1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Ê ýòîìóñòîèò äîáàâèòü, ÷òî çàäà÷åé ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòà ïî âîçìîæíîñòè îïòèìàëüíûì îáðàçîì.Îñíîâíûì îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ â ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå ÿâëÿ⃗ = (X1 , X2 , ..., Xn ), òî åñòü íàáîð çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âååòñÿ âûáîðêà Xëè÷èíû X , ïîëó÷åííûõ â ðåçóëüòàòå n íåçàâèñèìûõ âîñïðîèçâåäåíèé ýêñïåðèìåíòà. Èíà÷å ãîâîðÿ, âûáîðêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíûé âåêòîð,êîîðäèíàòû êîòîðîãî ýëåìåíòû âûáîðêè X1 , X2 , ..., Xn íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå îáùåå ðàñïðåäåëåíèå ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (t).
Áóäåì ãîâîðèòü â ýòîì ñëó÷àå, ÷òî èìååòñÿ ñëó÷àéíàÿ⃗ èç ðàñïðåäåëåíèÿ F , è îáîçíà÷àòü ñîêðàùåííî: X⃗ ⊂âûáîðêà X= F . ×èñëîn íàçûâàåòñÿ îáúåìîì âûáîðêè. Êîíêðåòíûé íàáîð ÷èñëîâûõ çíà÷åíèéñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1 , X2 , ..., Xn , ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà,áóäåì íàçûâàòü ðåàëèçàöèåé âûáîðêè è îáîçíà÷àòü ⃗x = (x1 , x2 , ..., xn ).Åñëè ýëåìåíòû âûáîðêè X1 , . . . , Xn óïîðÿäî÷èòü ïî âîçðàñòàíèþ, òîïîëó÷èòñÿ íîâûé íàáîð ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, íàçûâàåìûé âàðèàöèîííûìðÿäîì:X(1) ≤ X(2) ≤ . . . ≤ X(n−1) ≤ X(n) .95Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X(k) , k = 1, .
. . , n íàçûâàåòñÿ k -ì ÷ëåíîì âàðèàöèîííîãî ðÿäà, èëè k -é ïîðÿäêîâîé ñòàòèñòèêîé.  ÷àñòíîñòè,X(1) = min{X1 , . . . , Xn }, X(n) = max{X1 , . . . , Xn }. 11.2.Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿðàñïðåäåëåíèÿ, ãèñòîãðàììàÝìïèðè÷åñêîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Fn∗ (t) íàçûâàåòñÿ ÷à-ñòîòà ýëåìåíòîâ âûáðîðêè, ìåíüøèõ çàäàííîãî t. Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ⃗ = (X1 , X2 , ..., Xn ), ìîæåòðàñïðåäåëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ âûáîðêå Xáûòü ïîñòðîåíà ïî ýòîé âûáîðêå ñ ïîìîùüþ ëþáîé èç ñëåäóþùèõ ôîðìóë:{êîëè÷åñòâî Xi : Xi < t}1∑=I(Xi < t),nn i=1nFn∗ (t) =ãäå ôóíêöèÿ{I(Xi < t) =(11.1)1, åñëè Xi < t,0 èíà÷å èíäèêàòîð ñîáûòèÿ {Xi < t}.Çàìåòèì, ÷òî ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ⃗ , ñàìà ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé, ïîñêîëüêó îïðåäåëÿåòñÿñëó÷àéíîé âûáîðêå X÷åðåç ýëåìåíòû âûáîðêè X1 , X2 , .
. . , Xn , ÿâëÿþùèåñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè.  òî æå âðåìÿ ëþáàÿ ðåàëèçàöèÿ ⃗x = (x1 , x2 , . . . , xn ) âûáîðêè⃗ ïîðîæäàåò ñîîòâåòñòâóþùóþ ðåàëèçàöèþ ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñXïðåäåëåíèÿ (ïî òîé æå ôîðìóëå (11.1)), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îáû÷íîé (à íåñëó÷àéíîé) ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ.Ñ ïîìîùüþ âàðèàöèîííîãî ðÿäà (èëè åãî ðåàëèçàöèè) ýìïèðè÷åñêàÿôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà ãðàôè÷åñêè.Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fn∗ (t) ÿâëÿåòñÿ âûáîðî÷íûìàíàëîãîì íåèçâåñòíîé òåîðåòè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (t), åå íàçûâàþò òàêæå îöåíêîé äëÿ F (t).
