1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Ìÿ÷ áðîñàþò äî ïåðâîãî ïîïàäàíèÿ,íî äàþò íå áîëåå 2 ïîïûòîê. Íàéòè ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà ïðîìàõîâ.Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.8.2 Ïî ìèøåíè îäíîâðåìåííî ñòðåëÿþò 2 ñòðåëêà, âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèéêîòîðûõ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 0,3 è 0,6. Íàéòè ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëàïîïàäàíèé â ìèøåíü. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.8.3 Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ìèøåíü ðàâíà 0,6 ïðè êàæäîì âûñòðåëå.Ñòðåëüáà âåäåòñÿ îäèíî÷íûìè âûñòðåëàìè äî ïåðâîãî ïîïàäàíèÿ, ïîêà íåáóäåò èçðàñõîäîâàí áîåçàïàñ.
Íàéòè ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà ïðîèçâåäåííûõ âûñòðåëîâ, åñëè áîåçàïàñ ñîñòàâëÿåò 2 åäèíèöû. Ïîñòðîèòü ãðàôèêôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.8.4 Èãðàëüíóþ êîñòü áðîñàþò n = 6 ðàç. Íàéòè ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ èôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ: à) ÷èñëà âûïàäåíèé øåñòåðêè; á) ðàçíîñòè ÷èñåëâûïàäåíèÿ øåñòåðêè è òðîéêè.8.5 Âåðîÿòíîñòü îòêàçà ñåðâåðà ïðè êàæäîì èç íåçàâèñèìûõ ïîäêëþ÷åíèéñ ïîìîùüþ ìîäåìà ðàâíà 0,3.
Ïîïûòêè ïîäêëþ÷åíèÿ ïðîèçâîäÿòñÿ äî óñòàíîâëåíèÿ ñâÿçè. Íàéòè ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà ïðîèçâåäåííûõ ïîïûòîêïîäêëþ÷åíèÿ, åñëè ÷èñëî ïîïûòîê îãðàíè÷åíî äâóìÿ. Ïîñòðîèòü ãðàôèêôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. 8.6 Èãðàëüíóþ êîñòü áðîñàþò äî ïåðâîãî ïîÿâëåíèÿ øåñòåðêè. Íàéòè ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ è ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëàïðîâåäåííûõ áðîñàíèé.8.7 Ìîíåòó áðîñàþò äî ïîÿâëåíèÿ äâóõ ãåðáîâ.
Íàéòè ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà ïðîâåäåííûõ áðîñàíèé.8.8 Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿxiP(X = xi )-11/301/311/3Ïîñòðîèòü ðÿäû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëåäóþùèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí:à) 2X + 5;ã) 2X ;2á) X + 1;ä) min(X, 1);â) |X|;å) 1/(3 − X).8.9 Ðåøèòü çàäà÷ó 8.8, åñëè äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ðÿäðàñïðåäåëåíèÿxiP(X = xi )-21/10-11/503/1013/1021/108.10 Ñêîðîñòü ïåøåõîäà íà äèñòàíöèè â 1 êì ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè-÷èíîé, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé íà îòðåçêå îò 2 êì/÷ äî 6 êì/÷. Íàéòè61âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âðåìÿ, çàòðà÷åííîå íà ïðåîäîëåíèå äèñòàíöèè, ïðåâûñèò 24 ìèíóòû.8.11 Çàêîí Ðýëåÿ ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ{f (x) =Axe−x2/20ïðè x ≥ 0;ïðè x < 0â ðÿäå ñëó÷àåâ îïèñûâàåò ðàñïðåäåëåíèå ñðîêà ñëóæáû ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðû.
Íàéòè êîýôôèöèåíò A, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ è âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàñïðåäåëåííàÿ ïî çàêîíó Ðýëåÿ, ïðèìåòçíà÷åíèå, áîëüøåå 1.8.12 Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ{A cos 4x ïðè x ∈ [0; π/8];f (x) =0 ïðè x ∈/ [0; π/8].Íàéòè êîýôôèöèåíò A è ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîñòðîèòü ãðàôèêèïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.8.13 Íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X çàäàíàâûðàæåíèåì0 ïðè t ≤ 0;At3 ïðè 0 < t ≤ 2;F (t) =1 ïðè t > 0.Íàéòè êîýôôèöèåíò A, ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ, à òàêæå P(0 < X < 1).Ïîñòðîèòü ãðàôèêè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.8.14 Íà îêðóæíîñòü ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò íàóäà÷óáðîøåíà òî÷êà.
