1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Âû÷èñëèòü EX, DX. Êàêîå ðàñïðåäåëåíèåèìååò ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ?11.6 Äàíà âûáîðêà X ⊂= Π(λ), λ > 0 íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð. Ïðîâåðèòü,÷òî ñòàòèñòèêè1∑X 1 + XnI(Xi = k), T3 =n i=12nT1 = X, T2 =ÿâëÿþòñÿ íåñìåùåííûìè îöåíêàìè ñîîòâåòñòâåííî äëÿ λ, λk! e−λ è λ.ßâëÿþòñÿ ëè ýòè îöåíêè ñîñòîÿòåëüíûìè?11.7 Ïî âûáîðêå (X1 , . . . , Xn ) èç áåðíóëëèåâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Bp ñíåèçâåñòíûì ïàðàìåòðîì p ∈ (0; 1) ïîñòðîèòü îöåíêè ïàðàìåòðà p:a) ïî ïåðâîìó ìîìåíòó;á) ïî âòîðîìó ìîìåíòó;â) ïî ïðîèçâîëüíîìó k -ìó ìîìåíòó.Ìîæíî ëè îòäàòü ïðåäïî÷òåíèå êàêîé-ëèáî èç ïîñòðîåííûõ îöåíîê?Èññëåäîâàòü èõ ñîñòîÿòåëüíîñòü è íåñìåùåííîñòü.11.8 Ïî âûáîðêå (X1 , .
. . , Xn ) èç áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Bm,p ïîñòðîèòü îöåíêè ìåòîäîì ìîìåíòîâ:a) ïàðàìåòðà p ïî ïåðâîìó è ïî âòîðîìó ìîìåíòó ïðè èçâåñòíîì m > 0;á) ïàðàìåòðîâ p è m.Èññëåäîâàòü ñîñòîÿòåëüíîñòü ïîñòðîåííûõ îöåíîê.11.9 Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà θ > 0 ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî ñ ïëîòíîñòüþ{ θ, t ≥ 1,tθ+1fθ (t) =0,t<1kñóùåñòâóåò îöåíêà ïàðàìåòðà ïî ïåðâîìó ìîìåíòó? Ìîæíî ëè ïîñòðîèòüñîñòîÿòåëüíóþ îöåíêó ìåòîäîì ìîìåíòîâ â ñëó÷àå, êîãäà îöåíêè ïî ïåðâîìó ìîìåíòó íå ñóùåñòâóåò?11.10 Ïî âûáîðêå (X1 , . .
. , Xn ) èç ðàñïðåäåëåíèÿ Ëàïëàñà ñ ïëîòíîñòüþfλ (t) = 2λ e−λ|t| , t ∈ R, ïîñòðîèòü îöåíêó ïàðàìåòðà λ > 0 ìåòîäîì ìîìåíòîâ.11.11 Ïóñòü äàíà âûáîðêà èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìèα è σ2 . Èñïîëüçóÿ ìåòîä ìîìåíòîâ, ïîñòðîèòü îöåíêèà) íåèçâåñòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ α;á) íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè σ2 , åñëè α èçâåñòíî;109â) íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè σ2 , åñëè α íåèçâåñòíî.Èññëåäîâàòü ïîëó÷åííûå îöåíêè íà íåñìåùåííîñòü è ñîñòîÿòåëüíîñòü.11.12 Èñïîëüçóÿ ìåòîä ìîìåíòîâ, îöåíèòü ïàðàìåòð θ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà îòðåçêåà) [−θ; θ], θ > 0; á) [θ; θ + 1].Èññëåäîâàòü ïîëó÷åííûå îöåíêè íà íåñìåùåííîñòü è ñîñòîÿòåëüíîñòü.11.13 Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìîìåíòîâ íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðîâ a è b ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà îòðåçêå [a, b].
