1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (843879), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Èñêîìóþ âåðîÿòíîñòü P(HÁÁ /A) íàõîäèì ïî ôîðìóëå Áàéåñà:P(HÁÁ /A) =P(A/HÁÁ )P(HÁÁ )P(A/H×× )P(H×× ) + P(A/H×Á )P(H×Á ) + P(A/HÁÁ )P(HÁÁ )40=P(A/HÁÁ )P(HÁÁ )=P(A)3310 · 51325=9.26▽Ïðèìåð 7.2. Ïî êàíàëó ñâÿçè ìîæåò áûòü ïåðåäàíà îäíà èç òðåõïîñëåäîâàòåëüíîñòåé áóêâ: AAAA, BBBB, CCCC, ïðè÷åì àïðèîðíûåâåðîÿòíîñòè êàæäîé èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé åñòü ñîîòâåòñòâåííî3/10, 2/5, è 3/10. Èçâåñòíî, ÷òî ïîä äåéñòâèåì øóìîâ âåðîÿòíîñòüïðàâèëüíîãî ïðèåìà êàæäîé èç ïåðåäàííûõ áóêâ ðàâíà 3/5, à âåðîÿòíîñòè ïåðåâîäà êàæäîé áóêâû â ëþáóþ äðóãóþ îäèíàêîâû è ðàâíû 1/5.Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî áóêâû èñêàæàþòñÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà.Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî áûëà ïåðåäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòüAAAA, åñëè íà ïðèåìíîì óñòðîéñòâå ïîëó÷åíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòüABCA.Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì D={íà ïðèåìíîì óñòðîéñòâå ïîëó÷åíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ABCA}, à â êà÷åñòâå ãèïîòåç âûáåðåì ñîáûòèÿ:HA ={ïåðåäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü AAAA }, HB ={ïåðåäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü BBBB}, HC ={ïåðåäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü CCCC}.
Èç óñëîâèÿ çàäà÷è î÷åâèäíî, ÷òî ñîáûòèÿ HA , HB , HC îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïóñîáûòèé, à èõ âåðîÿòíîñòè ðàâíûP(HA ) =323, P(HB ) = , P(HC ) =.10510Òðåáóåòñÿ íàéòè óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü P(HA /D), êîòîðóþ âû÷èñëèìïî ôîðìóëå Áàéåñà:P(D/HA )P(HA ).P(D/HA )P(HA ) + P(D/HB )P(HB ) + P(D/HC )P(HC )(7.3)Íàéäåì óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè, âõîäÿùèå â ïðàâóþ ÷àñòü (7.3). Èìååì:P(D/HA ) = P(ABCA/HA ), ïîñëåäíÿÿ âåðîÿòíîñòü åñòü âåðîÿòíîñòü ïðèåìà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóêâ ¾ABCA¿ âìåñòî ïåðåäàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ¾AAAA¿, òî åñòü âåðîÿòíîñòü ïðàâèëüíîãî ïðèåìà ïåðâîé è ÷åòâåðòîéáóêâ A è ïåðåâîäà âòîðîé áóêâû A â B è òðåòüåé â C. Òàê êàê ïðàâèëüíûéïðèåì èëè èñêàæåíèÿ êàæäîé èç ïåðåäàâàåìûõ áóêâ ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ñîáûòèÿìè, òî âåðîÿòíîñòü óêàçàííîãî ïåðåñå÷åíèÿ ñîáûòèé ðàâíàïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòåé:P(HA /D) =P(D/HA ) = P(ABCA/HA ) = P(A/HA ) · P(B/HA ) · P(C/HA ) · P(A/HA ) ==3 1 1 39· · · =.5 5 5 562541Àíàëîãè÷íî íàõîäèì óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè:P(D/HB ) = P(ABCA/HB ) =1 3 1 13· · · =,5 5 5 56253.625Ïîäñòàâëÿÿ â (7.3) âñå íàéäåííûå âåðîÿòíîñòè, ïîëó÷àåìP(D/HC ) = P(ABCA/HC ) =P(HA /D) =9625·93625 · 10332310 + 625 · 5 + 625·310=9.16▽Ïðèìåð 7.3.
