1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Но ал — монотонный класс (поскольку !ип у АВ,=А(ип ~ Вл и 1пп (, АВл =- А Вп2 (, Вл), а М вЂ” наименьший монотонный класс. Значит, 2ГЛ=-.Ю для любого Асиле. Но тогда из (2) вытекает, что для А ен а Г н В ен м (А ~ лага) с-Ф (В е= Мл = лЮ). Следовательно, если А Ен ат, то для любого В еп 2Б А ~ ~в. В силу произвольности А ен е г отсюда следует, что с~ л: — Жл л:- М. Значит, для всякого В еи 2Б т. е. Если В сна и С еп Ф, то СПВ ен М. Итак, класс Ф замкнут относительно операций взятия допол- нения и пересечения (а значит, и объединения). Следовательно, 22 — алгебра, что н доказывает теорему.
Определение 2, Пусть П вЂ” некоторое пространство. Класс ГГ2 подмножеств !1 называется 2(-сисл2емой, если а) Б!ЕпУ; Ь) А, В е= .йг, А с=' В ~ В ", А е= У; с) Ал сна~ Ал' — = Алы--Ф() Ал ен УГ Если е — некоторая система множеств, то через Г((е) будет обозначаться наименьшая Г(-система, содержащая Ж, !За гл и математические основхнпя теоьпп веяоятноствн Теорема 2. Если Ж есть систелга множеств, зи.икнутая от- носительно образования пересечений, то й (е) = о (е), (3) Доказательство. Каждая а-алгебра является а'-системой, и, следовательно, а(б) ~а(8). Поэтому, если доказать, что си- стема а(е) замкнута относительно взятия пересечений, то а(6) будет а-алгеброй и тогда, конечно, будет справедливо противопо- ложное включение а (8) с= с! (е).
Для доказательства снова воспользуемся принципом подходя- щих множеств. Пусть Ж,=-(В е—: . с((Е): В() А е= й(б) для всех Л а= Е). Если В е— : е, то В() А спи для всех Л;=6 н, значит, 6~-'8,. Но 6, есть а'-система. Поэтому г((е) ыб,. С другой стороны, по определению 6, = й (б'). Следовательно, 6,=й(6). Пусть теперь 8,= (В е= й($): В() А с=в й(8) для всех А е= с((Ж)).
Снова легко проверяется, что Ж, есть й-сисзема. Если В ~ В, то по определению е, для всех А е-=о',=г(ф) получим, что Вп А еп ~ й (6). Следовательно, Ф: с= 6ь и г( (е) с=. 8,. Но й ф) ы 6е, поэтому г((б)=8„и, значит, для каждых А и В из й(6) множество А(!В также принадлежит д(6)„т. е. система йф) замкнута относительно взятия пересечений. Теорема доказана. Перейдем к рассмотрению наиболее важных для теории вероятностей измеримых пространств (Ы,:У). 2.
Измеримое пространство (В, Я(В)). Пусть й=( — оо, оо)— действятельная прямая и (а, Ь] = (х ~ !с: а ~ х ~ Ь) для всех — оо(а(Ь оо. Условимся под интервалом (а, оэ] понимать интервал (а, со). (Зто соглашение необходимо для того, чтобы дополнение до интервала ( — оо, Ь] было интервалом того же вида, т. е. открытым слева н замкнутым справа.) Обозначим через ьб систему множеств в В, состоящих из конечных сумм непересекающихся интервалов вида (а, Ь]; л Аепее, если А=~ (аь Ь~], п<оэ.
~ =-1 Нетрудно проверить, что эта система множеств, в которую мы включаем также н пустое множество ф, образует алгебру, 257 $2 АЛГЕБРЫ Г! СИГМА АЛГГБРЫ которая, однако, не является о-алгеброй, поскольку, если А„= = (О, 1 — 1!Л) е= а'7, то ) ) А„=(0, !) ~ еЗ'. Пусть % (Я) — наименьшая о-алгебра о (от.'), содержащая систему а ~. Эта а-алгебра, играющая важную роль в математическом анализе, называется борелевской алгсброй множеств числовой прямой, а ее множества — борелевскими. Если обозначить через е7 систему интервалов 1 вида (а, Ь), а через о(Р7) — наименьшую о-алгебру, содержащую Р7, то нетррдно проверить, что а(Р7) будет совпадать с борелевской алгеброй.
Иначе говоря, к борелевской алгебре можно прийти от системы 27, минуя обращение к алгебре а К, поскольку а(Р7) =- = а(!2(Р7)). Заметим, что (а, Ь)=Ц!а, Ь вЂ” — ), а<Ь, !т л 1' , !' (а, Ь)= П (а — —, Ь1, а<Ь, =-! л=! Тем самым в борелевскую алгебру наряду с интервалами вида (а, Ь) входят одноточечные множества (а), а также любое из шести множеств (а, Ь), (а, Ь], (а, Ь), ( — со', Ь), ( — со, Ь), (а, со). (4) Отметим также, что при конструировании борелевской алгебры ..'.ОД) можно было бы отправляться не от интервалов вида (а, Ь), а от любого из шести указанных интервалов, поскольку все на- именьшие а-алгебры, порожденные системами каждого из интер- валов вида (4), совпадают с а-алгеброй ~В()с!).
