1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Òðåòüå óòâåðæäåíèå íåòðèâèàëüíûé ôàêò, ïðîêîììåíòèðîâàòü êîòîðûé ìîæíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âñïîìíèì, ÷òînS 2 =n∑(Xi − X)2 .i=1Åñëè âûáîðêà ñîñòîèò èç îäíîãî ýëåìåíòà X1 , òî åñòü n = 1, òînS 2(X1 − X1 )2== 0,σ2σ2 ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò ðàñïðåäåëåíèå, âûðîæäåííîå â òî÷êå íîëü,êîòîðîå ìîæíî ïî îïðåäåëåíèþ ñ÷èòàòü ðàñïðåäåëåíèåì õè-êâàäðàò ñ íóëåâûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû.Åñëè âûáîðêà ñîñòîèò èç äâóõ ýëåìåíòîâ (X1 ; X2 ), òî åñòü n = 2, òînS 2(X1 − (X1 − X2 )/2)2 + (X2 − (X1 − X2 )/2)2(X1 − X2 )2==.σ2σ22σ2Îòìåòèì, ÷òî E(X1 − X2 ) = a − a = 0.
Òàê êàê X1 è X2 íåçàâèñèìû,òî D(X1 − X2 ) = DX1 + DX2 = 2σ2 . Ñîãëàñíî ñâîéñòâàìíîðìàëüíîãî√ðàñïðåäåëåíèÿ, X1 − X2 ⊂= N0,2σ2 , òî åñòü X1 − X2 = 2σX , ãäå X èìååòñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. ÏîýòîìónS 22σ2 X 2== X2 ⊂= χ21 .σ22σ2140Äîêàçàòåëüñòâî äëÿ n ≥ 2 îêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâåííî áîëåå ñëîæíûì, èïðèâîäèòü åãî çäåñü ìû íå áóäåì.×åòâåðòîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç òðåòüåãî è îïðåäåëåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà. 14.4.Àñèìïòîòè÷åñêèå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëûÅñëè ðàñïðåäåëåíèå íå ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì, òî÷íûé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë, êàê ïðàâèëî, íå óäàåòñÿ ïîñòðîèòü. Ïîýòîìó ñòðîÿò àñèìïòîòè÷åñêèé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë, ïðèìåíÿÿ öåíòðàëüíóþ ïðåäåëüíóþ òåîðåìó (òåîðåìà 10.4), êîòîðàÿ óòâåðæäàåò, ÷òî äëÿ âñåõ t1 , t2 ∈ R (t1 < t2 )âûïîëíåíî (10.2)()nX − na√lim P t1 ≤< t2 = Φ(t2 ) − Φ(t1 ), n → ∞n→∞σ nòî åñòü öåíòðèðîâàííûå è íîðìèðîâàííûå ñóììû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí nX =X1 + .
. . + Xn ñõîäÿòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå, èìåþùåéñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.Çäåñü a = EX1 , σ2 = DX1 ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿýëåìåíòîâ âûáîðêè.Åñëè âûáðàòü t2 = −t1 = A è ïðèíÿòü äîâåðèòåëüíûé óðîâåíü ðàâíûìγ , òî()nX − na√lim P −A ≤< A = Φ(A) − Φ(−A) = 2Φ(A) − 1 = γ, n → ∞n→∞σ nîòêóäà ïîëó÷àåìΦ(A) = (γ + 1)/2.(14.2)Ïî çàäàííîìó γ ìîæíî íàéòè A ñ ïîìîùüþ òàáëèö íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èëè ïðîãðàììíûõ ïðèëîæåíèé. Îòìåòèì áåç äîêàçàòåëüñòâàñëåäóþùåå ñâîéñòâî ñõîäèìîñòè ïî ðàñïðåäåëåíèþ: åñëè Yn ñõîäèòñÿ ïîðàñïðåäåëåíèþ ê Y , à Zn ñõîäèòñÿ ïî÷òè íàâåðíîå ê 1, òî èõ ïðîèçâåäåíèåYn Zn ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê Y . Âûáåðåì√nX − nan(X − a)σ√Yn ==, Zn = .σSσ n141√Âñïîìíèì, ÷òî S = X 2 − (X)2 → σ ïî÷òè íàâåðíîå, è ïî ñâîéñòâóñõîäèìîñòè ïî÷òè íàâåðíîå Zn → 1 ï.