Áóäóò ëè îíè ñîñòîÿòåëüíûìè?11.14 Èñïîëüçóÿ ìåòîä ìîìåíòîâ, ïîñòðîèòü áåñêîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçëè÷íûõ îöåíîê ïàðàìåòðà θ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà îòðåçêå [0; θ]. Áóäóò ëè ïîëó÷åííûå îöåíêè ñîñòîÿòåëüíûìè?11.15 Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìîìåíòîâ ïîñòðîèòü îöåíêó ïàðàìåòðà θ > 0,åñëè ðàñïðåäåëåíèå âûáîðêè èìååò ïëîòíîñòüà) θtθ−1 ïðè t ∈ [0; 1]; á) 2t/θ2 ïðè t ∈ [0; θ].Èññëåäîâàòü ïîëó÷åííûå îöåíêè íà ñîñòîÿòåëüíîñòü.11.16 Äàíà âûáîðêà èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ{ 2 −33t θ , t ∈ [0; 1],fθ (t) =0,t ̸∈ [0; 1].Íàéòè îöåíêó ïàðàìåòðà θ > 0 ìåòîäîì ìîìåíòîâ, èññëåäîâàòü åå íàíåñìåùåííîñòü è ñîñòîÿòåëüíîñòü.11.17 Ìåòîäîì ìîìåíòîâ íàéòè îöåíêó ïàðàìåòðà α > 0 ïî âûáîðêå èçïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ fα (t) = αe−αt , t > 0. Áóäåòëè îöåíêà íåñìåùåííîé è ñîñòîÿòåëüíîé?11.18 Ïî âûáîðêå (X1 , .
. . , Xn ) ìåòîäîì ìîìåíòîâ íàéòè äâå ðàçëè÷íûåîöåíêè ïàðàìåòðà p ∈ (0, 1), åñëè èçâåñòíî, ÷òîP {X1 = 1} = p/2, P {X1 = 2} = p/2, P {X1 = 3} = 1 − p.Áóäóò ëè ïîëó÷åííûå îöåíêè íåñìåùåííûìè è ñîñòîÿòåëüíûìè?110Ãëàâà 12Îöåíêè ìàêñèìàëüíîãîïðàâäîïîäîáèÿ.Ñðàâíåíèå îöåíîê 12.1.Ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ⃗ ⊂Ïóñòü X= F (t, θ), θ ∈ Θ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òåîðåòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ëèáî àáñîëþòíî íåïðåðûâíî ñ ïëîòíîñòüþ f (t, θ) = fXi (t), ëèáîäèñêðåòíî, ïðè ýòîì äëÿ ðÿäà ðàñïðåäåëåíèÿ áóäåì èñïîëüçîâàòü òî æåîáîçíà÷åíèå: f (t, θ) = P(Xi = t).
Ôóíêöèåé ïðàâäîïîäîáèÿ, ñîîòâåò⃗ , íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿñòâóþùåé âûáîðêå X⃗ θ) =Π(θ) = Π(X,n∏f (Xi , θ).(12.1)i=1Îöåíêîé ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ (ÎÌÏ) íàçûâàåòñÿ òà⃗ , ïðè êîòîðîì ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿêîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ = θ̂(X)ïðèíèìàåò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå, òî åñòü⃗ θ̂) = max Π(X,⃗ θ).Π(X,θ∈Θ(12.2)Åñëè ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ äèôôåðåíöèðóåìà ïðè âñåõ θ ∈ Θ, òîçíà÷åíèå θ = θ̂ äîëæíî áûòü ðåøåíèåì óðàâíåíèÿΠ′ (θ) = 0,111(12.3)êîòîðîå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ïðàâäîïîäîáèÿ, èëè ýêâèâàëåíòíîãî óðàâíåíèÿn∑ddln Π(θ) = 0 ⇐⇒ln f (Xi , θ) = 0.(12.4)dθdθi=160y = Π(θ, X)-X(n)θÐèñ. 12.1: Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ X⃗ ⊂= U[0,θ].Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé ìíîãîìåðíîãî ïàðàìåòðà, ïðåäïîëîæèâîïÿòü äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî θ = (θ1 , θ2 ) - äâóìåðíûé ïàðàìåòð.
Òîãäà äëÿíàõîæäåíèÿ ÎÌÏ íóæíî íàéòè òî÷êó θ̂ = (θ̂1 , θ̂2 ) íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ Π(θ1 , θ2 ).  ÷àñòíîñòè, åñëè ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ äèôôåðåíöèðóåìà, òî äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è, âìåñòî óðàâíåíèÿïðàâäîïîäîáèÿ (12.3) èëè (12.4), íóæíî íàéòè ðåøåíèå ñëåäóþùåé ñèñòåìûóðàâíåíèé:∂Π(θ1 ,θ2 )= 0,∂θ1(12.5) ∂Π(θ1 ,θ2 ) = 0.∂θ2 12.2.Ñðàâíåíèå îöåíîê:ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèé ïîäõîä⃗ ⊂⃗ êàêàÿ-íèáóäü îöåíêà ïàðàÏóñòü X= F (t, θ), θ ∈ Θ, è eθ=eθ(X)ìåòðà θ.