Íàéòè ôóíêöèþ è ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ:à) àáñöèññû òî÷êè ïîïàäàíèÿ;á) äëèíû õîðäû, ñîåäèíÿþùåé òî÷êó ïîïàäàíèÿ ñ òî÷êîé (−R, 0).8.15 Ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê îáðàçîâàí åäèíè÷íûì âåêòîðîì â íàïðàâëåíèè îñè àáöèññ è åäèíè÷íûì âåêòîðîì â ñëó÷àéíîì íàïðàâëåíèè âR2 . Íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ äëèíû òðåòüåé ñòîðîíû.8.16 Èç òî÷êè (0, a) ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ ïîä óãëîì φ ê îñè îðäèíàò. Íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòîé ïðÿìîé ñ îñüþ àáöèññ,åñëè óãîë φ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåí â ïðîìåæóòêå:à) (0, π/2);á) (−π/2, π/2).8.17 Íà îòðåçîê îñè îðäèíàò ìåæäó òî÷êàìè (0, 0) è (0, R) íàóäà÷ó áðîøåíà òî÷êà. ×åðåç òî÷êó ïîïàäàíèÿ ïðîâåäåíà õîðäà îêðóæíîñòèx2 + y 2 = R2 , ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ îñè îðäèíàò.
Íàéòè ðàñïðåäåëåíèåäëèíû ýòîé õîðäû.628.18 Ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì α > 0 (X ⊂= E(α)), åñëè åå ðàñïðåäåëåíèå àáñîëþòíîíåïðåðûâíî ñ ïëîòíîñòüþ:{ce−αt , åñëè t > 0,fX (t) =0,åñëè t ≤ 0.Íàéòè çíà÷åíèå âõîäÿùåé â îïðåäåëåíèå fX (t) ïîñòîÿííîé c è ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ FX (t). Ïîñòðîèòü ãðàôèêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ èôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.8.19 Ìîæíî ëè ïîäîáðàòü ïîñòîÿííóþ c òàê, ÷òîáû ôóíêöèÿ ct−4 áûëàïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ íà ìíîæåñòâå:à) [1; ∞);â) [-2;-1];á) (0; ∞);ã) [-3;0).8.20 Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ðàñïðåäåëåíà ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå[0,1] (X ⊂= U [0; 1]). Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëåäóþùèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí:à) − ln X ;â) − ln(1 − X);á) X − 1/X ;ã) eX−1 .8.21 Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñïàðàìåòðîì α, òî åñòü àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ñ ïëîòíîñòüþ{αe−αt , åñëè t > 0,fX (t) =0,åñëè t ≤ 0.Íàéòè√ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëåäóþùèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí:à) X ;ã) ln(αX);á) X 2 ;ä) e−αX ;â) 2X ;å) min(X, X 2 ).8.21 Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ p.Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëåäóþùèõ âåëè÷èí:à) aX + b, a , b ∈ R, a ̸= 0; ã) X 3 ;á) X −1 ;ä) eX ;2â) X ;å) |X − 1|.63Ãëàâà 9Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå 9.1.Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâàÏóñòü X = X(ω) ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, çàäàííàÿ íà ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω.Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ñ.â.
X íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, îáîçíà÷àåìîå EX èëè MX , êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.Åñëè X èìååò äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå: pn = P(X = xn ), n = 1, 2, . . . ,òî∞∑EX =xn pn .(9.1)n=1Åñëè X èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ fX (x),òî∫∞EX =xfX (x)dx.(9.2)−∞Ãîâîðÿò, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñóùåñòâóåò (êîíå÷íî), åñëè ðÿä â ïðàâîé ÷àñòè (9.1) èëè èíòåãðàë â (9.2) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ.Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå (ì.î.) EX ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñðåäíååçíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:E1. Ì.î. ïîñòîÿííîé ðàâíî ýòîé ïîñòîÿííîé: EC = C.E2.
