèìàåòñÿ ëè ýòà ãèïîòåçà íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,1; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,01; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,001.0,28 1,13 1,78 0,65 0,55 1,02 0,88 0,76 0,571,71 0,62 1,69 0,15 0,23 1,99 1,53 1,91 1,5714.
Îöåíèòü ïàðàìåòðû íîðìàëüíîé ðåãðåññèè Y íà X ïî äâóìåðíîéâûáîðêå. Èçîáðàçèòü íà ÷åðòåæå òî÷êè äâóìåðíîé âûáîðêè è ïðÿìóþ ëèíåéíîé ðåãðåññèè.X 12345Y 3 −1 2 −2 −4186Âàðèàíò 81. Íàóäà÷ó áðîøåíû òðè ìîíåòû. Îïèñàòü ñîáûòèÿ: A õîòÿ áû íàîäíîé âûïàëà ðåøêà, B õîòÿ áû íà äâóõ âûïàë îðåë, à òàêæå ñîáûòèåAB .2. Íîìåð ëîòåðåéíîãî áèëåòà ñîñòîèò èç 3 öèôð.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî âñå öèôðû âçÿòîãî íàóäà÷ó áèëåòà îêàæóòñÿ ðàçëè÷íûìè?3. Íà îòðåçêå åäèíè÷íîé äëèíû íàóäà÷ó ïîñòàâëåíû äâå òî÷êè, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ýòîò îòðåçîê îêàçûâàåòñÿ ðàçäåëåííûì íà òðè ÷àñòè. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äëèíà õîòÿ áû îäíîé èç ïåðâûõ äâóõ ïîëó÷èâøèõñÿ ÷àñòåé íå ïðåâîñõîäèò 2/3.4. Ïî ìèøåíè ïî îäíîìó ðàçó ñòðåëÿþò 3 ñòðåëêà. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äëÿ ïåðâîãî ðàâíà 0,5, äëÿ âòîðîãî 0,6, äëÿ òðåòüåãî 0,7. Íàéòèâåðîÿòíîñòü ðîâíî äâóõ ïîïàäàíèé.5.  ñåìè óðíàõ ñîäåðæèòñÿ ïî 2 áåëûõ è 2 ÷åðíûõ øàðà, à â òðåõ óðíàõïî 7 áåëûõ è 3 ÷åðíûõ øàðà. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî èç óðíû, âçÿòîéíàóäà÷ó, áóäåò èçâëå÷åí áåëûé øàð? Íàéòè âåðîÿòíîñòü, ÷òî øàð èçâëå÷åíèç óðíû ñ 7 áåëûìè è 3 ÷åðíûìè øàðàìè, åñëè îí îêàçàëñÿ áåëûì.6. Ïðèáîð ñîñòîèò èç òðåõ ìàëîíàäåæíûõ ýëåìåíòîâ.
Îòêàçû ýëåìåíòîâçà íåêîòîðûé ïåðèîä âðåìåíè íåçàâèñèìû, à èõ âåðîÿòíîñòè ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 0,1; 0,2; 0,3. Íàéòè ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ÷èñëà îòêàçàâøèõ ýëåìåíòîâ. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ.7. Òî÷êà M äâèæåòñÿ ïî îñè Ox ïî çàêîíó x = at2 .  ñëó÷àéíûé ìîìåíò âðåìåíè, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûé íà îòðåçêå [0; 1], íàáëþäàåòñÿïîëîæåíèå ξ òî÷êè M . Íàéòè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå è ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ.8.
×åòûðå ïîåçäà ìåòðî, óõîäÿùèå ñ èíòåðâàëîì â 4 ìèíóòû, óâåçëè ïî200 ïàññàæèðîâ. ×åòûðå ïîåçäà, óõîäÿùèå ñ èíòåðâàëîì â 6 ìèíóò, óâåçëèïî 100 ïàññàæèðîâ. Äâà ïîåçäà, óõîäÿùèå ñ èíòåðâàëîì â 8 ìèíóò, óâåçëèïî 50 ïàññàæèðîâ. Íàéòè ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà ïàññàæèðîâ èèíòåðâàëà äâèæåíèÿ äëÿ âûáðàííîãî íàóäà÷ó ïîåçäà.
Íàéòè êîýôôèöèåíòêîððåëÿöèè.9. Äâóìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y èìååòâèä: f (x, y) = c, åñëè x, y ≥ 0, x + 2y ≤ 3, è 0 èíà÷å. Íàéòè êîíñòàíòó c èρ(X, Y ).10. Êîëè÷åñòâî áðàêîâàííûõ èçäåëèé â êîðîáêå èìååò ðàñïðåäåëåíèåÏóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì 3. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â 25 êîðîáêàõ ìåíåå187100 áðàêîâàííûõ èçäåëèé.11.
