1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Ïîëó÷èì îöåíêè ïàðàìåòðîâ:√2 ∗γ = 1 + 1 + (X)S2 ,∗ h = γ −1γ ∗ X.Îòìåòèì, ÷òî îöåíêà ïàðàìåòðà γ âñåãäà íå ìåíüøå ÷èñëà 2, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò òðåáîâàíèþ ê ïàðàìåòðó, îáåñïå÷èâàþùåìó êîíå÷íîñòü âòîðîãî132ìîìåíòà. Íàéäåì ðåàëèçàöèè îöåíîê ïî âûáîðêå è ïîñòðîèì ãðàôèêè ðåàëèçàöèé ïàðàìåòðè÷åñêîé îöåíêè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (t, h∗ , γ ∗ ) ïîôîðìóëå=ÅÑËÈ(ÑÒÐÎÊÀ() < R$1; 0; 1 − (ÑÒÐÎÊÀ()/R$1)∧ (−R$2))è ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fn∗ (t).
Ãðàôèê ïðèâåäåí íàðèñ. 13.6.Ðèñ. 13.6: Îöåíêà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòîìåòîäîì ìîìåíòîâ.Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî ïðèáëèæåíèå â ýòîì ñëó÷àå îêàçûâàåòñÿ î÷åíüíåóäà÷íûì.Ïîëó÷èì îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ.Ñíà÷àëà íàéäåì îöåíêó ïàðàìåòðà h íåïîñðåäñòâåííî îòûñêàíèåì òî÷êè ìàêñèìóìà ôóíêöèè ïðàâäîïîáîáèÿ. Äëÿ ýòîãî çàïèøåì ôóíêöèþ ïðàâäîïîäîáèÿ⃗ h, γ) =Π(X,{ ∏ni=1 (γhγ−(γ+1)Xi0133), åñëè âñå Xi ≥ θ;èíà÷å.Çàâèñèìîñòü ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ îò ïàðàìåòðà h èìååò òîò æå õàðàêòåð, ÷òî è â ñëó÷àå ñäâèíóòîãî ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ çàâèñèìîñòü îò ïàðàìåòðà θ. Îíà èçîáðàæåíà ñõåìàòè÷íî íà ðèñ.
13.4. Åå ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå bh = min{Xi }, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îöåíêîé ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïàðàìåòðà h.Íàéäåì îöåíêó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïàðàìåòðà γ . Äëÿ ýòîãîïîñëåäîâàòåëüíî âû÷èñëèìln f (t, h, γ) = ln γ + γ ln h − (γ + 1) ln tïðè t ≥ h;1∂ln f (t, h, γ) = + ln h − ln t∂γγïðè t ≥ h. Ïðèðàâíèâàÿ ïðîèçâîäíóþ ëîãàðèôìà ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿê íóëþ, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ îöåíêè ïàðàìåòðà γ :n (∑1i=1γ)+ ln h − ln Xi= 0,ðåøåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿγ=1.ln X − ln hÏîñêîëüêó ïàðàìåòð h íåèçâåñòåí, çàìåíèì åãî íà îöåíêó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ bh = min{Xi } (òàê æå ìû ïîñòóïàëè ïðè íàõîæäåíèèîöåíîê äëÿ ñäâèíóòîãî ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ) è ïîëó÷èìbγ=1.ln X − ln(min{Xi })Óñëîâèå Xi ≥ bh îêàçûâàåòñÿ âûïîëíåííûì àâòîìàòè÷åñêè.Íàéäåì ðåàëèçàöèè îöåíîê ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ.