Ì.î. ëèíåéíî, òî åñòü äëÿ ëþáûõ ïîñòîÿííûõ C1 , C2 è ëþáûõ ñ.â. X1 , X2âûïîëíåíî ðàâåíñòâîE(C1 X1 + C2 X2 ) = C1 EX1 + C2 EX2ïðè óñëîâèè, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ â ïðàâîé ÷àñòè ñóùåñòâóþò. Â÷àñòíîñòè, ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíîñèòü èç-ïîä çíàêà64ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ:E(C · X) = C · EX,(9.3)à ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñóììû ðàâíî ñóììå ìàòåìàòè÷åñêèõîæèäàíèé:E(X1 + X2 + .
. . + Xn ) = EX1 + EX2 + . . . + EXn .(9.4)E3. Åñëè ñ.â. X ≥ 0 c âåðîÿòíîñòüþ 1, òî EX ≥ 0. Ïðè ýòîì EX = 0 ðàâíîñèëüíî P{X = 0} = 1.E4. Åñëè ñ.â. X1 , X2 íåçàâèñèìû, òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå èõ ïðîèçâåäåíèÿ ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé:E(X1 · X2 ) = EX1 · EX2(9.5)ïðè óñëîâèè ñóùåñòâîâàíèÿ ì.î. â ïðàâîé ÷àñòè. Ýòî ñâîéñòâî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ëþáîå ÷èñëî ñ.â.:E(X1 · X2 · · · Xn ) = EX1 · EX2 · · · EXn ,(9.6)åñëè ñ.â. X1 , X2 , ..., Xn íåçàâèñèìû.Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ (9.5), íàçûâàþòñÿíåêîððåëèðîâàííûìè. Òàêèì îáðàçîì, ñâîéñòâî E4 óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè ñ.â. íåçàâèñèìû, òî îíè íåêîððåëèðîâàíû. äàëüíåéøåì íàì ïîíàäîáèòñÿ ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ Eg(X), ãäåg íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ.
Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò àáñîëþòíîíåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî∫ ∞Eg(X) =g(t)fX (t) dt.(9.7)−∞ ñëó÷àå äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ Eg(X) ïðèíèìàåò âèä:∞∑Eg(X) =g(xn )pn .(9.8)n=1 çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé.Ïðèìåð 9.1. Íàéòè ì.î. ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , èìåþùåé ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè Bp .65Ðåøåíèå. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå ñ.
â. X , ïðèíèìàþùåé ëèøü äâà çíà÷åíèÿ 1 è 0 ñ âåðîÿòíîñòÿìè p è q = 1−p ñîîòâåòñòâåííî. Íàïîìíèì, ÷òîðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè èìååò ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàâíàÿ ÷èñëó ¾óñïåõîâ¿ ïðè îäíîì èñïûòàíèè Áåðíóëëè. Ðàñïðåäåëåíèå X äèñêðåòíî, è ðÿäðàñïðåäåëåíèÿ çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì{p, åñëè k = 1P(X = k) =0, åñëè k = 0.Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåEX =∞∑xk pk = 1 · p + 0 · q = p.k=1Ïðèìåð 9.2. Íàéòè ì.î.
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Bn, p .Y , èìåþùåé áèíî-Ðåøåíèå. Íàïîìíèì, ÷òî ñ. â. Y èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèåñ ïàðàìåòðàìè (n, p), ãäå n = 1, 2, . . .; 0 < p < 1 ( Y ⊂= Bn,p ), åñëè îíàìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ 0, 1, ... , n ñ âåðîÿòíîñòÿìè, âû÷èñëÿåìûìèïî ôîðìóëàì Áåðíóëëè:pk = P(Y = k) = Cnk pk q n−k , k = 0, 1, ..., n.Òàêîå ðàñïðåäåëåíèå èìååò ñ. â. Y , ðàâíàÿ ÷èñëó ¾óñïåõîâ¿ â n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè. Ïîñêîëüêó ñ. â. Y åñòü ÷èñëî ¾óñïåõîâ¿ â níåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè, òî åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåY = X1 + X2 + ...