Òàê êàê îöåíêà ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, òî äàæå ñâîéñòâîíåñìåùåííîñòè íå ãàðàíòèðóåò áëèçîñòü åå êîíêðåòíîé ðåàëèçàöèè eθ(⃗x) êîöåíèâàåìîìó ïàðàìåòðó. Åñëè îöåíêà ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé, òî òàêàÿ112áëèçîñòü ãàðàíòèðóåòñÿ ñ çàäàííîé âåðîÿòíîñòüþ, íî òîëüêî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ îáúåìàõ âûáîðêè n. Ïðè ôèêñèðîâàííîì îáúåìå âûáîðêèíàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííîé ¾ìåðîé áëèçîñòè¿ îöåíêè ê îöåíèâàåìîìó ïàðàìåòðó ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà, èëè ñðåäíåå çíà÷åíèå êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ E(eθ − θ)2 .Èç äâóõ îöåíîê eθ1 ñ÷èòàåòñÿ ëó÷øå, ÷åì eθ2 , åñëè ïðè âñåõ θ ∈ Θâûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîE(eθ1 − θ)2 ≤ E(eθ2 − θ)2 ,(12.6)à õîòÿ áû äëÿ îäíîãî θ íåðàâåíñòâî â (12.6) îêàçûâàåòñÿ ñòðîãèì.Çàìåòèì, ÷òî êâàäðàòè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà îöåíêè íå ìåíüøå åå äèñïåðñèè, è ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ äëÿ íåñìåùåííûõ îöåíîê:()2()2E(eθ − θ)2 = E(eθ − θ) + D(eθ − θ) = Eeθ − θ + Deθ ≥ Deθ.Åñëè eθ íåñìåùåííàÿ îöåíêà ïàðàìåòðà θ, òî åñòü Eeθ = θ, òî äëÿ íåå()2E(eθ − θ)2 = Eeθ − θ + Deθ = Deθ.Îòìåòèì, ÷òî ïðè ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ïîäõîäå ê ñðàâíåíèþ îöåíîêíåëüçÿ íàéòè íàèëó÷øóþ â êëàññå âñåõ îöåíîê (â ÷àñòíîñòè, ñóùåñòâóþòíåñðàâíèìûå îöåíêè).Òåîðåìà 12.1.
 íåâûðîæäåííîé ñòàòèñòè÷åñêîé çàäà÷å (òî åñòüâ ñèòóàöèè, êîãäà ïî âûáîðêå íåëüçÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü íåèçâåñòíûéïàðàìåòð) íå ñóùåñòâóåò íàèëó÷øåé â êëàññå âñåõ îöåíîê.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò íàèëó÷øàÿ â êëàññå âñåõîöåíîê ïàðàìåòðà θ îöåíêà θ̌. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ äóðàöêóþ îöåíêóθ̃d = θ0 . Ýòà îöåíêà ðàâíÿåòñÿ êîíñòàíòå θ0 äëÿ ëþáûõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé, òî åñòü íèêàê íå èñïîëüçóåò èíôîðìàöèþ, ïðåäñòàâëåííóþ âûáîðêîé.Îäíàêî åñëè θ0 âîçìîæíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ, òî íåëüçÿ èñêëþ÷èòüñèòóàöèè, êîãäà θ = θ0 (äóðàöêàÿ îöåíêà ìîæåò îêàçàòüñÿ íàèáîëåå âåðíîé, åñëè ïðàâèëüíî óãàäûâàåò çíà÷åíèå íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà).  ýòîìñëó÷àå êâàäðàòè÷íàÿ õàðàêòåðèñòèêà ýòîé îöåíêè ðàâíà 0:E(θ̃d − θ)2 = E(θ0 − θ0 )2 = 0.Íî åñëè îöåíêà θ̌ íå õóæå, ÷åì θ̃d , òî åå êâàäðàòè÷íàÿ õàðàêòåðèñòèêàâñåãäà íå áîëüøå, ÷åì êâàäðàòè÷íàÿ õàðàêòåðèñòèêà îöåíêè θ̃d äëÿ ëþáîãîθ.