Òðè ñòðåëêà ïðîèçâîäÿò ïî îäíîìó âûñòðåëó â îäíóè òó æå ìèøåíü. Âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ â ìèøåíü ïðè îäíîì âûñòðåëåäëÿ êàæäîãî èç ñòðåëêîâ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû p1 , p2 , p3 . Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âòîðîé ñòðåëîê ïðîìàõíóëñÿ, åñëè ïîñëå âûñòðåëîââ ìèøåíè îêàçàëîñü äâå ïðîáîèíû?Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì A ={ïîñëå âûñòðåëîâ â ìèøåíè îêàçàëîñü äâåïðîáîèíû}, Hi ={èç òðåõ ñòðåëêîâ ïðîìàõíóëñÿ i-é, à äâà äðóãèõ ïîïàëè},i = 1, 2, 3. Òðåáóåòñÿ íàéòè óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü P(H2 /A), êîòîðóþ ìûíàéäåì ïî ôîðìóëå Áàéåñà. Äëÿ ýòîãî íàéäåì âåðîÿòíîñòè ãèïîòåç:P(H1 ) = P(B1 B2 B3 ) = P(B1 ) · P(B1 ) · P(B3 ) = (1 − p1 )p2 p3 .Çäåñü èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ Bi ={ïîïàäàíèå i-ãî ñòðåëêà}, Bi =={ïðîìàõ i-ãî ñòðåëêà} è ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ðåçóëüòàòû ñòðåëüáû îòäåëüíûõ ñòðåëêîâ ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ñîáûòèÿìè. Àíàëîãè÷íî íàõîäèì:P(H2 ) = P(B1 B2 B3 ) = p1 (1 − p2 )p3 , P(H3 ) = P(B1 B2 B3 ) = p1 p2 (1 − p3 ).Çàìåòèì, ÷òî âñå óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè ðàâíû 1: P(A/H1 ) = P(A/H2 ) =P(A/H3 ) = 1.
Òîãäà ïîäñòàâëÿÿ âñå ýòè âåðîÿòíîñòè â ôîðìóëó Áàéåñà,ïîëó÷àåìP(H2 /A) = 7.3.p1 (1 − p2 )p3.(1 − p1 )p2 p3 + p1 (1 − p2 )p3 + p1 p2 (1 − p3 )▽Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ7.1  ïåðâîé óðíå íàõîäÿòñÿ 1 áåëûé è 9 ÷åðíûõ øàðîâ, âî âòîðîé 1÷åðíûé è 5 áåëûõ. Èç êàæäîé óðíû óäàëèëè ïî îäíîìó øàðó, âûáðàííîìó42íàóãàä, à îñòàâøèåñÿ øàðû ññûïàëè â òðåòüþ óðíó.à) Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî øàð, âûíóòûé íàóãàä èç òðåòüåé óðíû,îêàæåòñÿ áåëûì.á) Åñëè øàð, âûíóòûé èç òðåòüåé óðíû, îêàçàëñÿ áåëûì, òî êàêîâàâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç ïåðâûõ äâóõ óðí áûëè óäàëåíû ÷åðíûå øàðû?7.2  ïåðâîé óðíå íàõîäÿòñÿ 1 áåëûé øàð è 4 êðàñíûõ, âî âòîðîé 1áåëûé è 7 êðàñíûõ.  ïåðâóþ óðíó äîáàâèëè äâà øàðà, âûáðàííûõ íàóãàäèç âòîðîé óðíû.à) Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî øàð, âûíóòûé íàóãàä èç ïîïîëíåííîéïåðâîé óðíû, îêàæåòñÿ áåëûì.á) Ïîñòàâèòü âîïðîñ, îòâåò íà êîòîðûé ìîæíî íàéòè ñ ïîìîùüþ ôîðìóëûÁàéåñà (è îòâåòèòü íà íåãî).7.3 Èìååòñÿ 5 óðí ñëåäóþùåãî ñîñòàâà: â ïåðâîé è âòîðîé óðíàõ ïî 2áåëûõ è 3 ÷åðíûõ øàðà â êàæäîé; â òðåòüåé è ÷åòâåðòîé óðíàõ ïî 1áåëîìó è 4 ÷åðíûõ øàðà; â ïÿòîé óðíå 4 áåëûõ è 1 ÷åðíûé øàð.