í. Ñëåäîâàòåëüíî,√√n(X − a) σn(X − a)Yn Zn =· =σSSñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå, òî åñòü()√n(X − a)lim P −A ≤< A = Φ(A) − Φ(−A) = 2Φ(A) − 1 = γ, n → ∞,n→∞S(14.3)ãäå êîíñòàíòà A âûáèðàåòñÿ ïî ôîðìóëå 14.2.×òîáû äëÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà θ íàéòè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàëàñèìïòîòè÷åñêîãî óðîâíÿ γ , íóæíî äëÿ èññëåäóåìîãî îäíîïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà ðàñïðåäåëåíèé íàéòè çàâèñèìîñòü EX1 = a = a(θ) è ïîäñòàâèòü ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå â 14.3, òî åñòü ðåøèòü îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðàθ äâîéíîå íåðàâåíñòâî√n(X − a(θ))−A ≤<A(14.4)S(äëÿ ýòîãî íóæíî, ÷òîáû ôóíêöèÿ a(θ) áûëà íåïðåðûâíîé è ñòðîãî ìîíîòîííîé). Ïîëó÷èâøèåñÿ ãðàíèöû äâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç θ− è θ+ . 14.5.Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ⃗ ⊂Ïðèìåð 14.1.
Ïóñòü X= Na,σ2 , a ∈ R. Ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûéèíòåðâàë (a− ; a+ ) äëÿ ïàðàìåòðà a, ñ÷èòàÿ σ2 èçâåñòíûì. Âû÷èñëèòü ðåàëèçàöèþ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ñ óðîâíåì äîâåðèÿ γ = 0, 95,ðàñïîëàãàÿ äàííûìè: n = 10, X = 2, 7, σ2 = 4.Ðåøåíèå. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà èñïîëüçóåìîöåíêó X , ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîé èçâåñòíî. Äëÿ çàäàííîé äîâåðèòåëüíîéâåðîÿòíîñòè γ íàéäåì òàêîå A > 0, ÷òî{}}{√ X − a σAσA < A = P −√√<.(14.5)γ = P nX−a<σ nnσAÒàêèì îáðàçîì, íóæíî èñêàòü ε1 = − √, ε2 =níÿåòñÿ ðàâåíñòâî:{}P ε1 < X − a < ε2 = γ.142σA√nòàêèå, ÷òî âûïîë-Äëÿ ýòîãî âåðíåìñÿ ê (14.5).  ñèëó òåîðåìû 14.1, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà,ñòîÿùàÿ ïîä çíàêîì ìîäóëÿ, èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü â ïðàâîé ÷àñòè ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ôóíêöèþðàñïðåäåëåíèÿ Φ(t) çàêîíà N0,1 , è òîãäà óðàâíåíèå (14.5) ïðèîáðåòàåòâèä:1+γ,(14.6)2Φ(A) − 1 = γ ⇐⇒ Φ(A) =2ãäå Φ(t) ôóíêöèÿ Ëàïëàñà, çíà÷åíèÿ êîòîðîé ïðåäñòàâëåíû â òàáëèöåïðèëîæåíèÿ â êîíöå êíèãè.
