1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 25
Текст из файла (страница 25)
íàçûâàåòñÿ öåïüþ Ìàðêîâà, åñëè äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè n è ëþáûõ ñîñòîÿíèé xi0 , ..., xin âûïîëíÿåòñÿP(Xn = xin |Xn−1 = xin−1 , ..., X0 = xi0 ) = P(Xn = xin |Xn−1 = xin−1 ).Öåïü Ìàðêîâà {Xn }n≥0 íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé ïî âðåìåíè ñ ìàòðèöåéïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé M = (pij ), åñëè äëÿ ëþáîãî n è ëþáûõ xi è xjP(Xn = xj |Xn−1 = xi ) = pij .Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî äëÿ ëþáîãî im∑pij = 1.j=1 äàëüíåéøåì áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ òîëüêî îäíîðîäíûå öåïè Ìàðêîâà!Îáîçíà÷èìpij (k) = P(X(k) = xj |X(0) = xi )âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà çà k øàãîâ èç ñîñòîÿíèÿ xi â ñîñòîÿíèå xj èpj (k) = P(X(k) = xj )168 âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ â ñîñòîÿíèè xj â ìîìåíò âðåìåíè k . Äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà m èâåêòîð-ñòðîêà ðàçìåðà mM (k) = (pij (k))èN (k) = (pi (k)).Ïåðåõîäíûå âåðîÿòíîñòè óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì Êîëìîãîðîâà×ýïìåíà∑pij (k + l) =piα (k)pαj (l)αèpj (k + l) =∑pα (k)pαj (l).α ìàòðè÷íîé ôîðìå ýòè óðàâíåíèÿ ìîæíî ïåðåïèñàòü òàêèì îáðàçîìM (k+l) = M (k) M (l)èN (k+l) = N (k) M (l) .Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà îïèñûâàåò øèðîêèé êëàññ ìàðêîâñêèõ öåïåé, îáëàäàþùèõ òàê íàçûâàåìûì ñâîéñòâîì ýðãîäè÷íîñòè: ïðåäåëû πj =limn→∞ pij (n) íå òîëüêî ñóùåñòâóþò∑è íå çàâèñÿò îò i, íî è îáðàçóþò ðàñmïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé (πj ≥ 0,j=1 πj = 1), íî è òàêîâû, ÷òî πj > 0äëÿ âñåõ j .Òåîðåìà 17.1 (ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðåìà).
Ïóñòü M = (pij ) ìàòðèöà ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé ìàðêîâñêîé öåïè ñ êîíå÷íûì ìíîæåñòâîìñîñòîÿíèé {x1 , ..., xm }.Åñëè íàéäåòñÿ n0 òàêîå, ÷òîmin pij (n0 ) > 0,i,jòî ñóùåñòâóþò ÷èñëà π1 , ..., πm òàêèå, ÷òîm∑πj > 0,πj = 1j=1è äëÿ ëþáîãî iπj = lim pij (n).n→∞Ïðè ýòîì ÷èñëà (π1 , ..., πm ) óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé∑πj =πα pαj , j = 1, ..., m.α169 17.2.Ìàðêîâñêèå ïðîöåññûñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåìè êîíå÷íûì ÷èñëîì ñîñòîÿíèéÏîâåäåíèå ñèñòåìû ñ âîçìîæíûìè ñîñòîÿíèÿìè S0 , S1 , ..., Sm ìîæåò áûòüîïèñàíî ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé X(t), ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèå k , åñëè â ìîìåíò t ñèñòåìà íàõîäèëàñü â ñîñòîÿíèè Sk .
Åñëè ïåðåõîä ñèñòåìû èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå âîçìîæåí â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè t, à âåðîÿòíîñòèpik (t, τ) ïåðåõîäà ñèñòåìû èç ñîñòîÿíèÿ Si â ìîìåíò âðåìåíè t â ñîñòîÿíèåSk â ìîìåíò âðåìåíè τ, τ ≥ t íå çàâèñÿò îò ïîâåäåíèÿ ñèñòåìû äî ìîìåíòàâðåìåíè t, òî X(t) ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèì ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì ñ êîíå÷íûì÷èñëîì ñîñòîÿíèé. Ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì, åñëèpik (t, τ) = pik (t − τ, 0).Âåðîÿòíîñòè Pk (t) íàõîæäåíèÿ ñèñòåìû â ñîñòîÿíèè Sk â ìîìåíò âðåìåíèt îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèédPk (t) ∑=λjk (t)Pj (t),dtj=0mk = 0, 1, 2, ..., m,ãäå λjk (t) èíòåíñèâíîñòü ïåðåõîäà â ìîìåíò t èç ñîñòîÿíèÿ Sj â Sk . Âñëó÷àå îäíîðîäíûõ ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäà èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå íå çàâèñÿò îò âðåìåíè, ò.å.
