1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 13
Текст из файла (страница 13)
. Òîãäà è ñóììû Sn èìåþò êîíå÷íûå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ:ESn = na, DSn = nσ2 .Ïåðåéäåì ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè öåíòðèðîâàííûõ è íîðìèðîâàííûõ ñóìì:n∑fn = Sn√− ESn =SDSnk=1Xk − na√.σ nfn = 0, DSfn = 1. Îáîçíà÷èì òàêæå ÷åðåçÎ÷åâèäíî, ESfn (x) = P(Sfn < x) ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ öåíòðèðîâàííûõ è íîðìèðîF∫x − u2fn , à ÷åðåç Φ(x) = √1âàííûõ ñóìì Se 2 du ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ2π−∞ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà N (0, 1).Òåîðåìà 10.4.
(ÖÏÒ äëÿ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëàãàåìûõ.)Ïóñòü {Xn }∞n=1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ êîíå÷íûå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå EXn = a è äèñïåðñèþ DXn = σ2 > 0. Òîãäà äëÿ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà âûïîëíÿåòñÿ â ñëåäóþùåìâèäå: äëÿ âñåõ x ∈ R âûïîëíåíî()Sn − naf√Fn (x) = P< x → Φ(x), n → ∞,(10.1)σ nèëè äëÿ âñåõx1 , x2 ∈ R (x1 < x2 ) âûïîëíåíî()Sn − na√< x2 = Φ(x2 ) − Φ(x1 ), n → ∞,lim P x1 ≤n→∞σ n83(10.2)òî åñòü öåíòðèðîâàííûå è íîðìèðîâàííûå ñóììû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíñõîäÿòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå, èìåþùåé ñòàíäàðòíîåíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.Âàæíûì ñëåäñòâèåì òåîðåìû 10.4 ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 10.5.
(Ìóàâðà Ëàïëàñà). Ïóñòü ν ÷èñëî ¾óñïåõîâ¿ â níåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ ñõåìû Áåðíóëëè, è p âåðîÿòíîñòü ¾óñïåõà¿â êàæäîì èñïûòàíèè. Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ðàâíîñèëüíûå ïðåäåëüíûå ñîîòíîøåíèÿ:)(ν − np< x → Φ(x), n → ∞,(10.3)P √npq()ν − npP x1 ≤ √< x2 → Φ(x2 ) − Φ(x1 ), n → ∞,(10.4)npqãäå∫xu21q = 1 − p ; Φ(x) = √e− 2 du.2π−∞Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ν åñòü ÷èñëî ¾óñïåõîâ¿ â n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè, òî åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü ââèäå ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí:ν = Sn = X1 + X2 + ...
+ Xn ,ãäå ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Xk ðàâíà ÷èñëó ¾óñïåõîâ¿ â îäíîì k -ì èñïûòàíèèÁåðíóëëè (k = 1, 2, . . . , n), ò. å. îíà ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 1 èëè 0 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, áûë ëè ¾óñïåõ¿ â k -ì èñïûòàíèè. ßñíî, ÷òî âñå Xk èìåþòîäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè Bp . Åñëè âñïîìíèòü, ÷òî èõ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ðàâíû EXk = a = p è DXk = σ2 = pqñîîòâåòñòâåííî, òî âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 10.4 âûïîëíåíû, à äîêàçûâàåìûåñîîòíîøåíèÿ (10.3)(10.4) ïîëó÷àþòñÿ ïîäñòàíîâêîé íîâûõ îáîçíà÷åíèé âñîîòíîøåíèÿ (10.1)(10.2) èç òåîðåìû 10.4. 10.3.Òåîðåìà ÏóàññîíàÒåîðåìà Ïóàññîíà äàåò äðóãîå ïðèáëèæåíèå â ñõåìå Áåðíóëëè.
Íàïîìíèì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèåì Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ > 0 íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå âèäàP{X = k} = πk = e−λ84λk; k = 0, 1, . . . .k!Óñëîâèÿ ñáëèæåíèÿ áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ðàñïðåäåëåíèåìÏóàññîíà, óïðîùåííî ãîâîðÿ, ñîñòîÿò â òîì, ÷òî ÷èñëî n èñïûòàíèé âåëèêî, à âåðîÿòíîñòü p ¾óñïåõà¿ â êàæäîì èñïûòàíèè ìàëà. Áîëåå òî÷íàÿôîðìóëèðîâêà ñîäåðæèòñÿ â ñëåäóþùåé òåîðåìå.Òåîðåìà 10.6. (Ïóàññîí).
