1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ìîìåíòîì ïîðÿäêà k ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , èëè íà÷àëüíûì ìîìåíòîì ïîðÿäêà k , íàçûâàåòñÿ ÷èñëîαk = EX k ,åñëè ñîîòâåòñòâóþùåå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñóùåñòâóåò. Àíàëîãè÷íîîïðåäåëÿþòñÿ: àáñîëþòíûé ìîìåíò ïîðÿäêà kβk = E|X|k ,68öåíòðàëüíûé ìîìåíò ïîðÿäêà kµk = E(X − EX)k ,àáñîëþòíûé öåíòðàëüíûé ìîìåíò ïîðÿäêà kνk = E|X − EX|k .Âû÷èñëÿþòñÿ ìîìåíòû ñ ïîìîùüþ ôîðìóëkEX =∞∑∫∞xkn pn ,kxk fX (x)dxEX =n=1−∞äëÿ äèñêðåòíîãî è àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèé ñîîòâåòñòâåííî.Ãîâîðÿò, ÷òî ìîìåíò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íå ñóùåñòâóåò, åñëèñîîòâåòñòâóþùèé ðÿä èëè èíòåãðàë íå ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ.Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè ìîìåíòîâ óòâåðæäàåò, ÷òî èç ñóùåñòâîâàíèÿ ìîìåíòà ïîðÿäêà k > 0 ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû x ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ìîìåíòà ëþáîãî ïîðÿäêà l > 0, ìåíüøåãî, ÷åì k .  ÷àñòíîñòè, èçñóùåñòâîâàíèÿ âòîðîãî ìîìåíòà ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ïåðâîãî ìîìåíòà,òî åñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.Äèñïåðñèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàþò öåíòðàëüíûé ìîìåíòâòîðîãî ïîðÿäêà è îáîçíà÷àþò åå DX ëèáî VarX :DX = VarX = µ2 = E(X − EX)2 .Ïðè âû÷èñëåíèè äèñïåðñèè óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèì åå ïðåäñòàâëåíèåì:DX = EX 2 − (EX)2 ,(9.10)ëåãêî âûòåêàþùèì èç îïðåäåëåíèÿ.
 ñëó÷àå àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äèñïåðñèÿ âû÷èñëÿåòñÿ òàêæå ïî òàêîé ôîðìóëå∫∞(t − EX)2 fX (t)dt.DX =−∞È àíàëîãè÷íî â ñëó÷àå äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿDX =∞∑(xn − EX)2 pn .n=169 òî âðåìÿ êàê ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðåäñòàâëÿåò ñðåäíåå çíà÷åíèåñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, äèñïåðñèÿ õàðàêòåðèçóåò ñðåäíèé êâàäðàò îòêëîíåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îò åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Äèñïåðñèÿ èìååò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà.D1.
Äèñïåðñèÿ íåîòðèöàòåëüíà: DX ≥ 0, è îáðàùàåòñÿ â íóëü òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà ñ.â. íåñëó÷àéíà, ò. å. P(X = C = const) = 1.D2. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü âûíîñèòñÿ èç-ïîä çíàêà äèñïåðñèè ñ êâàäðàòîì:D(CX) = C 2 DX.D3. Ïðèáàâëåíèå ê ñ.â. êîíñòàíòû íå èçìåíÿåò äèñïåðñèè:D(X + C) = DX.D4. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 , ..., Xn ïîïàðíî íåêîððåëèðîâàíû,òåì áîëåå, åñëè îíè íåçàâèñèìû, òî äèñïåðñèÿ èõ ñóììû ðàâíàñóììå äèñïåðñèé:D(X1 + X2 + ... + Xn ) = DX1 + DX2 + ...
+ DXn .(9.11)Ñòàíäàðòíûì (ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì) îòêëîíåíèåì σX íàçû-âàåòñÿ êîðåíü èç äèñïåðñèè:σX =√DX.Ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå èìååò òó æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è èñõîäíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ äèñïåðñèé.Ïðèìåð 9.6. Íàéòè äèñïåðñèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè Bp .X , èìåþùåéÐåøåíèå. Íàïîìíèì, ÷òî ýòî ðàñïðåäåëåíèå ñ.