äëÿ âñåõ t âûïîëíÿåòñÿðàâåíñòâîλjk (t) = λjk .Åñëè íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå Si çàäàíî, òî{0, i ̸= kPk (0) =1, i = k.Ïðè îäíîðîäíîì ìàðêîâñêîì ïðîöåññå ñ ñîîáùàþùèìèñÿ ñîñòîÿíèÿìè ñóùåñòâóþò íåçàâèñèìûå îò íîìåðîâ èñõîäíîãî ñîñòîÿíèÿ ïðåäåëûlim pik (t) = lim Pk (t) = Pk , k = 0, 1, 2, ..., m.t→∞t→∞Ïðåäåëüíûå âåðîÿòíîñòè Pk íàõîäÿòñÿ èç ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé{ ∑mλjk Pj = 0, k = 0, 1, 2, ..., m;∑j=0mj=0 Pj = 1.170 17.3.Ïðîöåññû ðàçìíîæåíèÿ è ãèáåëèÎäíîðîäíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ ñ áåñêîíå÷íûì, íî ñ÷åòíûì ÷èñëîì ñîñòîÿíèé S0 , S1 , ... íàçûâàåòñÿ ïðîöåññîì ðàçìíîæåíèÿ (ðîæäåíèÿ) è ãèáåëè,åñëè òîëüêî äëÿ ñîñåäíèõ ñîñòîÿíèé âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà ïîëîæèòåëüíû,òî åñòü λij = 0 âî âñåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà j íå ðàâíÿåòñÿ íè i + 1, íè i − 1.Îáîçíà÷èì λi = λii+1 , µj = λjj−1 .
Ïðîöåññû ðàçìíîæåíèÿ è ãèáåëè ìîãóò¾óáåãàòü íà áåñêîíå÷íîñòü¿ â ýòîì ñëó÷àå X(t) ñõîäèòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþåäèíèöà ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè t → ∞. Òàêîå ïîâåäåíèå ïðîöåññà íàçûâàåòñÿíåýðãîäè÷åñêèì. Íàïðîòèâ, äëÿ ýðãîäè÷åñêîãî ïðîöåññà âûïîëíåíîlim pik (t) = lim Pk (t) = Pk , k = 0, 1, 2, ...,t→∞èt→∞∑∞n=0 Pn = 1.Óñëîâèå ýðãîäè÷íîñòè âìåñòå ñ ôîðìóëîé äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé ñîäåðæèòñÿ â ñëåäóþùåé òåîðåìå.Òåîðåìà 17.2.
Ïðîöåññ ðàçìíîæåíèÿ è ãèáåëè ýðãîäè÷åí â òîì èòîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà ñóììà ðÿäàγ =1+λ0λ0 λ1λ0 λ1 . . . λn−1++ ... ++ ...µ1µ1 µ2µ1 µ2 . . . µnêîíå÷íà. Ñòàöèîíàðíûå âåðîÿòíîñòè ðàâíûP0 = 17.4.1λ0 λ1 . . . λn−1, Pn =P0 , n = 1, 2, . . . .γµ1 µ2 . . . µnÇàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ17.1 Íàéòè ìàòðèöó ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé äëÿ ìàðêîâñêîé öåïè, îïè-ñûâàþùåé ñëåäóþùèé ýêñïåðèìåíò. Ïóñòü áðîñàþò ìîíåòó, ïðè÷åì âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ ðåøêè ðàâíà p. Îïðåäåëèì Xn êàê ðàçíîñòü ìåæäó÷èñëîì âûïàäåíèé ðåøêè è ÷èñëîì âûïàäåíèÿ ãåðáà ïîñëå n áðîñàíèé ìîíåòû.17.2 Íàéòè ìàòðèöó ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé äëÿ ìàðêîâñêîé öåïè,îïèñûâàþùåé ñëåäóþùèé ýêñïåðèìåíò.