Îòìåòèì,÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ âûáîðî÷íîãî óñðåäíåíèÿ ëîãàðèôìà ln X íóæíî ïðåäâàðèòåëüíî â îòäåëüíîì ñòîëáèêå âû÷èñëèòü ëîãàðèôìû âñåõ âûáîðî÷íûõçíà÷åíèé, ñêîïèðîâàâ ôóíêöèþ =LN(A1), è çàòåì âû÷èñëèòü ñðåäíåå èç 30çíà÷åíèé ëîãàðèôìîâ.Ïîñòðîèì ãðàôèêè ðåàëèçàöèé ïàðàìåòðè÷åñêîé îöåíêè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (t, bh, bγ ) (êàê äëÿ îöåíîê ìåòîäîì ìîìåíòîâ) è ýìïèðè÷åñêîéôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fn∗ (t).134Ãðàôèê ïðèâåäåí íà ðèñ. 13.7.Ðèñ. 13.7Àíàëèçèðóÿ ãðàôèê, âèäèì, ÷òî äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî è îöåíêèìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ íå äàþò õîðîøåãî ïðèáëèæåíèÿ ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Íà îñíîâàíèè ïðîâåäåííîãî èññëåäîâàíèÿìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî áîëåå àäåêâàòíîé ìîäåëüþ ÿâëÿåòñÿ ìîäåëü ñäâèíóòîãî ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, è ëó÷øèé ìåòîä îöåíèâàíèÿ åå ïàðàìåòðîâ ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ.
Îöåíêè ìàêñèìàëüíîãîïðàâäîïîäîáèÿ çäåñü ïîëó÷àþòñÿ ñìåùåííûìè, îäíàêî ìû íå áóäåì îáñóæäàòü, êàê ìîæíî óìåíüøèòü ñìåùåíèå.135 13.2.Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿÇàäà÷à 13.1 òåêñòå çàäà÷è ÷åðåç îáîçíà÷åí íîìåð ñòóäåíòà ïî ñïèñêóãðóïïû.1. Äëÿ âûáîðêè X1 , .
. . , Xn èç ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà [0; θ]ïîëó÷èòü îöåíêè ïàðàìåòðà θ ìåòîäîì ìîìåíòîâ íà îñíîâàíèè ïåðâîãî, âòîðîãî, +2-ãî ìîìåíòà. Âû÷èñëèòü E(X1 + )eX1 / è íàýòîì îñíîâàíèè ïîëó÷èòü îöåíêó ïàðàìåòðà θ ÷åðåç óñðåäíåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèè ïî âûáîðêå.2. Äëÿ òîé æå âûáîðêè íàéòè îöåíêó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿïàðàìåòðà θ, âû÷èñëèòü åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è èñïðàâèòüåå, ïîëó÷èâ íåñìåùåííóþ îöåíêó.3. Ãåíåðèðîâàòü ðåàëèçàöèþ âûáîðêè îáúåìà n = 100+ èç ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà [0; θ], ïðèíÿâ θ = .4. Âû÷èñëèòü ðåàëèçàöèè âñåõ ïîëó÷åííûõ îöåíîê.
Ïîäñ÷èòàòü àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè îöåíèâàíèÿ è ðàíæèðîâàòü îöåíêè ïî àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè.Çàäà÷à 13.2Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò ëîãàðèôìè÷åñêè íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, åñëè åå ëîãàðèôì ðàñïðåäåëåí ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó.1. Äëÿ âûáîðêè X1 , . . . , Xn èç ëîãàðèôìè÷åñêè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè a, σ ïîëó÷èòü îöåíêè ïàðàìåòðîâ ìåòîäîììîìåíòîâ è ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ.2. Ãåíåðèðîâàòü ðåàëèçàöèþ âûáîðêè îáúåìà n = 100 ïî ôîðìóëåU1 U2 U3 /U4 , ãäå U1 , . .