â. X , ïðèíèìàþùåéëèøü äâà çíà÷åíèÿ 1 è 0 ñ âåðîÿòíîñòÿìè p è q = 1 − p ñîîòâåòñòâåííî. ïðèìåðå 9.1 áûëî íàéäåíî ì.î. EX = p. Òîãäà, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (??),íàõîäèì: DX = EX 2 − (EX)2 = EX 2 − p2 . Çàìåòèì, ÷òî ñ. â. X 2 èìååò òîæå ðàñïðåäåëåíèå, ÷òî è X , à èìåííî: îíà ïðèíèìàåò òå æå äâà çíà÷åíèÿ1 è 0 ñ âåðîÿòíîñòÿìè p è q = 1 − p ñîîòâåòñòâåííî.
Ñëåäîâàòåëüíî,åå ì.î. ñîâïàäàåò ñ ì.î. X , òî åñòü EX 2 = p. Ó÷èòûâàÿ ýòè ñîîáðàæåíèÿ,íàõîäèì îêîí÷àòåëüíî:DX = EX 2 − (EX)2 = p − p2 = p(1 − p) = pq.70Ïðèìåð 9.7. Íàéòè äèñïåðñèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûáèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Bn,p .Y , èìåþùåéÐåøåíèå. Íàéäåì DY , èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà äèñïåðñèè. Êàê è ïðèðåøåíèè ïðèìåðà 9.2, ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó Y ÷èñëî ¾óñïåõîâ¿ â níåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå (9.9):Y = X1 + X2 + ... + Xn ,ãäå ñ.
â. Xk ðàâíà ÷èñëó ¾óñïåõîâ¿ â îäíîì k -ì èñïûòàíèè Áåðíóëëè(k = 1, 2, . . . , n). Ïðè ýòîì, ïîñêîëüêó ñ. â. Xk ñâÿçàíà ñ k -ì èñïûòàíèåìÁåðíóëëè, à èñïûòàíèÿ íåçàâèñèìû, òî ñ. â. X1 , X2 , ... , Xn íåçàâèñèìû.Òîãäà äèñïåðñèÿ ñóììû ðàâíà ñóììå äèñïåðñèé:DY = D(X1 + X2 + ... + Xn ) = DX1 + DX2 + ...
+ DXn = npq,òàê êàê âñå Xk èìåþò ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè Bp è, ïî ïðåäûäóùåìóïðèìåðó, DXk = pq.Óïðàæíåíèå 9.3. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ñ. â. Y èìååò ðàñïðåäåëåíèåÏóàññîíà Πλ , òîDY = EY = λ.Óïðàæíåíèå 9.4. Íàéòè äèñïåðñèþ ñ. â. Y , èìåþùåé ãåîìåòðè-÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå Gp .Óïðàæíåíèå 9.5. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ñ. â. X èìååò ðàâíîìåðíîåðàñïðåäåëåíèå U[a; b] , òî(b − a)2.12Ïðèìåð 9.8.
Íàéòè äèñïåðñèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , èìåþùåéíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Na,σ2 .DX =Ðåøåíèå. Íàéäåì äèñïåðñèþ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà.Âñïîìíèì, ÷òî, ñîãëàñíî ïðèìåðó 9.5, äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Z , èìåþùåé ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåðàâíî íóëþ, è ïîòîìó∫ ∞21DZ = EZ 2 − (EZ)2 = EZ 2 ==t2 e−t /2 dt.sqrt2π −inf tyÝòîò èíòåãðàë âû÷èñëèì ïî ÷àñòÿì: u = t,du = dtDZ = ∫t2t2t2− dv = te 2 dt, v = te− 2 dt = −e− 271=t2 11= √ (−te− 2 ) ∞−∞ + √2π2π∫∞t2e− 2 dt = 0 + 1 = 1.−∞ ïîñëåäíèõ âû÷èñëåíèÿõ áûëè èñïîëüçîâàíû ñîîòíîøåíèÿ:2− t2lim tet→±∞= limt→±∞t2te21= 0, √2π∫∞t2e− 2 dt = 1,−∞ïåðâîå èç êîòîðûõ ïîëó÷àåòñÿ èç ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ, à âòîðîå èç ñâîéñòâàïëîòíîñòè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.Èòàê, äëÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ DZ = 1.Ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ñ ïðîèçâîëüíûì íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåìïðåäñòàâèì â âèäå X = a + σZ , ãäå Z èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.