Çàìåòèì, ÷òî çíà÷åíèå A = A 1+γ , óäîâëåòâî2ðàñïðåäåëåíèÿ N0,1 .ðÿþùåå (14.6), ïðåäñòàâëÿåò êâàíòèëü óðîâíÿ 1+γ2Íàéäÿ åãî ïî òàáëèöå è ïîäñòàâèâ â (14.5), ïîëó÷èì ðàâåíñòâî:{}{}√ X − a √ < A 1+γ = P −A 1+γ < n a − X < A 1+γγ = P n⇐⇒222σ σ{A 1+γA 1+γ⇐⇒ γ = P X − σ √ 2 < a < X + σ √ 2nn},(14.7)îòêóäà èñêîìûé γ -äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë:)(A 1+γA 1+γ22.(a− ; a+ ) = X − σ √ , X + σ √nnÏîäñòàâëÿÿ ñþäà êîíêðåòíûå äàííûå èç óñëîâèÿ, âû÷èñëÿåì ðåàëèçàöèþ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà:()1, 961, 96(a− ; a+ ) ≈ 2, 7 − 2 √ , 2, 7 + 2 √≈ (1, 46; 3, 94) ⇐⇒1010⇐⇒ P(1, 46 < θ < 3, 94) = 0, 95.Çàìå÷àíèå 14.1. Ïîñòðîåííûé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë îêàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì îòíîñèòåëüíî âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî X è èìååò äëèíó2A √σn , ïðîïîðöèîíàëüíóþ çíà÷åíèþ A, êîòîðîå áûëî íàéäåíî èç óñëîâèÿ(14.5).Ïðèìåð⃗ ⊂14.2.
Ïóñòü X= Na,σ2 , ãäå a ∈ R, σ2 > 0 äâà íåèç-âåñòíûõ ïàðàìåòðà. Ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ïàðàìåòðà σ2 . Âû÷èñëèòü ðåàëèçàöèþ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ñ óðîâíåì äîâåðèÿ γ = 0, 9, ðàñïîëàãàÿ äàííûìè: n = 10, S 2 = 4.143Ðåøåíèå. Èñïîëüçóÿ ëåììó Ôèøåðà, ïðîùå âñåãî ïîñòðîèòü òàê íàçûâàåìûé îäíîñòîðîííèé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë. Äëÿ ýòîãî ïî çàäàííîéäîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè γ = 0, 9 íàéäåì òàêîå B > 0, ÷òî{ 2}{ 2}nSnSγ=P>B⇐⇒P≤B= 1 − γ.(14.8)σ2σ22nSèìååò ðàñïðåäåëåíèåÓ÷èòûâàÿ, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàσ22χn−1 , íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî èñêîìîå B åñòü íå ÷òî èíîå, êàê êâàíòèëüχ21−γ,n−1 ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ïîäñòàâëÿÿ åå â (14.8) è ðàçðåøàÿ íåðàâåíñòâî ïîä çíàêîì âåðîÿòíîñòè îòíîñèòåëüíî σ2 , íàõîäèì äîâåðèòåëüíûéèíòåðâàë:{}{ 2}nSnS 222γ=P> χ1−γ,n−1⇐⇒ γ = P>σ⇐⇒σ2χ21−γ , n − 1(⇐⇒ (σ2− ; σ2+ ) =0,nS 2)χ21−γ,n−1.Ïîäñòàâëÿÿ êîíêðåòíûå äàííûå, íàõîäèì ðåàëèçàöèþ äîâåðèòåëüíîãîèíòåðâàëà:χ20.1,9 = 4, 17; (σ2− ; σ2+ ) = (0; 8, 63).×òîáû ïîñòðîèòü äâóñòîðîííèé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë, âìåñòî (14.8)èñïîëüçóåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:{}{ 2}nS 2nSnS 2γ = P x1 < 2 < x2⇐⇒ Pθ< σ2 <= γ,(14.9)σx2x1ãäå 0 < x1 < x2 , óäîâëåòâîðÿþùèå (14.9), íàõîäèì ïî èçâåñòíîìó ðàñ2ïðåäåëåíèþ χ2n−1 ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû nSσ2 .