. , U4 ñëó÷àéíûå ÷èñëà, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûå íà [0; 1]. Ïîñòðîèòü ãèñòîãðàììó, âûáðàâ ÷èñëî ïðîìåæóòêîâ ãðóïïèðîâàíèÿ ïî ôîðìóëå Ñòåäæåñà.3. Ïî ðåàëèçàöèè âûáîðêè âû÷èñëèòü ðåàëèçàöèè âñåõ ïîëó÷åííûõ îöåíîê.4.∗Íàéòè òåîðåòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ. Ïîäñ÷èòàòü àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè îöåíèâàíèÿ è ðàíæèðîâàòü îöåíêè ïî àáñîëþòíîéïîãðåøíîñòè.136Ãëàâà 14Èíòåðâàëüíîå îöåíèâàíèå 14.1.Îïðåäåëåíèå äîâåðèòåëüíîãîèíòåðâàëàÏóñòü èìååòñÿ âûáîðêà îáúåìà n èç ðàñïðåäåëåíèÿ, èçâåñòíîãî ñ òî÷íî⃗ ⊂ñòüþ äî ïàðàìåòðà: X= F (t, θ), θ ∈ Θ. Äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì ñóðîâíåì äîâåðèÿ γ ( γ -äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì) äëÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà θ íàçûâàþò ñëó÷àéíûé èíòåðâàë (θ− ; θ+ ) ⊂ Θ, ïîñòðîåííûéïî âûáîðêå, êîòîðûé íàêðûâàåò íåèçâåñòíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ñ âåðîÿòíîñòüþ, ðàâíîé γ , èëè ïî êðàéíåé ìåðå ñòðåìÿùåéñÿ ê γ ñ ðîñòîì îáúåìàâûáîðêè, òî åñòüP{θ ∈ (θ− ; θ+ )} → γ(14.1)ïðè n → ∞. ñëó÷àå, êîãäà âìåñòî ñõîäèìîñòè âûïîëíÿåòñÿ òî÷íîå ðàâåíñòâî, äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë íàçûâàåòñÿ òî÷íûì.θ− , θ+ ýòî îöåíêè ïàðàìåòðà θ, íàçûâàåìûå íèæíåé è âåðõíåéäîâåðèòåëüíûìè ãðàíèöàìè.
×èñëî γ ∈ (0; 1) óðîâåíü äîâåðèÿ, èëèäîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü, âûáèðàåòñÿ çàðàíåå è îòðàæàåò, êàê ñêàçàíîâ [7], ¾ñòåïåíü ãîòîâíîñòè ìèðèòüñÿ ñ âîçìîæíîñòüþ îøèáêè¿: ÷åì ìåíååìû ãîòîâû ìèðèòüñÿ ñ âîçìîæíîé îøèáêîé, òåì áîëüøåå (áîëåå áëèçêîå êåäèíèöå) çíà÷åíèå γ äîëæíû óñòàíàâëèâàòü.137 14.2.Ðàñïðåäåëåíèÿ, ñâÿçàííûåñ íîðìàëüíûìÏðè ïîñòðîåíèè äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ äëÿ ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü äâà ñïåöèàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèÿ, ñâÿçàííûõ ñ íîðìàëüíûì: ðàñïðåäåëåíèå õè-êâàäðàò è ðàñïðåäåëåíèåÑòüþäåíòà. Íàçâàíèå ¾ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà¿ ñâÿçàíî ñ èìåíåì àíãëèéñêîãî ñòàòèñòèêà Ê. Ãîññåòà, êîòîðûé ïîäïèñûâàë ñâîè ðàáîòû ïñåâäîíèìîì ¾Ñòüþäåíò¿.Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Zn èìååò ðàñïðåäåëåíèå õè-êâàäðàò ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, åñëèZn = X1 2 + .
. . + Xn 2 ,ãäå X1 , . . . , Xn íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñî ñòàíäàðòíûì íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Îòìåòèì, ÷òî ¾÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû¿ ýòîïðîñòî òðàäèöèîííîå íàçâàíèå äëÿ ïàðàìåòðà n ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò.Ïàðàìåòð n ïîëîæèòåëüíîå öåëîå ÷èñëî.  ÷àñòíîñòè, ïðè n = 1 ïîëó÷àåì êâàäðàò îäíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñî ñòàíäàðòíûì íîðìàëüíûìðàñïðåäåëåíèåì: Z1 = X 2 , ãäå X ⊂= N0, 1 .Áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå: Zn ⊂= χ2n .Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò.Ñëåäñòâèå 14.1. Ïóñòü Zn ⊂= χ2n .