Èçîäíîé íàóäà÷ó âûáðàííîé óðíû âçÿò øàð. Îí îêàçàëñÿ áåëûì. ×åìó ðàâíàïðè ýòîì âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îí âûíóò èç ïÿòîé óðíû?7.4  òðåõ óðíàõ ñîäåðæàòñÿ áåëûå è ÷åðíûå øàðû: â ïåðâîé óðíå 2 áåëûõ è 3 ÷åðíûõ øàðà, âî âòîðîé 2 áåëûõ è 2 ÷åðíûõ øàðà, âòðåòüåé 3 áåëûõ è 1 ÷åðíûé øàð. Èç ïåðâîé óðíû âûíóò íàóäà÷ó øàðè ïåðåëîæåí âî âòîðóþ. Äàëåå èç âòîðîé óðíû âûíóò íàóäà÷ó øàð èïåðåëîæåí â òðåòüþ.
Íàêîíåö èç òðåòüåé óðíû øàð ïåðåëîæåí â ïåðâóþ.à) Êàêîé ñîñòàâ øàðîâ â ïåðâîé óðíå íàèáîëåå âåðîÿòåí?á) Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ñîñòàâ øàðîâ âî âñåõ óðíàõ íå èçìåíèòñÿ?7.5 Èç óðíû, â êîòîðîé áûëî m ≥ 3 áåëûõ è n ÷åðíûõ, ïîòåðÿëè îäèíøàð íåèçâåñòíîãî öâåòà.
Äëÿ òîãî ÷òîáû îïðåäåëèòü ñîñòàâ øàðîâ â óðíå,èç íåå íàóäà÷ó áûëè âûíóòû äâà øàðà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî áûëïîòåðÿí áåëûé øàð, åñëè èçâåñòíî, ÷òî âûíóòûå øàðû îêàçàëèñü áåëûìè.7.6  óðíå ëåæàò 12 øàðîâ, èç íèõ 8 ÷åðíûõ è 4 áåëûõ. Òðè èãðîêà A,B è C ïîî÷åðåäíî âûíèìàþò øàðû. Âûèãðûâàåò òîò, êòî ïåðâûì âûíåòáåëûé øàð. Îöåíèòü øàíñû íà óñïåõ êàæäîãî èãðîêà.7.7 Ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ ñòðåëüáû ñòðåëîê A ïîðàæàåò ìèøåíü ñâåðîÿòíîñòüþ p1 = 3/5, ñòðåëîê  ñ âåðîÿòíîñòüþ p2 = 1/2, ñòðåëîêC ñ âåðîÿòíîñòüþ p3 = 2/5. Ñòðåëêè äàëè çàëï ïî ìèøåíè, è äâå ïóëèïîïàëè â öåëü.
×òî âåðîÿòíåå: ïîïàë C â ìèøåíü èëè íåò?7.8 Èçäåëèÿ íåêîòîðîãî ïðîèçâîäñòâà óäîâëåòâîðÿþò ñòàíäàðòó ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,96. Ïðåäëàãàåòñÿ óïðîùåííàÿ ñèñòåìà èñïûòàíèé, äàþùàÿïîëîæèòåëüíûé ðåçóëüòàò ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,98 äëÿ èçäåëèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ ñòàíäàðòó, à äëÿ èçäåëèé, êîòîðûå íå óäîâëåòâîðÿþò ñòàíäàðòó, ñâåðîÿòíîñòüþ 0,05. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî:43à) èçäåëèå áóäåò çàáðàêîâàíî;á) èçäåëèå, âûäåðæàâøåå èñïûòàíèå, óäîâëåòâîðÿåò ñòàíäàðòó?7.9Íåêîòîðîå èçäåëèå âûïóñêàåòñÿ äâóìÿ çàâîäàìè, ïðè÷åì îáúåìïðîäóêöèè âòîðîãî çàâîäà â k ðàç ïðåâîñõîäèò îáúåì ïðîäóêöèè ïåðâîãî.Äîëÿ áðàêà ó ïåðâîãî çàâîäà p1 , ó âòîðîãî p2 . Èçäåëèÿ, âûïóùåííûåçàâîäàìè çà îäèíàêîâûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ïåðåìåøàëè è ïóñòèëè âïðîäàæó. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âû ïðèîáðåëè èçäåëèå ñî âòîðîãîçàâîäà, åñëè îíî îêàçàëîñü áðàêîâàííûì?7.10  ñåìè óðíàõ ñîäåðæèòñÿ ïî 3 áåëûõ è 2 ÷åðíûõ øàðà, à â òðåõóðíàõ ïî 7 áåëûõ è 3 ÷åðíûõ øàðà.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî èç óðíû,âçÿòîé íàóäà÷ó, áóäåò èçâëå÷åí áåëûé øàð? Íàéòè âåðîÿòíîñòü, ÷òî øàðèçâëå÷åí èç óðíû ñ 7 áåëûìè è 3 ÷åðíûìè øàðàìè, åñëè îí îêàçàëñÿ áåëûì.44Ãëàâà 8Ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 8.1.Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿÑëó÷àéíîé âåëè÷èíîé (ñ.â.)íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ ôóíêöèÿX : Ω → R, ñîïîñòàâëÿþùàÿ êàæäîìó ýëåìåíòàðíîìó èñõîäó ω ∈ Ω äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî X(ω).Ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ (ô.ð.) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ FX : R → R, çàäàâàåìàÿ ñîîòíîøåíèåì:FX (t) = P(X < t) = P{ω : X(ω) < t}, t ∈ R.Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ îáëàäàåò ñâîéñòâàìè:F1.
