1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Лбсолютно-непрерывные меры, Пусть существует неотрицательная функция /=/'(/), / ен /с, такая, что а Р'(х) = ~ /(() Ж, (б) где под интегралом сейчас понимается интеграл в смысле Римана, а в об;пем случзе — в смысле Лебега (см. ьх б/. Функция ) =1(х), х ь=. /т', называется плотностью функции распределения Р = Р (х) (плотностью распределения вероятностей или просто плотностью). Пуассоиовское Гсонетрниеское Отрииатсльнобггноти!аг!ьное Р!=Р Ро=Ч С/го/гон а, //=0, 1 ... и Чь тр.
г — ! г Ь вЂ” г !Р Ч /г=г, г+1, ... 0<Р(1, /=1 — р Оср=1, ч=1-р г.=1, 2, .„ 171 $3 зхдлнпя Вегоятностных меР 172 х е= (1(3, 2(3), Г, (х) = О х = О, 1 х=1, доопределяя ее в остальных точках с помощью линейной интер- поляции. 7г7х) 'А 7уа худ 7 о 7уу г~~ 773 Мууга 7 Рас, 2?, Рас. 26 Далее, каждый из интервалов [О, 1/31 и [273, 11 снова делим на три части и определяем функцию (рис, 27) 1(2 1!4 Г,(х) = 3(4 ! о х ен (1(3, 2!3), х ен (!19, 2(9), х е= (7!9, 879), х=О, х=! Понятно, что всякая неотрицательная функпня 7'=7'(х), интегрируемая по Рнману и такая, что ~ 7" (х) с(х= 1, определяет формулой (5) некоторую функцию распределения.
В табл. 2 приведены особо важные для теории вероятностей и математической статистики примеры разных типов плотностей ) =7(х) с указанием нх наименований и параметров (плотность 7'(х) счнтае7ся равной нулю для неуказаннык в таблице значений х). Сингулярные меры, Так называют меры, функции распределения которых непрерывны, но точки их роста образ)ют множество нрлееой мерьг Лебега. Не останавливаясь подробно на атом случае, ограничимся лишь примером такой функции. Возьмем отрезок [О, 11 и построим функцию г (х) с помощью следующего приема, принадлежащего Г.
Кантору. Разделим отрезок [О, 11 на три равные части и положим (рис. 26) (Т2 ГЛ. П, МАТЦМАТ1!ЧЕС1(ИП ОСНОВАП!1Я ТЕОРПН ВГРОЯТ11ООТГГ1 Плегиаеть Тли риелрелелеиии и, (ге(0 п(Ь равномерное нз (а, !)) 1-!ормальиос, нли гауссов. скос !л~=й, о 0 я)0, ~1) 0 Гамл1а )1 (г 5) г)0, 5>0 Бета ).е !л, х-- 0 А --е А "', хы(Г 9 Х Та 0 л=1, 2, х--0 п=-1, 2, Стыодснта, ! Экспоненциальное (гаммараспредсление с а =- 1, () = 11)ь) Лвустороннее экспонснцнальпое распределение Хн-квадрат, Х' (гамма рзс. предсленне с и=-л12, )3=- =- 2) 1 — '.-.'., ь (г — о (к — » р 1 г виь, л =А) ) 2лп хвае- !р — х 0 1(гл) Би л к 1 хв е 2л! Г (л,'2) г ~" + — ! (п( лл!' 'рилГ(2)г Таблица 2 Па! аиегрч г>З % 3 злдлггггя вГРочтггогтггггх мся со значениями в остальных точках, полученными линейной интерполяцией.
Продолжая этот процесс, построим последовательность функппй Г,,(л), и == 1, 2,, , которые сходятся к некоторой нелбггвагоггцг) г:епрерывпой фуикпип Г(х) (называехго>г капторовскои), точки рос>а которой (х — точка роста Г(л), если Г(х+с)— — Г (х — г) ) 0 для любсго е ) О) образуют множество лебеговской меры пуль.
Дсгйствгггельно, из конструкции Г(х) видно, что обпгая длш;а шгтервалов (!,гЗ, 2)3), (1,'9, 2(9), (7!9, бг9), ..., иа которых ьг)икцпя принимает постоянные значения, равна (б) л1 == О Обозначим через яг" множество точек роста капторовской функции Г(л). Из (б) следует, что Л(;Г') =О. В то же самг.е время, если р — мера, соответствующая каиторовской функц ги Г(х), го р (=..е') =1. (В этом случае говорят, что мера сингулярна по отиошенгю к лебеговской мере Л.) Нс останавливаясь более па вопросе о возможных типах функций распределения, ограничимся лишь замечанием о том, гто иа салгом Геле указанными треля пгипалги исчерпываются все функции. Точнее, произвольная функция распределен>:я может быть представлена в виде р,Г,+р Г.,+р Гги где Г,— дискретная, Г, — абсолютно непрерывная, Га — сингулярная функции распределения, р; — неотрицательные числа, р,+ре+р,—.=1.
2. Теорема 1 устанавливает взаимно однозначное соответствие между вероятностными мерами на (Р, %()лг]) и функциями распределения на )л'. Анализ доказательства этой теоремы показывает, что на самом деле справедлив более общий результат, позволяющий, в частности, ввести так называемую меру Лебега на всей числовой прямой. Пусть р — некоторая а-конечпая мера на (11, аГ), где асг— алгебра подмножеств (г, Оказывается, что утвер>кденпе теоремы Каратеодори о продолжении меры р с алгебры еле" иа наименьшую и-алгебру о(а:И') остается справедливым и для а-конечных мер, что и дает возможность обобщения теоремы !. Назовем мерой Лебега — Стгглтьеса на ()л>, ед Я)) всякуго (счетно-аддитивиую) меру )л такую, что для любого ограниченного интервала 7 его мера )г(У) (оо. Обобщенной функцией распределения на числовой прямой )с назовем всякую неубывающую непрерывную справа функцию 6 = 6 (х) со значениями в ( — со, со).
