1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Нетрудно проверить такие, что А.,ь, ... й, ь Р„(х„..., х„) =Д(Рл(йл) — Рл(ал)] ~0. Следовательно, Р„(х„..., х„) — некоторая функция распределения. Особо важен случай, когда О, х, ( О, Рл(хл) = хл, О~хл=" 1, 1, х„)1. В этом случае для всех 0 «=.
х, ( 1, й = 1, ..., и, Рл (хл ° ° . ~ хп) «л . хл Соответствуюшую этой и-мерной функции распределения вероятностную меру называют п-,черной мерой Лебега на [О, 1]", Большой запас и-мерных функций распределения получается в виде Р„(х„..., х„) = ~ ... ~ )„(1и ..., 1„) й1, ... с(1„, где 1ь(1и ..., 1„) — неотрицательные функции с а интегралы понимаются в смысле Римана (и в более общем сл)чае — в смысле Лсбега). Функции 1=)'„(1о ..., 1„) называют плотностялли и-мерной функции распределения, п-мерной плотностью распределения в роятностей, или просто и-мерными плотностями, В случае п=1 функция ~' — и* г'(х) = е "~', х е= К, )Лйп о 177 Ф в задании вероятностных мие с и ) О есть плотность (невырожденного) гарсссеского, или норлгального распределении Существуют естественные аналоги этой плотности и в случае и) 1.
Пусть )с=,",г171~ — некоторая неотрицательно определенная симметрическая матрица порядка ггхгг: Ггу),)! ) О, Хг е=),', 1= 1,, и, С 1=1 Г11 = ГН В том случае, когда к — положительно определенная матрица, ее ' 'х~ ( == г(е1;Я ) О, и, следовательно, определена обратная матрица А =;,'ан1. Тогда функция (х х ) = ~ Л' е !" Е'н(' — 1)("1 — '"г) (18) !П (2гг)ин где т; и= ге, 1'=1, ..., п, обладает тем свойством, что интеграл (Римана) от нее по всему пространству равен ! (это будет доказано в 2 13) и, следовательно в силу ее положительности она является плотностью.
Эта функция называется плотностью и-мерного (невырожденного) гауссовского, нли нормального распределения (с вектором средних значений и = (т„..., т„) и митр!щей ковариапий (~= А-'). В случае и =-2 плотпосгь (",(х„ хе) ьнежет быть приведена к виду )я (х„хв) =- 1 ( ! 2ло,ое 1. ! — ре ! 2(! — ре1 !х, — глгн,. Ьх, — т,)(х. — иа) ь -(- о още !л, — гля)-*1( Рис. 2З. Плотность двуьмриого нормального распределения.
где о, >О, ~о,'<1. (Смысл параметров пг„о; и р будет ооьяснен в й 8.) Проводимый рис. 28 дает представление о виде двумерной гауссовской плотности. Замечание. Как и в случае и=1, теорема 2 допускает обобщение на (аналогичным образом определяемые) меры Лебега— Стилтьеса в ((с", еЯ (гс")) и обобщенные функции распределения в (с . В том случае, когда обобщенная функция распределения 6„(х! ... х„) равна х, ... х„, соответствующая мера называется !78 Гп и мхтемлтпческие Основлн!зя теОРии ВеРОятностеИ л!врой Лсбега на борелевских множествах пространства )сл. Ясно» что для нее л к(а, 6]= И (6! — а,), =. ! т.
е, мера Лебега «прямоугольника» (а, 6]=(ам 6,]х...х(а„, 6,] равна его <объему». 4. Измеримое пространство (Р , % (Р )), В случае пространств Рл, п)1, вероятностные меры строились по следующей схеме: сначала для элементарных множеств — прямоугольников вида (а, 6], затем естественным образом на множествах вида А = ~ (аь 6,] и, наконец, с помощью теоремы Каратеодори — на множествах из %()1"). Аналогичная схема построения вероятностных мер «работает» и в случае пространства Д , З (й )). Обозначим через Р„(В) = (х е= Л : (х„ ..., х„) ~ В), В ее «% Я ), цилиндрическое множество в пространстве й с «основанием» Вен .%(Р»).