0 ≤ FX (t) ≤ 1∀ t ∈ R.F2. FX ↗ (íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ).F3. FX (−∞) = lim FX (t) = 0,FX (+∞) =t→−∞(8.1)lim FX (t) = 1 .t→+∞F4. FX (t) íåïðåðûâíà ñëåâà è èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë ñïðàâà: äëÿ âñåõt∈Rlim FX (y) = FX (t);lim FX (y) = FX (t + 0).y→t−0y→t+0F5. Äëÿ ëþáûõ a < b âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñ.â. X â èíòåðâàë [a, b) ðàâíàP{a ≤ X < b} = FX (b) − FX (a) .F6. Äëÿ ëþáîãî a ∈ R âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñ.â.
X â òî÷êó a ðàâíàñêà÷êó ô.ð. â òî÷êå a:P{X = a} = FX (a + 0) − FX (a).45 8.2.Äèñêðåòíîå è àáñîëþòíî íåïðåðûâíîåðàñïðåäåëåíèÿÌíîæåñòâî G íàçûâàåòñÿ ñ÷åòíûì, åñëè îíî áåñêîíå÷íî, íî âñåýëåìåíòû åãî ìîæíî çàíóìåðîâàòü ÷èñëàìè íàòóðàëüíîãî ðÿäà: G ={x1 , x2 , ..., xn , ...}. Ìíîæåñòâî íàçûâàþò íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíûì, åñëè îíîêîíå÷íî èëè ñ÷åòíî. Ãîâîðÿò, ÷òî ñ.â. X èìååò äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå, åñëè ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 îíà ìîæåò ïðèíèìàòü íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé. Èíà÷å ãîâîðÿ, ñ.â. X èìååò äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå,åñëè ñóùåñòâóåò íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî G = {x1 , x2 , ..., xn , ...},òàêîå, ÷òî∑pi = P(X = xi ) > 0, i = 1, 2, ...pi = 1.(8.2)iÓïðîùàÿ òåðìèíîëîãèþ, áóäåì ãîâîðèòü â ýòîì ñëó÷àå, ÷òî ñëó÷àéíàÿâåëè÷èíà X äèñêðåòíà.
Åñëè ñ.â. X äèñêðåòíà, òî äëÿ íåå ìîæíî óêàçàòü äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x1 , x2 , ... âîçìîæíûõçíà÷åíèé X è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü p1 , p2 , ... âåðîÿòíîñòåé ýòèõ çíà÷åíèé.Òàáëèöà, ñîñòàâëåííàÿ èç ýòèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, íàçûâàåòñÿ ðÿäîìðàñïðåäåëåíèÿ èëè òàáëèöåé ðàñïðåäåëåíèÿ X :XP(X = xi )x1p1x2p2......xipi......(8.3)Åñëè ñ.â. X èìååò äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå (8.3), òî âåðîÿòíîñòü ååïîïàäàíèÿ â ìíîæåñòâî A ⊆ R âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:∑P(X ∈ A) =pi .(8.4)xi ∈A ÷àñòíîñòè, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X âûðàæàåòñÿ÷åðåç ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ôîðìóëîé:∑FX (t) =pi .(8.5)xi <tÅñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âñå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X óïîðÿäî÷åíûïî âîçðàñòàíèþ, òî åñòüx1 < x2 < .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