Ïóñòü n ÷èñëî èñïûòàíèé â ñõåìåÁåðíóëëè íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò, à âåðîÿòíîñòü ¾óñïåõà¿ îäíàè òà æå äëÿ âñåõ èñïûòàíèé çàâèñèò îò n : p = p(n); ïðè÷åì p =p(n) → 0 òàêèì îáðàçîì, ÷òî np → λ > 0 ïðè n → ∞. Òîãäà äëÿ ëþáîãîôèêñèðîâàííîãî öåëîãî k ≥ 0 âûïîëíÿåòñÿ ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå:Pn,p (k) → πk ,n → ∞,(10.5)ãäåλk.k!Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùåå ñòàíäàðòíîå äëÿìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà îáîçíà÷åíèå ýêâèâàëåíòíûõ ïåðåìåííûõ:Pn,p (k) = Cnk pk q n−k ;α n ∼ βn⇔limn→∞αn=1βnπk = e−λ⇔ αn = βn + o(βn ).λ, q = 1−p → 1nïðè n → ∞. Äîêàæåì ñîîòíîøåíèå (10.5) ñíà÷àëà äëÿ k = 0:Èç óñëîâèé äîêàçûâàåìîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî p ∼1lim Pn,p (0) = lim Cn0 p0 q n = lim q n = lim (1 − p)n = lim [(1 − p) p ]pn =n→∞n→∞n→∞n→∞1p= lim [(1 − p) ]λλ(n+o( n))·nn→∞n→∞= e−λ .Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî îñíîâàíèå ñòåïåíè(1 − p)1/p → e−1 , à ïîêàçàòåëü ( nλ + o( nλ )) · n = λ + o( nλ ) · n → λ. Òàêèìîáðàçîì,Pn,p (0) → e−λ = π0 , n → ∞.(10.6)Íàéäåì òåïåðü ïðåäåë îòíîøåíèÿPn,p (k)p · (n − k + 1)=.Pn,p (k − 1)k·qÏðè ýòîì, ïîñêîëüêó n → ∞, à k ≥ 1 ôèêñèðîâàíî, ìîæíî ñ÷èòàòü,÷òî k ≤ n.
Áóäåì òàêæå èñïîëüçîâàòü òîò ôàêò, ÷òî ïðåäåë íå ìåíÿåòñÿ, åñëè ëþáîé ñîìíîæèòåëü â ¾äîïðåäåëüíîì¿ âûðàæåíèè çàìåíèòü íà85ýêâèâàëåíòíûé.Pn,p (k)p · (n − k + 1)= lim= limn→∞ Pn,p (k − 1)n→∞n→∞k·qlimÒàêèì îáðàçîì,λn· (n − k + 1)λ= .k·1kPn,p (k)λ→ , n → ∞.Pn,p (k − 1)k(10.7)Íàêîíåö, äëÿ ëþáîãî öåëîãî k ≥ 1 ïðåäñòàâèì âåðîÿòíîñòü Pn,p (k) ââèäåPn,p (1) Pn,p (2)Pn,p (k)Pn,p (k) = Pn,p (0) ·····.Pn,p (0) Pn,p (1)Pn,p (k − 1)Çàìåíÿÿ â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ êàæäûé ñîìíîæèòåëü åãîïðåäåëîì èç (10.6) è (10.7), íàéäåì ïðåäåë ïðîèçâåäåíèÿPn,p (1)Pn,p (k)· · · lim=n→∞ Pn,p (0)n→∞ Pn,p (k − 1)lim Pn,p (k) = lim Pn,p (0) · limn→∞n→∞= e−λ ·λλλλk·· ··· ·= e−λ ·= πk .12kk!Ïðèìåð 10.1.