Ïî ñâîéñòâàì äèñïåðñèè,DX = D(a + σZ) = D(σZ) = σ2 DZ = σ2 · 1 = σ2 .Òàêèì îáðàçîì, ïàðàìåòðû íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Na,σ2 ïðåäñòàâëÿþò ñîîòâåòñòâåííî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû:a = EX, σ2 = DX. 9.3.×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõâåêòîðîâÊîâàðèàöèåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1 , X2íàçûâàåòñÿ ÷èñëî:cov(X1 , X2 ) = E(X1 − EX1 )(X2 − EX2 ).ëó:(9.12)Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîâàðèàöèè ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùóþ ôîðìó-cov(X1 , X2 ) = E(X1 X2 ) − EX1 · EX2 .(9.13)Êîâàðèàöèÿ äëÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îáû÷íî ñ÷èòàåòñÿ ïîñëåäóþùåé ôîðìóëå:cov(X1 , X2 ) =∞ ∑∞∑xn yk P(X1 = xn , X2 = yk ) − EX1 EX2 .k=1 n=1Çàìåòèì, ÷òî åñëè ñ.â. X1 , X2 íåçàâèñèìû, òî êîâàðèàöèÿ èõcov(X1 , X2 ) = 0.  îáùåì æå ñëó÷àå (ò.å.
êîãäà ñ.â. íåðàâíà íóëþ:72îáÿçàòåëüíî íåçàâèñèìû), ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà, ñâÿçûâàþùàÿêîâàðèàöèþ ñ äèñïåðñèÿìè ñ.â. X1 , X2 , X1 + X2 :D(X1 + X2 ) = DX1 + 2cov(X1 , X2 ) + DX2 .(9.14)Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå äîïóñêàåò îáîáùåíèå íà ñëó÷àé n ñëó÷àéíûõñëàãàåìûõ:∑D(X1 +X2 +...+Xn ) = DX1 +DX2 +...+DXn +2cov(Xi , Xj ). (9.15)1≤i<j≤nÊîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1 , X2åòñÿ âåëè÷èíà ρ = ρ(X1 , X2 ), ðàâíàÿ îòíîøåíèþ:cov(X1 , X2 )E(X1 X2 ) − EX1 · EX2√√√ρ(X1 , X2 ) = √=.DX1 DX2DX1 DX2íàçûâà-(9.16)Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ρ = ρ(X1 , X2 ) øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ êàê ìåðàçàâèñèìîñòè ìåæäó ñ.â. X1 , X2 , ââèäó ñëåäóþùèõ ñâîèõ ñâîéñòâ:ρ1.
|ρ| ≤ 1;ρ2. Åñëè ñ.â. X1 , X2 íåçàâèñèìû, òî ρ = ρ(X1 , X2 ) = 0;ρ3. |ρ| = 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà X1 , X2 ñâÿçàíû ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ: X1 = aX2 + b, ïðè ýòîì(ρ = 1) ⇔ (a > 0); 9.4.(ρ = −1) ⇔ (a < 0).Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâÏðèìåð 9.9. Ñòðåëüáà ïî öåëè âåäåòñÿ äî ïåðâîãî ïîïàäàíèÿ, íîäàåòñÿ íå áîëåå äâóõ ïîïûòîê. Êàêîâî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ÷èñëà âûñòðåëîâ, êîòîðûå áóäóò ñäåëàíû, åñëè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êàæäîì âûñòðåëå ðàâíà 0, 2?Ðåøåíèå. ×èñëî ñäåëàííûõ âûñòðåëîâ ýòî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ,êîòîðàÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ëèøü äâà çíà÷åíèÿ 1 èëè 2, ñ âåðîÿòíîñòÿìè 0, 2(ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñðàçó ïðîèçîøëî ïîïàäàíèå è ñòðåëüáà çàêîí÷èëàñü) èëè0, 8 ñîîòâåòñòâåííî.