Âûáîðî÷íûì àíàëîãîì äëÿ òåîðåòè÷åñêîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ f (t) ÿâëÿåòñÿ ãèñòîãðàììà, èëè ýìïèðè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðàÿ ñòðîèòñÿ ïî âûáîðêå⃗ = (X1 , X2 , ..., Xn ) ñëåäóþùèì îáðàçîì.XÏóñòü h > 0 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî. Ðàçîáüåì îáëàñòü çíà÷åíèé èçó÷àåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (íàïðèìåð, âñþ ÷èñëîâóþ îñü) íà ïðîìåæóòêè∆k = [zk−1 , zk ) äëèíû h è ïîñòðîèì ñòóïåí÷àòóþ ôóíêöèþ fn∗ (t), êîòîðàÿ96Fn∗ (t)611n1nuu1nuu1nu0Ðèñ.
11.1: Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fn∗(t).X(1)X(2)X(i)X(n)-tíà êàæäîì ïðîìåæóòêå ∆k ïðèíèìàåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå, âû÷èñëÿåìîåïî ëþáîé èç ôîðìóë:{êîëè÷åñòâî Xi : Xi ∈ ∆k }1 ∑νk=I(Xi ∈ ∆k ) =, t ∈ ∆k ,nhnh i=1nh(11.2)ãäå νk - ÷èñëî ýëåìåíòîâ âûáîðêè, ïîïàâøèõ â ïðîìåæóòîê ∆k . Òàê ïîñòðîåííàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ãèñòîãðàììîé ñ øàãîì h è èìååò ãðàôèê,èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 11.2.
Çàìåòèì, ÷òî ïëîùàäü êàæäîãî ïðÿìîóãîëüíènfn∗ (t) =fn∗ (t)6νknhν2nhν1nh0ν2nν1nz0νknz1z2zk−1zk-tÐèñ. 11.2: Ãèñòîãðàììà fn∗(t).êà ãèñòîãðàììû ðàâíàèíòåðâàë ∆k .νkn,òî åñòü ÷àñòîòå ïîïàäàíèÿ â ñîîòâåòñòâóþùèé97Èíîãäà øàã ãèñòîãðàììû h âûáèðàþò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñíà÷àëàðàñ÷èòûâàþò ÷èñëî èíòåðâàëîâ K ïî ôîðìóëå ÑòåäæåñàK = [log2 n] + 1.(11.3)Çäåñü n îáúåì âûáîðêè, [·] öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà.
Ïîòîì äëèíà èíòåðâàëà ðàñ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëåX(n) − X(1).KÏðè ïîñòðîåíèè ãèñòîãðàììû ïîñëåäíèé ïðîìåæóòîê âûáèðàåòñÿ çàìêíóòûì: ∆K = [zK−1 ; zK ]. Âåëè÷èíó X(n) − X(1) = max{Xi } − min{Xi } íàçûâàþò ðàçìàõîì âûáîðêè. íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ áîëåå òî÷íîé îöåíêîé äëÿ ïëîòíîñòè, òî åñòüîöåíêîé, áîëåå òî÷íî àïïðîêñèìèðóþùåé íåèçâåñòíóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ ïîëèãîí ÷àñòîò. Ýòî êóñî÷íî-ëèíåéíàÿ ëîìàíàÿ, êîòîðàÿñòðîèòñÿ èç ãèñòîãðàììû ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ îòðåçêàìèïðÿìûõ ñåðåäèí âåðõíèõ îñíîâàíèé ïðÿìîóãîëüíèêîâ, ñîñòàâëÿþùèõ ãèñòîãðàììó (ñì. ðèñ. 11.3).h=fn∗ (t)6νknhν2nhν1nh0ν2nν1nz0νknz1z2zk−1zk-tÐèñ. 11.3: Ãèñòîãðàììà è ïîëèãîí ÷àñòîò. 11.3.Âûáîðî÷íûå ìîìåíòû⃗ = (X1 , X2 , ..., Xn ) ìîæíî ïîñòðîèòü ýìïèðè÷åñêèå (âûÏî âûáîðêå Xáîðî÷íûå) àíàëîãè ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê ðàñïðåäåëåíèÿ.