Áðîñàþò èãðàëüíóþ êîñòü. Ïîëîæèì Xn ðàâíûì íàèáîëüøåìó èç ÷èñåë, âûïàäàþùèõ â ïåðâûõ n áðîñàíèÿõ.17.3 Óñòðîéñòâî S ñîñòîèò èç äâóõ óçëîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ â õîäåðàáîòû óñòðîéñòâà ìîæåò âûéòè èç ñòðîÿ. Âîçìîæíû ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû:S1 îáà óçëà ðàáîòàþò; S2 ïåðâûé óçåë îòêàçàë, âòîðîé ðàáîòàåò; S3 171âòîðîé óçåë îòêàçàë, ïåðâûé ðàáîòàåò; S4 îáà óçëà îòêàçàëè. Ïîñòðîèòüãðàô ñîñòîÿíèé è ïåðåõîäîâ ñèñòåìû. Âûáðàòü èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ñèñòåìû è çàïèñàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ñèñòåìóäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.17.4 Ïî äâóì ëèíèÿì ñâÿçè â îäèí ïóíêò ïîñòóïàþò äâà íåçàâèñèìûõïðîñòåéøèõ ïîòîêà òåëåãðàìì. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî. ÷òî çà âðåìÿ t âïóíêò ïðèåìà ïðèäåò n òåëåãðàìì, åñëè ïàðàìåòðû ñîñòàâëÿþùèõ ïîòîêîâðàâíû λ1 è λ2 .17.5 ×àñòèöû, âûëåòàþùèå èç ðàäèîàêòèâíîãî âåùåñòâà â ïðîöåññå åãîðàñïàäà, îáðàçóþò ïðîñòåéøèé ïîòîê ñ ïàðàìåòðîì λ.
Êàæäàÿ ÷àñòèöàíåçàâèñèìî îò äðóãîé ðåãèñòðèðóåòñÿ ñ÷åò÷èêîì ñ âåðîÿòíîñòüþ p. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çà âðåìÿ t áóäåò çàðåãèñòðèðîâàíî ðîâíî n÷àñòèö.17.6 Ïóñòü ìàòðèöà ïåðåõîäîâ äëÿ öåïè Ìàðêîâà èìååò âèä:()()()010110à), á), â),0, 25 0, 75 0, 85 0, 150, 25 0, 750 1/3 2/3ã) 1/3 1/3 1/3 .1/4 1/4 1/2Ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå ýðãîäè÷åñêîé òåîðåìû äëÿ ýòîé öåïè.
Åñëè ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðåìà âûïîëíÿåòñÿ íàéòè ñîîòâåòñòâóþùåå ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå. Íàðèñîâàòü ãðàô ñîñòîÿíèé è ïåðåõîäîâ öåïè Ìàðêîâà.17.7 Äâîå ðàáî÷èõ îáñëóæèâàþò òðè àâòîìàòè÷åñêèõ ñòàíêà, êîòîðûåïðè íîðìàëüíîé ðàáîòå íå òðåáóþò èõ âìåøàòåëüñòâà. Êàæäûé ñòàíîêîñòàíàâëèâàåòñÿ âñëåäñòâèå íåïîëàäîê ñ èíòåíñèâíîñòüþ îäèí ñòàíîê â 30ìèí. Ñðåäíåå âðåìÿ, êîòîðîå òðàòèòñÿ ðàáî÷èì íà ðåìîíò îäíîãî ñòàíêà,ñîñòàâëÿåò 15 ìèíóò. Íàéòè ïðåäåëüíóþ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äâà ñòàíêàíå ðàáîòàþò.17.8 Ïîòîê ïîñòóïëåíèÿ íåèñïðàâíîé àïïàðàòóðû â ìàñòåðñêóþ ãàðàíòèéíîãî ðåìîíòà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøèì ñ ïàðàìåòðîì λ = 10 åä./÷àñ.
Ïðîäîëæèòåëüíîñòü ðåìîíòà ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, èìåþùåé ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì µ = 5 åä./÷àñ. Îïðåäåëèòü ñðåäíååâðåìÿ, ïðîõîäÿùåå îò ìîìåíòà ïðèõîäà íåèñïðàâíîé àïïàðàòóðû äî íà÷àëàðåìîíòà, åñëè â ìàñòåðñêîé ÷åòâåðî ðàáî÷èõ, êàæäûé èç êîòîðûõ ðåìîíòèðóåò òîëüêî îäèí ïðèáîð.17.9 Íà êîììóòàòîð, èìåþùèé ÷åòûðå âíåøíèå ëèíèè ñâÿçè, ïîñòóïàåòâ ñðåäíåì çà ÷àñ 60 òðåáîâàíèé íà ñâÿçü. Ïðîäîëæèòåëüíîñòü ïåðåãîâîðîââ ñðåäíåì ñîñòàâëÿåò 4 ìèí. Îïðåäåëèòü àáñîëþòíóþ ïðîïóñêíóþ ñïîñîáíîñòü ñèñòåìû; ñðåäíåå ÷èñëî çàíÿòûõ ëèíèé; âåðîÿòíîñòü îòêàçà àáîíåíòó.172Ãëàâà 18Òèïîâîé ðàñ÷åòÂàðèàíò 11.