Ïðè÷åì P(X = 2) = 0, 8 · 0, 2 + 0, 8 · 0, 8 = 0, 8, ò. å. äâåïîïûòêè ìîãóò ïðîèçîéòè â äâóõ ñëó÷àÿõ: ëèáî â ïåðâûé ðàç íå ïîïàëè, íîâî âòîðîé ðàç ïîïàëè, ëèáî è â ïåðâûé, è âî âòîðîé ðàç íå ïîïàëè. Òîãäàìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ëåãêî íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå (9.1):EX = x1 p1 + x2 p2 = 1 · 0, 2 + 2 · 0, 8 = 1, 8.73Äèñïåðñèÿ ñ÷èòàåòñÿ ïî ôîðìóëå:DX = x21 p1 + x22 p2 − (EX)2 = 12 · 0, 2 + 22 · 0, 8 − 1, 82 = 0, 16.▽Ïðèìåð 9.10. Äâóìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð (X, Y ) èìååò ðàñïðåäåëåíèå, çàäàííîå òàáëèöåé:010,100,150,200,150,250,15XY-101à) Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ, äèñïåðñèè è êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ñ. â.
X, Y .á) Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ρ(X + Y, X − 2Y ).Ðåøåíèå. à) ×òîáû âû÷èñëèòü ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè, íàéäåì ÷àñòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. X, Y , çàïèñûâàÿ èõ â äîïîëíèòåëüíûå ñòðîêó è ñòîëáåö äàííîé òàáëèöû ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:XY-101P(X = n)01P(Y = k)0,100,150,200,450,150,250,150,550,250,400,35Èñïîëüçóÿ íàéäåííûå ðÿäû ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. X, Y , âû÷èñëÿåì èõ ì.î.
èäèñïåðñèè:EX = 0 · 0, 45 + 1 · 0, 55 = 0, 55; EY = −1 · 0, 25 + 0 · 0, 40 + 1 · 0, 35 = 0, 10;EX 2 = 02 ·0, 45+12 ·0, 55 = 0, 55; DX = EX 2 −(EX)2 = 0, 55−0, 552 = 0, 2475;EY 2 = (−1)2 ·0, 25+0+12 ·0, 35 = 0, 6; DY = EY 2 −(EY )2 = 0, 6−0, 12 = 0, 59.×òîáû íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè, íàéäåì ñíà÷àëà êîâàðèàöèþ, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (9.13) è òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ X, Y :∑E(XY ) =(n · k)P(X = n, Y = k) = 0 · (−1) · 0, 10 + 0 · 0 · 0, 15 + 0 · 1 · 0, 20+n,k+1 · (−1) · 0, 15 + 1 · 0 · 0, 25 + 1 · 1 · 0, 15 = 0;74cov(X, Y ) = E(XY ) − EX · EY = 0 − 0, 55 · 0, 1 = −0, 055;cov(X, Y )−0, 055√√ρ(X, Y ) = √=√= −0, 144.0, 2475 0, 59DX DYÂåëè÷èíà êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè áëèçêà ê íóëþ, ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñ.â.
X, Y ñëàáî çàâèñèìû.á) Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå êîâàðèàöèè, ïîëó÷àåìcov(X + Y, X − 2Y ) = cov(X, X) − 2cov(X, Y ) + cov(Y, X) − 2cov(Y, Y ) == DX − cov(X, Y ) − 2DY = 0, 2475 − 0, 055 − 2 · 0, 59 = −0, 9875.Äèñïåðñèè ñ.â. X + Y, X − 2Y íàéäåì, ïîëüçóÿñü ñîîòíîøåíèåì (9.14):D(X + Y ) = DX + DY + 2cov(X, Y ) = 0, 2475 − 2 · 0, 055 + 0, 59 = 0, 7275;D(X −2Y ) = DX +4DY −4cov(X, Y ) = 0, 2475−4·0, 055+4·0, 59 = 2, 3875.Îñòàåòñÿ âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè:−0, 9875cov(X + Y, X − 2Y )=√= −0, 749.ρ(X+Y, X−2Y ) = √0, 7275 · 2, 3875D(X + Y )D(X − 2Y )Ïðèìåð 9.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