 ÷àñòíîñòè, ïðè θ = θ0 ïîëó÷àåì:E(θ̌ − θ0 )2 ≤ E(θ0 − θ0 )2 = 0.113Îòñþäà E(θ̌ − θ0 )2 = 0, òî åñòü θ̌ = θ0 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò íåâûðîæäåííîñòè ñòàòèñòè÷åñêîé çàäà÷è ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òîïî âûáîðêå íåëüçÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð. Èòàê, íåìîæåò ñóùåñòâîâàòü íàèëó÷øåé â êëàññå âñåõ îöåíîê. Òåîðåìà äîêàçàíà.Äëÿ òîãî, ÷òîáû èçáåæàòü íåîáõîäèìîñòè ñðàâíèâàòü ïîëó÷àåìûå îöåíêè ñ âûðîæäåííûìè îöåíêàìè (ðàññìîòðåííûìè â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû), íóæíî îãðàíè÷èòü êëàññ ðàññìàòðèâàåìûõ îöåíîê.
Êàê ïðàâèëî, ñðàâíèâàþò òîëüêî íåñìåùåííûå îöåíêè. Ñðåäè íåñìåùåííûõ îöåíîêíàèëó÷øàÿ îöåíêà ïàðàìåòðà äëÿ çàäàííîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâàìîæåò ñóùåñòâîâàòü. Åå íàçûâàþò ýôôåêòèâíîé îöåíêîé. Ýôôåêòèâíàÿîöåíêà èìååò íàèìåíüøóþ äèñïåðñèþ èç âñåõ íåñìåùåííûõ îöåíîê.Ê ñîæàëåíèþ, òàêîå îïðåäåëåíèå ýôôåêòèâíîé îöåíêè íåïðèãîäíî äëÿïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ, òàê êàê äëÿ ïðîâåðêè îïòèìàëüíîñòè îäíîéîöåíêè òðåáóåòñÿ ñðàâíèâàòü äèñïåðñèè âñåõ îöåíîê âñåõ íåñìåùåííûõ îöåíîê. Ïîýòîìó æåëàòåëüíî èìåòü êðèòåðèé, ïîçâîëÿþùèé ïðîâåðÿòü îïòèìàëüíîñòü îöåíêè íà îñíîâàíèè õàðàêòåðèñòèê ðàñïðåäåëåíèÿ òîëüêî ýòîéîöåíêè.
Îäèí èç òàêèõ êðèòåðèåâ îñíîâàí íà íåðàâåíñòâå Ðàî-Êðàìåðà,êîòîðîå ñôîðìóëèðîâàíî íèæå.Äëÿ ôîðìóëèðîâêè òî÷íîãî ðåçóëüòàòà ââåäåì äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå. Ïóñòü ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (t, θ) ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè èìååòïëîòíîñòü èëè ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå ìû, êàê è ïðåæäå, îáîçíà÷àåì îäèíàêîâî: f (t, θ)). Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (t, θ) óäîâëåòâîðÿåò íåêîòîðûì àíàëèòè÷åñêèì óñëîâèÿì, êîòîðûå áóäåì íàçûâàòüóñëîâèÿìè ðåãóëÿðíîñòè (óñëîâèÿ (R)), è ñóòü êîòîðûõ çàêëþ÷àåòñÿ ââîçìîæíîñòè ìåíÿòü ïîðÿäîê äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî θ è èíòåãðèðîâàíèÿïî ⃗x ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ Π(⃗x, θ), ñîîòâåòñòâóþùåé f (t, θ). Òî÷íàÿôîðìóëèðîâêà ýòèõ óñëîâèé äîâîëüíî ñëîæíà, ïðèâåäåìâ êà÷åñòâå ïðèìå√ðà óñëîâèå èç [1], äîñòàòî÷íîå äëÿ (R): ôóíêöèÿf (t, θ) äèôôåðåíöèðóåìà ïî θ ∈ Θ, è ôóíêöèÿ i(θ), íàçûâàåìàÿ èíôîðìàöèåé ïî Ôèøåðó èîïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì(i(θ) = E∂ ln f (Xi , θ)∂θ)2,(12.7)ñóùåñòâóåò, ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà è íåïðåðûâíà ïî θ äëÿ âñåõ θ ∈ Θ.Ïðèìåðîì ìîäåëè, äëÿ êîòîðîé íå âûïîëíåíû óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè,⃗ ⊂ÿâëÿåòñÿ ìîäåëü X= U[0; θ] , θ > 0.Òåîðåìà 12.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