 îáùåì ñëó÷àå ýòà çàäà÷àíå èìååò åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ. Åñëè îáðàòèòüñÿ ê ãðàôèêó ïëîòíîñòèðàñïðåäåëåíèÿ χ2n−1 , ïðåäñòàâëåííîìó íà ðèñ. 14.1, òî x1 < x2 ñëåäóåò âûáèðàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñóììà âåðîÿòíîñòåé, ïðåäñòàâëåííûõïëîùàäÿìè çàøòðèõîâàííûõ îáëàñòåé ïîä ãðàôèêîì ïëîòíîñòè, ðàâíÿëàñü1 − γ . ßñíî, ÷òî ýòî ìîæíî ñäåëàòü ìíîãèìè ñïîñîáàìè.×òîáû ñäåëàòü ðåøåíèå îäíîçíà÷íûì, âûáåðåì x1 < x2 òàê, ÷òîáûêàæäàÿ èç çàøòðèõîâàííûõ ïëîùàäåé ðàâíÿëàñü 1−γ2 , òîãäà íåòðóäíîâèäåòü, ÷òî x1 , x2 âûðàæàþòñÿ ÷åðåç êâàíòèëè ðàñïðåäåëåíèÿ χ2n−1 :x1 = χ21−γ ,n−1 ,2x2 = χ21+γ ,n−1 .1442y6γ1 + γ2 = 1 − γγ1j0γ2jx1-x2xÐèñ. 14.1: Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿχ2n−1Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â (14.9), íàõîäèì èñêîìûé äâóñòîðîííèé äîâåðèòåëüíûéèíòåðâàë: nS 2222nSnSnS.= γ ⇐⇒ (σ2− ; σ2+ ) = 2Pθ< σ2 < 2, χ21+γχχ 1+γ ,n−1 χ21−γ ,n−11−γ,n−1,n−12222Íàõîäÿ ïî òàáëèöå ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò χ21−γ ,n−1 , χ21+γ ,n−1 êâàí22òèëè ðàñïðåäåëåíèÿ χ2n−1 äëÿ êîíêðåòíûõ çíà÷åíèé γ = 0, 9, n = 10, èäàííûõ â óñëîâèè ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé, íàõîäèì ðåàëèçàöèþ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà:χ21+0,9 ,9 = 16, 9; χ21−0,9 ,9 ≈ 3, 325;22(σ2− ,Ïðèìåðσ2+ )= (2, 37; 12, 03).⃗ ⊂14.3.
Ïóñòü X= Eα , α > 0. Ïîñòðîèòü àñèìïòîòè÷å-ñêèé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ïàðàìåòðà α.Ðåøåíèå. Òàê êàê äëÿ ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðîìα ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíÿåòñÿ EX1 = 1/α, òî ñîãëàñíî ôîðìóëå14.4√n(X − 1/α)−A ≤< A.SÏîñëåäîâàòåëüíî âûðàçèìAS1AS−√ ≤ X − < √ ;αnn145AS1ASX−√ < ≤X+√ ;αnn1ASX−√n>α≥1ASX+√n.Èòàê, ìû ïîëó÷èëè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë (α− ; α+ ), ãäåα− =1ASX+√n,α+ =1ASX−√n,à êîíñòàíòà A âûáèðàåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàâåíñòâîì (14.2). 14.6.Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ⃗ ⊂14.1 Ïóñòü X= N (θ1 , θ2 ), θ1 ∈ R, θ2 > 0. Ïîñòðîèòü öåíòðàëüíûé äî-âåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ïàðàìåòðà θ1 . Âû÷èñëèòü ðåàëèçàöèþ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ñ óðîâíåì γ = 0, 95, ðàñïîëàãàÿ äàííûìè: n=10,X = 2, 7; S 2 = 4.