Как мы сейчас увидим, именно цилиндрические множества естественно считать темп влемснтарнымп множествами в Р', по значениям вероятностей которых определяется вероятностная мера на множесзвах из,%Я ). Пусть Р— некоторая вероятностная мера на ()», % (В )). Обозначим для и = 1, 2, ... Р„(В) = Р (»7„(В)), В я «% (й"). (15) Последовательность вероятностных мер ЄЄ..., определенных соответственно на Д, %ф)), ()к», «%()з»)), ..., обладает сле- ДУ!оЩим очевидным свойсГПВОЛ! согласоеаиности: дпя ЛЮбого и=- =-1, 2, ... и В «и %(Й") (16) Р +! (В хР) Р (В)' Весьма примечательно, что имеет место и обратный результат.
Теорема 3 (тепрел!а Колмогорова о продолжении меры в ()!, .%()1 )). )Тус»пь ЄЄ...— последовательность еероягпностны;с мер на Я, УЗ(Р)), (ГГ», «%ф»)), ..., обладаюи1пх свойством согласованности (16). Тогда су!Г(ествуеп! и притом едино!пвенная вероятностная мера Р на (В, %(Р )) такая, что для каждого и=-1, 2, ... Р (»2, (В)) = Р„(В), В е= % (Ьл). (17) $3 злллнпя Веяоятиостхых меР Доказательство. Пусть В» ен <Я(Р') и «7„(В") — цилиндр с <юснованием» В". Припишем этому цилиндру меру Р (:7„(В")), полагая Р(7„(В"))=Р„(В").
Покажем, что в силу условия согласованности такое определение является корректным, т. е. значение Р(~7„(В")) не зависит от способа представления цилиндрического множества «7„(В"). В са»иом деле, пусть один и тот же цилиндр представлен двумя способами: «7„(В") = а7„«» (В"+»). Отсюда следует, что если (х„..., х».») еп Р'+», то (х„..., х„) ~ В" «о(х„..., х„,.„) а= В"', (18) и, значит, в силу (16) и (18) Р, (В") = Р„, ((х„..., х„,): (х„..., х„) е= В") =...
= = Р<и „, ((х,,, х„, ): (х„..., х„) ~ В') = =- Р„„. (В""). Обозначим от'(Р") совокупность всех цилиндрических мно>кеств В" =е7„(В"), В" я.72(Р), и==1, 2, ... Пусть теперь В„..., В» — непересекающиеся множества из е+'(Р ). Без ограничения общности можно счита>ь, что все они таковы, что для некоторого н В; =- 7„(В,"), ! = 1, ..., й, где В",, ..., В,"1 — непересекающиеся множества из Л(Р"). Тогда Р~ У В<;=-Р У:7„(В,"),= Р„( У,' В,"'= ~;Р„(В,")= ~",Р(В,), '<=. ! < ч=! ;=! ;=! ! =- ! т. е. функция множеств Р конечно-адд<ыивна на алгебре =; г (Р ). Покажем, что Р непрерывна в «нуле», т.
е, если последовательность множес>в В„) б), а- оо, то Р(В„)- О, и- о<к Предположим противное, т. е. пусть !пи Р(В„) =6)0. Без ограничсл ния общности можно считать, что последоватсльносгь (В„) такова, что В„= <х: (х„..., х„) я В„), В„еп .Я (Р"). Воспользуемся следующим свойством (см. задачу 9) вероятностных мер Р„на (Р",;МИ"))! если В„е=.Я()с"), то для заданного 6 )0 можно найти такой компакт А„ев Я(Р"), что А, ы В„и Р„(В„' А„) =-" 6/2""'.