Èçâåñòíî, ÷òî ëåâøè ñîñòàâëÿþò â ñðåäíåì 1% âñåãî íàñåëåíèÿ. Îöåíèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïî ìåíüøåé ìåðå òðîåëåâøåé îêàæåòñÿ ñðåäè 200 ÷åëîâåê.Ðåøåíèå. Åñòåñòâåííî èñïîëüçîâàòü ñõåìó Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðàìèn = 200; p = 0, 01. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ν ÷èñëî ëåâøåé, îêàçàâøèõñÿ â äàííîé ãðóïïå (÷èñëî ¾óñïåõîâ¿ â n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ). Òîãäà òî÷íîåçíà÷åíèå èñêîìîé âåðîÿòíîñòè âûðàæàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóë Áåðíóëëè:) 200( 200200∪∑∑k(ν = k) =P(ν = k) =C200pk q 200−k .P(ν ≥ 3) = Pk=3k=3k=3Ïðè ïîäñòàíîâêå çíà÷åíèé p = 0, 01; q = 0, 99 ïîëó÷èì âûðàæåíèå,âåñüìà òðóäîåìêîå äëÿ âû÷èñëåíèé.
Âïðî÷åì, ïåðåéäÿ ê ïðîòèâîïîëîæíîìó ñîáûòèþ, ìû çíà÷èòåëüíî óìåíüøèì ÷èñëî ñëàãàåìûõ â ñóììå. Êðîìå òîãî, çàìåíèâ âåðîÿòíîñòè áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Cnk pk q n−k =kPn,p (k) âåðîÿòíîñòÿìè e−λ · λk! = πk ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà, ìû ïîëó÷èìáîëåå ïðîñòîå ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå èñêîìîé âåðîÿòíîñòè:P(ν ≥ 3) = 1 − P(ν < 3) = 1 −2∑k=086P(ν = k) ≈ 1 − π0 − π1 − π2 .Âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé πk = e−λ · λk! ïðè λ = np = 2. Ïîëó÷èìkP(ν ≥ 3) ≈ 1 − 0, 68 = 0, 32.Çàìå÷àíèå 10.1.  òåîðåìå 10.6 óñòàíàâëèâàåòñÿ ëèøü ñàì ôàêòïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâà Pn,p (k) ≈ πk ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n.
Îäíàêîäëÿ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ ýòîãî ïðèáëèæåíèÿ íåîáõîäèìî çíàòüîöåíêó äîïóñêàåìîé ïîãðåøíîñòè. Åñëè, ïðèìåíÿÿ óêàçàííîå ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî, ìû äîïóñêàåì îøèáêó, ñðàâíèìóþ ñ ðåçóëüòàòîì âû÷èñëåíèÿ, òî èñïîëüçîâàíèå ïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâà òåðÿåò ñìûñë. Ìûóâèäèì ïîçæå, ÷òî â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå îøèáêà ïðèáëèæåíèÿ Ïóàññîíà íå ïðåâûøàåò 0,01. ôîðìóëèðóåìîé íèæå òåîðåìå óñòàíàâëèâàåòñÿ íå òîëüêî âîçìîæíîñòü çàìåíû áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàñïðåäåëåíèåì Ïóàññîíà, íîè äàåòñÿ îöåíêà ïîãðåøíîñòè, âîçíèêàþùåé ïðè òàêîé çàìåíå. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû âûõîäèò çà ðàìêè ýëåìåíòàðíîãî êóðñà òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ïîýòîìó ìû îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî åå ôîðìóëèðîâêîé.Òåîðåìà 10.7. Ïóñòü ν ÷èñëî ¾óñïåõîâ¿ â n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ ñõåìû Áåðíóëëè, à p âåðîÿòíîñòü ¾óñïåõà¿ â êàæäîì èñïûòàíèè.Òîãäà äëÿ ëþáîãî ÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà A ⊆ R ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî∑∑∑|P(ν ∈ A) −πk | = |Pn,p (k) −πk | ≤ min(p; np2 ),(10.8)k∈Ak∈Ak∈Aãäåλ = np ;Pn,p (k) = Cnk pk q n−k ;πk = e−λλk.k!