Ñðàâíèòü ñ ðåçóëüòàòîì ïðèìåðà 14.1.⃗ ⊂14.2 Ïóñòü X= N (a, θ), θ > 0, a- èçâåñòíî. Ïîñòðîèòü òî÷íûå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû (îäíîñòîðîííèéè öåíòðàëüíûé äâóõñòîðîííèé) íà îñíîâå∑nñòàòèñòèêè S12 = n1 i=1 (Xi − a)2 . Âû÷èñëèòü ðåàëèçàöèè ïîñòðîåííûõ èíòåðâàëîâ ñ óðîâíåì γ = 0, 9, ðàñïîëàãàÿ äàííûìè: n=10, S12 = 4. Ñðàâíèòüñ ðåçóëüòàòàìè ïðèìåðà 14.2.⃗ ⊂14.3 Ïóñòü X= K(θ), θ ∈ R.
Ïîñòðîèòü îïòèìàëüíûé òî÷íûé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ïàðàìåòðà θ ïî îäíîìó íàáëþäåíèþ (n=1).⃗ ⊂14.4 X= B(p), 0 < p < 1. Ïîñòðîèòü ïðèáëèæåííûå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äëÿ ïàðàìåòðà p íà îñíîâå îöåíêè θ∗ = X :à) ïðè ïîìîùè íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà;á) èñïîëüçóÿ àñèìïòîòè÷åñêóþ íîðìàëüíîñòü îöåíêè.⃗ ⊂14.5 X= (λ), λ > 0. Ïîñòðîèòü àñèìïòîòè÷åñêèé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ïàðàìåòðà λ ñ ïîìîùüþ îöåíêè λ∗ = X .⃗ ⊂14.6 Ïóñòü X= U (0, θ), ãäå θ > 0. Ñ ïîìîùüþ ñòàòèñòèê X X 2 ïîñòðî+èòü àñèìïòîòè÷åñêèå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû (ñîîòâåòñòâåííî (θ−1 , θ1 ) è− +− +(θ2 , θ2 )) óðîâíÿ 1 − ε è ïîêàçàòü, ÷òî ñëó÷àéíûé èíòåðâàë (θ2 , θ2 ) êîðî÷å+ñîîòâåòñòâóþùåãî (θ−1 , θ1 ).146Ãëàâà 15Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõãèïîòåç 15.1.Ñòàòèñòè÷åñêèå ãèïîòåçû⃗ = (X1 , X2 , ..., Xn ) âûáîðêà, X⃗ ⊂Ïóñòü X= F, ãäå F - ïîëíîñòüþèëè ÷àñòè÷íî íåèçâåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå îòäåëüíîãî íàáëþäåíèÿ Xi .Îïðåäåëåíèå 15.1.
Ñòàòèñòè÷åñêîé ãèïîòåçîé áóäåì íàçûâàòü âñÿêîå óòâåðæäåíèå î âèäå èëè ñâîéñòâàõ íåèçâåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ F.Ïðèìåð 15.1. Ïóñòü F ïîëíîñòüþ íåèçâåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå.Ïðèìåðàìè ãèïîòåç ÿâëÿþòñÿH : F = F0 , ãäå F0 ïîëíîñòüþ îïðåäåëåííîå ðàñïðåäåëåíèå;b 0 , ãäå Fb 0 ìíîæåñòâî ðàñïðåäåëåíèé (íàïðèìåð, Fb0 =H: F∈FbNa,σ2 èëè F0 = Bp ). ýòèõ ïðèìåðàõ íàáëþäåíèÿ èìåþò ðàñïðåäåëåíèÿ èç íåêîòîðîãîîäíî- èëè äâóõïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà. Íî ìîãóò áûòü íåïàðàìåòðè÷åñêèå ìíîæåñòâà, íàïðèìåð, F0 ∈ {F : EXi > 0} êëàññ ðàñïðåäåëåíèé ñ ïîëîæèòåëüíûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè.Ïðèìåð 15.2. Ïóñòü F ÷àñòè÷íî èçâåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå. Íàïðèìåð, F ∈ U[a; b] (íàáëþäåíèÿ èìåþò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