Òîãäà1) EZn = n;2) Zn /n → 1 ïî÷òè íàâåðíîå ïðè n → ∞.Äîêàçàòåëüñòâî.Âî-ïåðâûõ,EZ1 = EX 2 = DX + (EX)2 ,ãäå X èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, è ïîòîìó EX = 0,DX = 1. Ñëåäîâàòåëüíî,EZ1 = 1 + 02 = 1.1) Ïî îïðåäåëåíèþ ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò,EZn = E(X1 2 + . . . + Xn 2 ) = EX1 2 + . . . + EXn 2 = nEX1 2 = n · 1 = n.2) Òàê êàê Zn ñóììà íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, òî ñïðàâåäëèâ çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë Êîëìîãîðîâà:Zn /n =X1 2 + . . . + Xn 2→ EX1 2 = 1n138ïî÷òè íàâåðíîå ïðè n → ∞.
Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Yn èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, åñëèX,Yn = √Zn /nãäå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Zn íåçàâèñèìû, ïðè÷åì X èìååò ñòàíäàðòíîåíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, à Zn èìååò ðàñïðåäåëåíèå õè-êâàäðàò ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Çäåñü, êàê è ó ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò, n ýòî ïðîñòîïîëîæèòåëüíûé öåëûé ïàðàìåòð.Áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå: Yn ⊂= Tn .Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà.Ñëåäñòâèå 14.2. Ïóñòü Yn ⊂= Tn . Òîãäà1) äëÿ ëþáîãî t âûïîëíåíî P{Yn < −t} = P{Yn > t}, òî åñòü ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñèììåòðè÷íî;2) Yn → X ïî÷òè íàâåðíîå ïðè n → ∞, ãäå X èìååò ñòàíäàðòíîåíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.Äîêàçàòåëüñòâî.1) Ñèììåòðèÿ ñëåäóåò èç ñèììåòðèè ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:√√P{Yn < −t} = P{X < −t Zn /n} = P{X > t Zn /n} = P{Yn > t}.2) Ñõîäèìîñòü ñëåäóåò èç ñâîéñòâà ñõîäèìîñòè ïî÷òè íàâåðíîå, íåïðå√ðûâíîñòè ôóíêöèè x/ y è èç ñâîéñòâà ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò.
Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî. 14.3.Òî÷íûå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëûÍàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííîé ñèòóàöèåé, êîãäà âîçìîæíî ïîñòðîåíèå òî÷íûõ äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ, ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé íîðìàëüíîãî ðàñïðåäå⃗ ⊂ëåíèÿ: X= Na,σ2 , êîãäà õîòÿ áû îäèí èç åãî ïàðàìåòðîâ íåèçâåñòåí. Âýòîì ñëó÷àå èçâåñòíî ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûõîöåíîê X è S 2 ïàðàìåòðîâ a è σ2 , ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî è ñòðîÿòñÿñîîòâåòñòâóþùèå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ñîäåðæàòñÿ â ñëåäóþùåé òåîðåìå, êîòîðóþ ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà.139⃗ ⊂Òåîðåìà 14.1. (Òåîðåìà Ôèøåðà) Ïóñòü X= Na,σ2 .
Òîãäà âåðíûñëåäóþùèå 4 ôàêòà:√n(X − a)1)⊂= N0,1 .σ∑n2i=1 (Xi − a)2)⊂= χ2n .σ2nS 2⊂= χ2n−1 .σ2()√n−1 X −a⊂= Tn−1 .4)S3)Îòìåòèì, ÷òî ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñëåäóåò ñðàçó æå èç ñâîéñòâíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, âòîðîå èç îïðåäåëåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ õèêâàäðàò ñ ó÷åòîì òîãî ôàêòà, ÷òî Xiσ−a èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîåðàñïðåäåëåíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