Теорема 1 допускает обобщение в том смысле, что формула р (а, Ь1 = 6 (Ь) — 6 (а), а ( Ь, 174 ГЛ П МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАННЯ ТЕОР!П! ВЕРОЕТНОСТЕП снова устанавливает взаимно однозначное соответствие ыемоду мерами Лебега — Стилтьеса р н обобщенными функциямн рас- пределения 6. В самом доле, если 6 (+со) — 6 ( — со) ( ОО, то доказатель- ство, примененное в теореме 1, проходит без всяких изменений, слу.чай сводится к случаю, ~~гд~ 6 (+ со)— — 6 ( — Оэ) = 1 и 6 ( — со) =- О.
П)'сгь теперь 6(+ со) — 6( — со)=ОО. Положим 6 (х), 1х ( ( и, 6„(х) = 6 (и), х = и, 6( — и), х=- — и. Определим на алгебре ОГ кснечно-адднтпвну!о меру р, так, что р,(а, Я=6(Ь) — 6(а), н п)соь р,— )же псстрсенные (по тео- 1еме 1) сче!Но еддтпненые мцы, с! отсетств)юшие функциям 6„(х). Очевидно, что на о;~ р„у р,. Пусть тгперь Л„А,, ...— н'пе- ресекающиеся множества из а о и Л =— А Ал ~ а Е. Тогда (зада- чабиз~~1) р,(А) ~ Х ро(А,).
л=-! И если ~ р,(Лл)=ОО, то р,(А)= ~, р,(Лл). Предположим л= ! л= ! тепеРь, что ~,Ро(А„) со. ТогДа оо р,(А)=1нпрл(А)=!пп ~", р.л(АА). л л Согласно сделанному предположению "," р., (Ал) с ОО, Поэтому 0 ='= ро (А),У ро (Ло) = 1(гп~ У (цл (ЛА) ро (Ао)) . 0 А-! поскольку р„ ~ ро. Иоак, о-конечная конечно-адднтивная мера р, является счетноадднтпвной на о о, и, значит, (по теореме Каратсодори) Она может сыть продолжена до счетно-аддитнвной меры 1! На о(. 3').
Особо важен тот случай, когда 6(х) =х. Отвечающая этой Обобщенной функции распределения мера А называется мерой Лебсга на ()с, .Ф(Л)). Как и в случае отрезка (О, 11 на числовой прямой Я„вводится система лебеговских многкеств Ю Я) (А ~ 20 (И), если существуют борелевские множества А и В такие, что Л аЛ=.В, ).(В(А)=0), для которых определяется также лебеговская мера Х (А(Л)=Л(А), если А о= Л: — В, Лен ~ отй(!Т) и А(В(А) =0). !та Л 3. ЗАДАННЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 3. Измеримое пространство ()сп, уа'()сп)). Как и в случае дей.ствительной прямой, предположилс, что Р— некоторая вероятностная мера на ()сп,,И()с")). Обозначим Рп(х„..., хп) =Р(( — со, х,1Х...Х( — со, х,3, Л, л Р„(х„..., х,) = Р, (х„..., х; и Ь;, хлн ...)— — Р„(х„..., х; „а;, хтн ...) Простой подсчет показывает, что Ла,л ° ° ° Ла„ьпРп (хт ° ° ° хп) = Р (а (7) где (а, Ь1 = (ан ЬД х ...х (а„, Ь„1, Отсюда, в частности, видно, что, в отличие от одномерного случая, вероятность Р (а, Ь), вообще говоря, ие равна разности Р„(Ь) — Рп(а).
Поскольку Р(а, Ь)ЕВО, то из (7) следует, что для любых а=(а,...ап), Ь=(Ь, ... Ь,), Л„л,... Л„л Рп(х„..., хп)~0. (8) Из непрерывности вероятности Р вытекает также, что фушсция Р,(х„..., хп) непрерывна справа по совокупности переменных, т. е. если хьн (, х, хы> =(х(п>, ..., х~">), то Р„(хоп) ) Рп (х), й со. Ра(+~, ", +со)=1 Ясно также, что (10) !! Рп Р„(х„..., х„) = О, аСР (1 !) если по крайней мере одна из координат у у принимает значение — оа. Определение 2. Всякую функцию Р=Р„(х, ...х,), удовлетворяющую условиям (8) — (11), будем называть и-мерной функс!ией распределения (в пространстве )!и). Используя те же самые рассуждения, что и в теореме 1, лсолсно доказать справедливость следующего результата.
илп, в более компактной форме, Р,(х) =Р( — со, х), ГДЕ Х=-(Х„..., Х,), ( — СО, Х)=( — СО, Хс1Х...Х( — СО, Х.). Введем разностный оператор Л, л . )хп-э)!, действующий по формуле (а; ( Ь,) 176 гл и млтгмлтическив основ«ния тсогип всяоятностеп Т е о р е м а 2. Пусть Р = Р„(х„..., хь) — некоторая фйнкйая распределения е К". Тогда на (й", -ЗЭЯ")) сралестеует и притолл единственная сероятностная л~ера Р такая, что Р(а й]=Ла ь ° ° ° Ла ь Ра(«~ ° х ) Приведем некоторые примеоы и-мерных функций распределения. Пусть Р",..., Р' — одномерные функции распределения (на П) и Р„(х„..., х„) =Р'(х,) ...Р" (х,). Ясно, что эта функция непрерывна справа и удовлетворяет условиям (10), (1!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