Äëÿ âûáîðêè (X1 , X2 , . . . , Xn ) èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþðàñïðåäåëåíèÿ f (x) íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðà θ > 3 ïî âòîðîìó ìîìåíòó èìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ïðîâåðèòü ñîñòîÿòåëüíîñòü ïîëó÷åííûõ îöåíîê. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà{(θ − 1)x−θ ïðè x > 1;f (x) =0 ïðè x ≤ 1.12. Äàíà âûáîðêà èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íåèçâåñòíûìè ïàðàìåòðàìè. Íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòîíåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ èõ òî÷å÷íûå îöåíêè, çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿîöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîñòðîèòü íà îäíîì ãðàôèêå ãèñòîãðàììó ñ øàãîì, ðàâíûì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó (ñòàíäàðòíîìó) îòêëîíåíèþ,è ãðàôèê îöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.14,92 7,48 2,82 22,84 7,49 8,98 13,84 14,17 7,07 9,69 -8,35 12,77 14,935,81 8,62 11,22 3,85 2,86 9,52 15,93 9,43 19,48 19,19 12,20 19,40 12,098,47 6,7913. Ïî êðèòåðèþ Êîëìîãîðîâà ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî âûáîðêàèìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0; 2].
Ñäåëàòü âûâîä î òîì,ïðèíèìàåòñÿ ëè ýòà ãèïîòåçà íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,1; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,01; íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,001.1,91 0,91 0,30 1,34 0,61 1,12 1,00 0,53 1,58 0,620,41 0,89 1,20 1,51 0,78 1,44 0,46 0,69 1,3314. Îöåíèòü ïàðàìåòðû íîðìàëüíîé ðåãðåññèè Y íà X ïî äâóìåðíîéâûáîðêå. Èçîáðàçèòü íà ÷åðòåæå òî÷êè äâóìåðíîé âûáîðêè è ïðÿìóþ ëèíåéíîé ðåãðåññèè.X 2345Y 3 −1 2 −2Âàðèàíò 91. Èç êîëîäû êàðò â 52 ëèñòà íàóäà÷ó âûíèìàþòñÿ òðè êàðòû (áåç âîçâðàùåíèÿ). Îïèñàòü ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, à òàêæå ñîáûòèå,ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ñðåäè ýòèõ òðåõ êàðò îêàæåòñÿ ðîâíî îäèí òóç.1882.  áðèãàäå 3 ðàáî÷èõ. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïî êðàéíåé ìåðåäâîå èç íèõ ðîäèëèñü â îäèí è òîò æå äåíü íåäåëè? Ñ÷èòàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòè ðîäèòüñÿ â êàæäûé èç äíåé îäèíàêîâû.3. Íà îòðåçêå åäèíè÷íîé äëèíû íàóäà÷ó ïîñòàâëåíû äâå òî÷êè, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ýòîò îòðåçîê îêàçûâàåòñÿ ðàçäåëåííûì íà òðè ÷àñòè.
Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äëèíà êàæäîé èç òðåõ ïîëó÷èâøèõñÿ ÷àñòåéíå ïðåâîñõîäèò 3/4.4. Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ Ak , ñîåäèíåííûõ ïî ñëåäóþùåé ñõåìå:A2- A1A3Âåðîÿòíîñòü âûõîäàèç ñòðîÿýëåìåíòàA2 ðàâíà0,01, îñòàëüíûõ ýëåÂåðîÿòíîñòüâûõîäàèç ñòðîÿýëåìåíòàìåíòîâ Ak ïî 0,1. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýëåìåíòû âûõîäÿò èç ñòðîÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî öåïü áóäåò ïðîïóñêàòüòîê.5. Òåëåãðàôíîå ñîîáùåíèå ñîñòîèò èç ñèãíàëîâ ¾òî÷êà¿ è ¾òèðå¿. Èçâåñòíî, ÷òî ñðåäè ïåðåäàâàåìûõ ñèãíàëîâ ¾òî÷êà¿ è ¾òèðå¿ âñòðå÷àþòñÿ âîòíîøåíèè 3:2. Èç-çà ïîìåõ èñêàæàåòñÿ â ñðåäíåì 25 % ñèãíàëîâ ¾òî÷êà¿è 20 % ñèãíàëîâ ¾òèðå¿, ïðè÷åì ¾òî÷êà¿ èñêàæàåòñÿ â ¾òèðå¿, à ¾òèðå¿ â¾òî÷êó¿.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