Поэтому, если А„=(х! (х„..., х„) ев А„), !80 гл и млтгчхтпчсгк!ш основхн!гч тао»ч!и вс оятностгп го Р(В " 4 ) Р (В 4 ).- б,2л«! 0»бразуек! О!нож»ство Сл =- ! 1 Ар„и пусть С, таковы, что ы.: ! Сл = !х: (х„..., хл) св Сл). Тогда, учитывая, что и!южсс!ва Вл убывают, накоднк! Р(вл,с„) ~, (В„,Л„)=-л ~лР(В, .А,)=.б)2. «г —.-. ! О=! Но по предположению 1(п! Р (Вл) —.- 6 ~ О, значит, 1!ш Р (Сл) =.: л л ,-.-6!2)0. Покажем, что это противоречит тому, что Сл,) Д, Действительно, выберем в множествах Сл по точке хоо == = (х',"', х,',"', ...). Тогда для каждого и:=1 (х',л',, х,',') ~ Сл. Пусть (ц,) — некоторая подпоследовательпость последовательности (л) такая, что х, ' -~ х„ где х, — некоторая точка в С,.
(л,! О О (Такая подпсследовательность сущ»ствует, поскольку все х',л' »и С„ а С,— компакт). Из последовательности (л,) выберем подпослсдовательность (аа) такую, что (хОл «, х," !)- (х",, х,',) ~ С,. Аналогичным образом пусть (х("О), ..., х(ОО!) — «- (хлн ..., х')»= С„. Образуем, накопеп, диагональную последовательность (т„), где глл есть й-й член в последовательности (и,). Тогда для любого !'-= = 1, 2, ... х('"О)-эхл при »и!«-«.со, причем точка (х'„х', ...)»= ~ Сл для любого а = 1, 2, ..., что, очевидно, противоречит предположению о том, что С„1»,„и- оо. Теорема доказана. Замечание.
В рассмотренном сейчас случае пространство )» есть счетное произведение прямых, Я =)»хйх... Ест»огненно поставить вопрос о том, а верна ли теорема 3 для случая, когда вместо ()», ':6()» )) берется прямое произведение измернлОык пространств (11»,,У!), ! =. 1, 2, ... В приведенном выше доказательстве можно усмотреть, что единственное свойство числовой прямой топологического характера, которое было существенно использовано, состояло в том, что в любом множестве из,зй(А«л) можно найти компакт, вероятностная мера которого сколь угодно близка к вероятное~ной мере этого множества. Известно, однако, что это свойство присуще не только пространствам (!»О,,Э()»л)), но и любым полным сепарабельным метрическим пространствам с о-алгебрами, порожденными открытыми множествами, 4 3 зллхиия всеоятпостпых меР 181 Таким образом, теорема 3 остается справедливой, если считать, что Р„Р.„...
— последовательность согласованных вероятностных мер на (О„У,), (й,х Й„У, (х, У,), ..., где (Р„-.У;)— полн ые сспарабельные метрические пространства с о-алгебрами порожденными открытыми множествааш, а вместо (Р", ,.о(Й )) рассмотреть пространство ((з,х(),х..., .У, гх .У,,Гх~...). В 9 9 (теорема 2) будет показано, что результат теоремы 3 также остается справедливым и в случае произвольных измеримых пространств (1)ь У,), если меры Р„сконструированы некоторым специальным образом. В общем же случае (без каких-либо предположений тополопшеского харакзера о структуре рассматриваемых измеримых пространств или о структуре семейства мер ',Р„,') теорема 3 может быть и ветерка, что показывает следующий пример. Рассмотрим пространство 11 = (О, 1], которое, очевидно, не являезся полным, и построим в нем последовательность о-алгебр ,У, а У, ы ... по следующей схеме.
Пусть для всех и=-1, 2, 1 , 0(а< 1(п, гр„(ы) =- О, 1)и ( ы == 1, Т„= (А й: А =- (ы: гр, (ы) е- =В',,  —;З (Б')) и,У „= о (К'„..., Ъ „) — наименьшая а-алгебра, содержащая системы множеств 'б'и ..., Ъ'„. Ясно, что .У, я ..У а<=... Пусть У =-о(():У„) — наименьшая о-алгебра, содержащая все,У„. Рассмотрим измеримое пространство (1), .У „) и определим на нем вероятпсстную меру Р„следующим образом: (1, если (1, ..., 1)енВ", Р„(аь Ор, (ы), ..., ~р, (ы)) е= В') = ~ 0 в пропшвнол~ случае, где В" е=.Ю(Р"). Нетрудно убедиться в том, что семейство мер (Р„) является согласовапиьм: если А е=.У „, то Р„ы (А) =- Р, (Л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