Íàóãàä âûáðàíû äâà ÷èñëà. Ñîáûòèÿ A è B ñîîòâåòñòâåííî îçíà÷àþò,÷òî âûáðàíî õîòÿ áû îäíî íå÷åòíîå ÷èñëî è õîòÿ áû îäíî ÷åòíîå ÷èñëî. ×òîîçíà÷àþò ñîáûòèÿ AB è A ∪ B ?2. Èç êîðçèíû ñ ïÿòüþ êðàñíûìè, ÷åòûðüìÿ çåëåíûìè è òðåìÿ æåëòûìè ÿáëîêàìè áåðóòñÿ (áåç âîçâðàùåíèÿ) íàóäà÷ó òðè ÿáëîêà. Ñ êàêîéâåðîÿòíîñòüþ ñðåäè ýòèõ òðåõ ÿáëîê: à) ðîâíî äâà çåëåíûõ, á) õîòÿ áûîäíî êðàñíîå è õîòÿ áû îäíî æåëòîå ÿáëîêî?3. Ìîëîäîé ÷åëîâåê äîãîâîðèëñÿ âñòðåòèòüñÿ ñ äåâóøêîé ìåæäó 9 è 10÷àñàìè è îáåùàë æäàòü å¼ äî 10 ÷àñîâ. Äåâóøêà îáåùàëà æäàòü åãî 10ìèíóò, åñëè ïðèäåò ðàíüøå. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíè âñòðåòÿòñÿ.Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìîìåíòû èõ ïðèõîäà ðàâíîâåðîÿòíû â òå÷åíèå ÷àñà.4.
Ïðè ïåðåäà÷å òåêñòà â ñðåäíåì 5 % áóêâ èñêàæàåòñÿ è ïðèíèìàåòñÿíåâåðíî. Ïåðåäàíî ñëîâî èç 6 áóêâ. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âñå áóêâûñëîâà áóäóò ïðèíÿòû ïðàâèëüíî? Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî áóêâû èñêàæàþòñÿíåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà.5.  òèðå èìååòñÿ 6 îäèíàêîâûõ íà âèä ðóæåé. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿâ ìèøåíü äëÿ äâóõ èç íèõ ïî 0,9, äëÿ òðåõ ïî 0,8 è äëÿ îäíîãî 0,3.
Êàêîâàâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñòðåëîê ïîïàäåò â ìèøåíü, åñëè îí âûáèðàåò ðóæüåíàóäà÷ó? Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî áûëî âûáðàíî ðóæüå, äëÿ êîòîðîãîâåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ 0,3, ïðè óñëîâèè, ÷òî ñòðåëîê ïîïàë â ìèøåíü?6. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ìèøåíü ðàâíà 0,6 ïðè êàæäîì âûñòðåëå.Ñòðåëüáà âåäåòñÿ îäèíî÷íûìè âûñòðåëàìè äî ïåðâîãî ïîïàäàíèÿ, ïîêà íåáóäåò èçðàñõîäîâàí áîåçàïàñ. Íàéòè ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå è äèñïåðñèþ ÷èñëà ïðîèçâåäåííûõ âûñòðåëîâ, åñëè áîåçàïàñ ñîñòàâëÿåò 3 åäèíèöû. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.1737. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò òðåóãîëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïëîòíîñòüðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà{Ax ïðè 0 ≤ x ≤ θ;f (x) =0 ïðè x ̸∈ [0; θ].Íàéòè êîýôôèöèåíò A, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ξ > θ/2.
Íà÷åðòèòü ãðàôèêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.8. Ñîñòàâèòü òàáëèöó ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà âûïàâøèõ åäèíèö è ÷èñëà âûïàâøèõ øåñòåðîê ïðè îäíîì ïîäáðàñûâàíèè èãðàëüíîé êîñòè. Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ìåæäó íèìè.9. Äâóìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y èìååòâèä: f (x, y) = c, åñëè x, y ≥ 0, x + 3y ≤ 3 è 0 èíà÷å. Íàéòè êîíñòàíòó c èρ(X, Y ).10. Ó÷àñòíèê ëîòåðåè áðîñàåò èãðàëüíóþ êîñòü 10 ðàç. Ó÷àñòíèê ïîëó÷àåò öåííûé ïðèç, åñëè ñóììà î÷êîâ áîëüøå 50. Îöåíèòü âåðîÿòíîñòüïîëó÷åíèÿ öåííîãî ïðèçà.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