Âîçâðàùàÿñü ê ïðèìåðó 10.2, ïîëó÷åííûé ïðè åãî ðåøåíèè îòâåò ïðåäñòàâèì â âèäåP(ν ≥ 3) = 0, 32 + ∆,ãäå ïîãðåøíîñòü ∆ îöåíèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 10.7:|∆| ≤ min(p, np2 ) = min(0, 01, 0, 02) = 0, 01.Õîòåëîñü áû òàêæå èìåòü âîçìîæíîñòü îöåíèâàòü îøèáêó, âîçíèêàþùóþ ïðè èñïîëüçîâàíèè íîðìàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
 íåêîòîðîé ñòåïåíè ýòó âîçìîæíîñòü ïðåäîñòàâëÿåò ñëåäóþùèéðåçóëüòàò, êîòîðûé ìû ïðèâîäèì èç [13] áåç äîêàçàòåëüñòâà.87Òåîðåìà 10.8. (Áåððè Åññåí). Ïóñòü X1 , X2 , ..., Xn íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå îäèíàêîâîå ðàñïðåäåëåíèå. ÏóñòüE|X1 |3òàêæå EX1 = 0, EX12 = o2 > 0, E|X1 |3 < ∞, ρ =. Òîãäà âûïîëσ3íÿåòñÿ ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî Áåððè Åññåíà: ()nρ1 ∑√Xk < x − Φ(x) ≤ A √ ,(10.9)sup Pσ nnx k=1ãäå Φ(x) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà.Ñëåäñòâèå 10.1. Îøèáêà, âîçíèêàþùàÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè òåîðåìûÌóàâðà Ëàïëàñà, îöåíèâàåòñÿ ñëåäóþùèì íåðàâåíñòâîì: ()ν − npp2 + q 2∆ = sup P √< x − Φ(x) ≤ A √.(10.10)npqnpqxÈçâåñòíî, ÷òî â êà÷åñòâå êîíñòàíòû A ìîæíî âçÿòü 0,4. Èòàê, ïðèïðèìåíåíèè ïðåäåëüíûõ òåîðåì ê ñõåìå Áåðíóëëè áóäåì äåéñòâîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: âû÷èñëèì ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûå ïîãðåøíîñòè â òåîðåìàõ ÌóàâðàËàïëàñà è Ïóàññîíà è ñðàâíèì èõ. Åñëèp2 + q 20, 4 √≥ min(np2 , p),np(1 − p)òî áóäåì èñïîëüçîâàòü òåîðåìó Ïóàññîíà.
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå áóäåìèñïîëüçîâàòü òåîðåìó ÌóàâðàËàïëàñà.Åñëè â óñëîâèÿõ ïðèìåðà 10.2 ïîëîæèòü p = 0, 5, òî äëÿ ïîãðåøíîñòè∆ ìîæíî ãàðàíòèðîâàòü ëèøü ñëåäóþùóþ ãðàíèöó:|∆| ≤ min(p, np2 ) = min(0, 5, 50) = 0, 5.Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçîâàíèå ïðèáëèæåíèÿ Ïóàññîíà ïðè p = 0, 5íåäîïóñòèìî.Ïðèìåð 10.2. Ïðîåêòèðóåòñÿ òåëåôîííàÿ ñòàíöèÿ íà 300 íîìåðîâ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êàæäûé èç ïîëüçîâàòåëåé, íåçàâèñèìî îò äðóãèõ, ïîëüçóåòñÿ òåëåôîííîé ñâÿçüþ â ñðåäíåì îäíó ìèíóòó â ÷àñ.
Êàêèìäîëæíî áûòü ìèíèìàëüíîå ÷èñëî êàíàëîâ ñâÿçè, ÷òîáû ñ âåðîÿòíîñòüþ,íå ìåíüøåé 90 %, ëþáîé âûçîâ íå ïîëó÷èë áû îòêàçà.88Ðåøåíèå. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü äåéñòâèÿ êàæäîãî èç n = 300 àáîíåíòîâ â òå÷åíèå íåêîòîðîãî êîðîòêîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè êàê íåçàâèñèìûåèñïûòàíèÿ, à ¾óñïåõîì¿ áóäåì ñ÷èòàòü òî, ÷òî àáîíåíò âîñïîëüçîâàëñÿ òåëåôîííîé ñâÿçüþ. Âåðîÿòíîñòü ¾óñïåõà¿ ïî óñëîâèþ ðàâíà p = 1/60. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ν ÷èñëî àáîíåíòîâ, âîñïîëüçîâàâøèõñÿ òåëåôîííîé ñâÿçüþçà ðàññìàòðèâàåìûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