Íàèáîëåå óïî-98òðåáèòåëüíûìè ÿâëÿþòñÿ âûáîðî÷íîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, èëè âû-áîðî÷íîå ñðåäíåå, X , è âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ S 2 :1∑Xi ,n i=1nX=1∑(Xi − X)2 .n i=1nS2 =(11.4)Ïîäîáíî âûáîðî÷íûì ñðåäíåìó è äèñïåðñèè îïðåäåëÿþòñÿ âûáîðî÷íûå ìîìåíòû ïîðÿäêà kn1∑ kXk =X ,n i=1 iêîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ýìïèðè÷åñêèìè àíàëîãàìè ìîìåíòîâ αk = EXik .Ïðèìåð 11.1.
Ïðåäïîëàãàÿ èçâåñòíûìè ñîîòâåòñòâóþùèå òåîðåòè÷åñêèå ìîìåíòû, äîêàçàòü, ÷òî EX k = αk .Ïðèâåäåííîå ñîîòíîøåíèå îçíà÷àåò, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ýìïèðè÷åñêèõ ìîìåíòîâ ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè òåîðåòè÷åñêèìè ìîìåíòàìè. Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ íåñìåùåííîñòüþ: ãîâîðÿò, ÷òî ýìïèðè÷åñêèå ìîìåíòû ÿâëÿþòñÿ íåñìåùåííûìè îöåíêàìè äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ òåîðåòè÷åñêèõ.Ðåøåíèå.
Èç ñâîéñòâ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîëó÷àåì:1∑1∑1∑ k1Xi =EXik =αk = · nαk = αk .n i=1n i=1n i=1nnEX k = Enn òî æå âðåìÿ öåíòðàëüíûå ýìïèðè÷åñêèå ìîìåíòû ÿâëÿþòñÿ ñìåùåííûìè îöåíêàìè äëÿ ñâîèõ òåîðåòè÷åñêèõ àíàëîãîâ.Îòìåòèì, ÷òî âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ âû÷èñëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî äèñïåðñèè.Ñëåäñòâèå 11.1. S 2 = X 2 − (X)2 .Äîêàçàòåëüñòâî.Ðàñêðîåì ñêîáêè â îïðåäåëåíèè S 2 :S2 =nnn1∑ 2X∑1∑Xi − 2Xi +(X)2 = X 2 − 2(X)2 + (X)2 = X 2 − (X)2 .n i=1n i=1n i=1Âû÷èñëèì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñòàòèñòèêè S 2 :2ES 2 = EX 2 − EX = EX 2 − (EX)2 − DX =99n−1DX1 .nÈòàê, ýòà îöåíêà ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè íåñìåùåííîé.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü íåñìåùåííóþ îöåíêó äèñïåðñèè, äåëÿò S 2n−1íà n .Íåñìåùåííàÿ âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ ýòî ñòàòèñòèêàS0 2 =nS2.n−1Äëÿ íåå âûïîëíåíî ñâîéñòâîES0 2 = DX1 .Îòìåòèì, ÷òî êîðåíü èç íåñìåùåííîé âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè S0 íå ÿâëÿåòñÿíåñìåùåííîéîöåíêîé äëÿ ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ σX , òàê êàê√√E Y ̸= EY . 11.4.Ñòàòèñòèêè è îöåíêèÇàäà÷à îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ âîçíèêàåò â ñèòóàöèè, êîãäà ðàñïðåäåëåíèå F íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíîñòüþ íåèçâåñòíûì, à èçâåñòåí åãî ìàòåìàòè÷åñêèé âèä F = F (t, θ), ñîäåðæàùèé íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð θ (èëè íåñêîëüêî, òîãäà θ - ìíîãîìåðíûé ïàðàìåòð).
Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïî âû⃗ âû÷èñëèòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå θ∗ (X)⃗ äëÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàáîðêå Xìåòðà, ïðè÷åì ñäåëàòü ýòî â òîì èëè èíîì ñìûñëå îïòèìàëüíûì îáðàçîì.Ýòî çàäà÷à òî÷å÷íîãî îöåíèâàíèÿ. Äðóãîé ïîäõîä ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè⃗ θ+ (X))⃗ , êîòîðûé íàêðûâàåò íåèçâåñòïî âûáîðêå X èíòåðâàëà (θ− (X);íîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ ñ çàäàííîé (âûñîêîé) âåðîÿòíîñòüþ. Ýòîò ïîäõîä⃗ θ+ (X))⃗ íàçûâàåòñÿíàçûâàåòñÿ èíòåðâàëüíûì îöåíèâàíèåì, à (θ− (X);äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì.⃗ ⊂Ïóñòü X= F (t, θ), ïðè÷åì ïàðàìåòð θ ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ èçìíîæåñòâà Θ, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèì ìíîæåñòâîì. Áó⃗ , êîòîäåì íàçûâàòü ñòàòèñòèêîé ëþáóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó âèäà T (X)ðàÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî îò ýëåìåíòîâ âûáîðêè.
Îöåíêîé ïà⃗ , êîòîðàÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿðàìåòðà θ íàçûâàåòñÿ ñòàòèñòèêà θ̃ = θ̃(X)èç ïàðàìåòðè÷åñêîãî ìíîæåñòâà Θ.Îöåíêà θ̃ íàçûâàåòñÿ íåñìåùåííîé îöåíêîé ïàðàìåòðà θ, åñëè äëÿëþáîãî θ ∈ Θ âûïîëíåíîEθ̃ = θ.(11.5)Äîãîâîðèìñÿ óêàçûâàòü â îáîçíà÷åíèè ñòàòèñòèêè îáúåì âûáîðêè, åñëèýòî íåîáõîäèìî ïîä÷åðêíóòü: θ̃ = θ̃n .100Îöåíêà θ̃n íàçûâàåòñÿ (ñèëüíî) ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé ïàðàìåòðà θ, åñëè äëÿ ëþáîãî θ ∈ Θ ïðè n → ∞ èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòüï. í.θ̃n −→ θ,(11.6)òî åñòü P{θ̃n → θ} = 1.Ê ñëåäóþùåìó ïðèìåðó ìû áóäåì ÷àñòî âîçâðàùàòüñÿ â äàëüíåéøåì.Ïðèìåð 11.2. (Çàäà÷à î ðàñïèñàíèè àâòîáóñîâ). Ïðèäÿ íà îñòàíîâêó,ïàññàæèð ïûòàåòñÿ îöåíèòü äëèòåëüíîñòü èíòåðâàëîâ ìåæäó àâòîáóñàìè âûáðàííîãî èì ìàðøðóòà.
Îí àíêåòèðóåò äðóãèõ ïàññàæèðîâ, îæèäàþùèõ ýòîò àâòîáóñ, è ó êàæäîãî èç n ïàññàæèðîâ âûÿñíÿåò âðåìÿ,ïðîâåäåííîå èì íà îñòàíîâêå, ïîëó÷àÿ òàêèì îáðàçîì âûáîðêó X1 , . . . , Xn .Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî X1 , . . . , Xn îáðàçóþò âûáîðêó èç ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ U[0; θ] , ãäå θ > 0 íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð èíòåðâàë âðåìåíè ìåæäó àâòîáóñàìè.Ïåðâûé ïàññàæèð ïðåäëàãàåò äëÿ îöåíêè ïàðàìåòðà θ èñïîëüçîâàòüâûáîðî÷íîå ñðåäíåå, ò. å. ïîëó÷èòü îöåíêó â âèäå eθ1 = c1 X .Âòîðîé ïàññàæèð ïðåäëàãàåò èñïîëüçîâàòü ñàìîå áîëüøîå âðåìÿîæèäàíèÿ, ò. å. ïîëó÷èòü îöåíêó â âèäå eθ2 = c2 X(n) .Òðåòèé ïàññàæèð ïðåäëàãàåò ñëîæèòü ñàìîå áîëüøîå è ñàìîå ìàëåíüêîå âðåìÿ îæèäàíèÿ: eθ3 = X(n) + X(1) .Âû÷èñëèòü êîíñòàíòû c1 , c2 , îáåñïå÷èâàþùèå íåñìåùåííîñòü îöåíîê eθ1 , eθ2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