+ Xn ,(9.9)ãäå ñ. â. Xk ðàâíà ÷èñëó ¾óñïåõîâ¿ â îäíîì k -ì èñïûòàíèè Áåðíóëëè(k = 1, 2, . . . , n), ò. å. îíà ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 1 èëè 0 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, áûë ëè ¾óñïåõ¿ â k -ì èñïûòàíèè. ßñíî, ÷òî âñå Xk èìåþò ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè Bp . Òîãäà, ïðèìåíÿÿ ñëåäñòâèå ?? è ðåçóëüòàò ïðåäûäóùåãîïðèìåðà, íàõîäèì áîëåå ïðîñòîé îòâåò:EY = E(X1 + X2 + ... + Xn ) = EX1 + EX2 + ... + EXn = np.Ïðèìåð 9.3. Íàéòè ì.î. ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y , èìåþùåé ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà Πλ .66Ðåøåíèå. Íàïîìíèì, ÷òî ñ.
â. Y èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñïàðàìåòðîì λ > 0, ( Y ⊂= Πλ ), åñëè îíà ìîæåò ïðèíèìàòü öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ ñ âåðîÿòíîñòÿìè, âû÷èñëÿåìûìè ïî ôîðìóëàì:pk = P(Y = k) = e−λλk, k = 0, 1, ... .k!Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ì.î. ïðèìåíèì åãî îïðåäåëåíèå (??):EY =∞∑xk pk =k=1∞∑ke−λk=0= e−λ λ∞∑ λkλk= e−λk=k!k!k=1∞∑λk−1= e−λ λeλ = λ.(k − 1)!k=1 ïîñëåäíèõ âû÷èñëåíèÿõ áûëà èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà Ìàêëîðåíà äëÿïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè:eλ = 1 +∞∑ λk−1λλ2λk−1++ ...
++ ... =.1!2!(k − 1)!(k − 1)!k=1Óïðàæíåíèå 9.1. Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè ñ. â. Y èìååò ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå Gp (Y ⊂= Gp ), òî åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå1ðàâíî EY = .pÏðèìåð 9.4. Íàéòè ì.î. ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , èìåþùåé ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå U[a; b] .Ðåøåíèå. Ñ. â. ξ ⊂= U[a;íèå ñ ïëîòíîñòüþb]èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëå- 1 , åñëè t ∈ [a, b],fX (t) = b − a0,åñëè t ∈/ [a, b].Ì.î. íàõîäèì ïî îïðåäåëåíèþ:∫∞EX =∫btfX (t)dt =−∞abt1t2 a+bb2 − a2dt =· ==.b−ab−a 2 a2(b − a)267Ïðèìåð 9.5. Íàéòè ì.î. ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , èìåþùåé íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Na,σ2 .Ðåøåíèå.
Íàïîìíèì, ÷òî ñ. â. X ⊂= Na,σ2 èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ2(t−a)1−fX (t) = √ e 2σ2 ,σ 2π−∞ < t < ∞.Ì.î. íàõîäèì ïî îïðåäåëåíèþ:∫∞EX =tfX (t)dt =−∞1√σ 2π∫∞−xe(t−a)22σ2dt.−∞Âû÷èñëèì ïîñëåäíèé èíòåãðàë, ïðèáåãíóâ ê çàìåíå ïåðåìåííîé:1√σ 2π∫∞−xe(t−a)22σ2−∞1= √σ 2πσ=√2π∫∞−∞y2ye− 2 y = t−a ,σ= dt = σdy,∫∞(σy + a)e−t = σy + a =−∞ < y < ∞ y22σdy =−∞ady + √2π∫∞e−y22dy = 0 + a · 1 = a.−∞Óïðàæíåíèå 9.2. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñ. â. X èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Eα (X ⊂= Eα ), òî åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå1ðàâíî EX = .α 9.2.Ìîìåíòû è äèñïåðñèÿÏóñòü k > 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