Иногда приходится иметь дело с а-алгеброй %(Й) множеств на расширенной числовой прямой )с='1 — со, со). Так называют наименьшу2о а-алгебру, порожденную интервалами вида (а, Ь) = ',х ен )с ! а < х < Ь), — со - а < Ь =. со, где под ( — со, Ь) понимается множество (хан)с: — со<х- Ь). 3 а м е ч а н н е 1. Для измеримого пространства ()Г,,Ю ф)) часто используются также обозначения ()с', Ж), (Йс, Ю!). 3 а м е ч а и и е 2. Введем на числовой прямой )с метрику ~~Х !/! р,(х,у)= +, !за Гл и мАтемгтические ОснОВАния теОРНИ ВСРОятпостей (эквивалентную обычной евклидовой метрике 1х — у,') и обозначим через,%, (17) наименьшую о-алгебру, порожденную открытыми множествами Вр(х') =(х ее 17: р, (х, х') <ргг, р > О, х' ен й. Тогда ,%,()7) =еу()1) (см.
задачу 7). 3. Измеримое пространство (1с", =% ()7")), Пусть В" = !! х... ...хй — прямое, или декартово, произведение и экземпляров (копий) числовой прямой, т. е. множество упорядоченных наборов х=(х,, ..., х,), где — сс(лл< со, я=1, ..., и. Множество 1=1, х...х1„, где 1А=(ам (г,], т. е. множество (хее Р: х,ен !ы й = 1, ..., и), назовем прямоугольником, 1„— сторонами этого прямоугольника. Через ях обозначим совокупность всех прямоугольников в 1.
Наименьшая о-алгебра о(7), порожденная системой прямоугольников сп, называется борелевскпй алгеброй множеств в !1" и обозначается %(К"). Покажем, что к этой боре- левской алгебре можно было бы прийти и иначе. Наряду с прямоугольниками 1 = 1, х... х 1„рассмотрим прямоугольники В=В,х...хВ„с борелевскими сторонами (ВА— борелевское множество числовой прямой, стоящей на я.м месте в прямом произведении !1х...хВ).
Наименьшая о-алгебра, содержащая все прямоугольники с борелевскими сторонами, обозначается с%Я) З...Яа%()7) и называется прямым произведением и-алгебр ь% ()с). Покажем, что на самом деле %(й") =%(В) Сх!...В %(й). Иначе говоря, наименьшие о-алгебры, порогкденные прямоугольниками 1=1,х...х1„и (более широким) классом прямоугольников В=В,х...хВ„с борелевскими сторонами, совпадают. Доказательсгво сущссгвенно опирается на следующее предложение. Лемма 3. !!усть Π— некоторый класс многксспгв из г1, мнппкество В с= (), и пусть пп осгределенисо К П В =. ( А () В: А ~:— .
О ). (сг) 7 пгда ОЖ()В) =--о(В)()В. (6) Доказательство. Поскольку 8 ~ О(В), то В() В =О(б)()В. (7) Но о(с) ПВ является о-алгеброй, поэтому из (7) следует, что о (6 П В) == о (е ) () В. Для доказательства обратного включения снова воспользуемся принципом подходящих мисжеств, » 2. Алгевгы и спгмА-ллгеввы 159 Обозначим й'в = (А е о (6): А Й В ев и (Ж Й В) ). Поскольку а(е) и а(о ЙВ) являются о-алгебрами, то Зв также о-алгебра, причем, очевидно, е': — ь в = а(е), откуда и (с) = а (3'в) = ь в «:- о (8) и, значит, а (е) = 3'в.
Поэтому для каждого множества А ~ а(е) А ЙВ ев о(о ЙВ), и, следовательно, о(г=.) Й В: — о(е'Й В). Лемма доказана. Д о к а з а т е л ь с т в о совпадения о-алгебр Я()г") н Я Ох,...~х) 2). Для п=( их совпадение очевидно. Докажем теперь, что они совпадают для л = 2. Поскольку Ю(>с>): — Юх,,'и, то достаточно показать, что борелсеский прямоугольник В,ХВ, принадлежит Э(Р>). Пусть й>=)с,Х)««, где Я, и й« вЂ” «первая» и «вторая> действительные и рямые, Ф, =,2), х Р>, -%', = — Р, х.>к«, где Я, х)с« Я, х;.:В>) есть совокупность множеств вида В, х )с, (й;х В»), с В, ~ Ю, (В» ев %»).
Пусть также 7, н 7, — совокупности пнзсрвглов в Я, и Р> и сР, =- .7,Х»т», »7., =Р, Х«7>, Тогда в силу (б) В>хВ« ==В» Й В, ев %',ЙВ,=-о( 7 ) ЙВ, = о(»7>ЙВ») =а(7»Й 7>) п(7»х 7>) что и требовалссь доказать. Случай произвольного и ~ 2 рассматривается аналогичным сбразом. 3 а м е ч а н и е, Пусть Ю«(К") — наименьшая а-алгебра, парожде» ная открытыми мнгжсствамн (хо) (х ~л р (х хо) .
р) х> ~Я> р)б в метрике р„(х, х') — — У, 2-"р„(хм х>), > =1 где х=(х„..., х„), х'=(х,', ..., х."). Тогда Я>ф")=,%()«") (задача 7). 4. Измеримое пространство (гс'=,,зря )) играет значительную роль в теории вероятностей, поскольку оно служит основой построения вероятностных моделей экспериментов с бесконечным числом шагов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
