1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Если все собственные числа )„..., Х, различны, то рн допускают представление (4) р()' = п~ + ац (1) А( +... + ац (г) А~„ !43 4!я мхяковскив цепи где пс, ац(1), ..., ац (г) выражаются через элементы матрицы Р. (Из этого алгебраического подхода к анализу свойств марковских цепей, в частности, вытекает, что при!,)! ((1, ..., СХ, ~(1 для каждого 1 существует предел 1пп рссхс, не зависящий от с.) 3. Пусть 5=Я„..., $„) — однородная марковская цепь с множеством состояний Х и матрицей переходных вероятностей Р = = !'Р сс,'. Обозначим Тср(х) =йс)1ср (р,) ! „, ку Пусть неотрицательная функция ср удовлетворяет уравнению Тср (х) = ср (х), х ~ Х.
Доказать, что последовательность случайньсх величин ь=(сы жг1) с ~х=ср54) образует мартингал. 4. Пусть $ = ($„, )П, Р) и $ = (Й„,)й, Р) — дне марковские цепи, отличающиеся начальными распределениями )П =- (р„..., р,) н )П =(р„..., р,). Пусть )П!'= (р',"', ..., р, '), )Ц'"! = (р',"', ..., р,'"'). Показа! ь, что если пнп рц - а ) О, то с,с ~ ~рсл! — рс"! ) ~ 2 (1 — а)".
с-.! ГЛАВА 1! МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ $ 1. Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом исходов. Аксиоматика Колмогорова 1. Введенные в предп1есзвующей главе модели позволили нам дать вероятностно-статистическоеописание тех экспериментов, число исходов которых конечно. Так, тройка (Й, а-г, Р) с Н = (о»:ы == = (а„..., а„), а; = О, ! ), о Г = ( А: Л вЂ” Н ', н р (со) ==- р 'д» это модель эксперилента, состоящего в и-кратном «независилкм» подбрасывании моне~ы с вероятностью выпадания «герба», равной р. В этой модели число Л'(»1) всех исходов, т. е, число точек множества Н, конечно и равно 2".
Зададимся теперь вопросом о построении вероя!нсстиой модели для эксперимента, состоящего в бесконечном «независимом» подбрасывании монеты с вероятностью выпадания «герба» на каждом шаге, равной р, В качестве многкества исходов естествснно взять множество Й = («к о» = (а,, а„...), а; = О, 1), т.
е. пространсзво всех последовательностей со=(а,, а„...), элементы которых принимают два значения 0 нли 1. Чему равна мощность У (л1) множества !г? Хорошо известно, что всякое число а о=[0, 1) может быть однозначно разложено в (содержащую бесконечное число нулей) двоичную дробь а=", + —,",+... (ж=О, 1). Отсюда ясно, что между точками о» множества Н и точками а множества 10, 1) существует взаимно однозначное соответствие, а значит, мощность множсства О равна мощности континуума. Таким образом, если желать строить вероятностные модели, описывающие эксперименты типа бесконечного подбрасывания мо- !4« $1 Аксиом»тнк« колмого»ов» неты, то приходи~ся привлекать к рассмотрению пространсзва 11 довольно сложной природы.
Попытаемся теперь понять, как разумно следовало бы задавать (приписывать) вероятности в модели бесконечного числа «независимых» подбрасываний «правильной> (р +д = 1(2) монеты. Поскольку в качестве ь) можно взять множество 10, 1), то интересующая нас задача может рассматриваться как задача о значениях вероятностей в модели «случайного выбора точки из множества !О, 1)», Из соображений симметрии ясно, что все исходы должны быть «равновозможными».
Но множество !О, 1) несчетно, и если считагь, что его вероятность равна единице, то'получается, что вероятность р (ы) каждого исхода а» е:- (О, 1) непременно должна быть равна нулю. Однако из такого способа задания вероятностей (р (ы) = О, ы ~ [О, !)) мало что следует. Дело в том, что обычно мы интересуемся не тем, с какой вероятностью произойдет тот или иной исход, а тем, какова вероятность того, что исход эксперимента будет принадлежать тому или иному заданному множеству исходов (событию) А. В элементарной теории вероятностей по вероятяостям р(«») можно было найти вероятность Р (А) события А: Р (А) = э, р(«»).
В рассматривае- ЬЯ А мом сейчас случае при р(««) =О, «» еп !О, 1), мы не можем определить, например, вероятность того,. ч»о «случайно выбранная точка из 'О, !)» будет принадлежать множеству (О, 1!2). В то же самое время интуитивно ясно, что эта вероятность равна 1)2. Эти замечания подсказывают, что при построении вероятностных моделей в случае несчетных пространств Р. вероятности надо задавать не для отдельных исходов, а для некоторых множеств из»1. Та >ке аргументация, что и в первой главе, показывает, что запас множеств, на которых задается вероятность, долже~ быть замкнутым относительно взятия объединения, пересечения и дополнения.
В связи с этим полезно следующее Определение !. Пусть 11 — некоторое множество точек «>. Система в >' подмножеств И называется алгеброй, если а) Й ~«К, Ь) Л, В«па~=эА()Ве=а~, А()В~»««, с) А я в» ==> А я а«« (заметнм, что в условии Ь) достаточно требовать лишь, чтобы либо А () В еп а Г, либо А () В еп ~, поскольку Л () В = А () В. А ()В=А () В). Для формулировки понятия вероятностной модели нам необ- ходимо !4з гл и, мктемктп«юскив основания твоини ввяоятностеи О п р е д е л е н и е 2.
Пусть а алгебра подмножеств й. Функция множеств р = р (А), А еп а ~, принимающая значения в 10, со), называется конечно-аддитивной мерой, заданной на аК, если для любых двух непересекающихся множеств А и В из аМ р(А+В) =р(А)+р(В~). Конечно-аддитивная мера р с р(11)(оо называется конечной, а в случае р(1)) =1 — конечно-аддитивной вероятностной мерой, или конечно-адднтнвной вероятностью. 2.
Дадим теперь определение вероятностной модели (в расширенном смысле). О п р е д е л е н и е 3. Совокупность объектов (11, а,У, Р), где а) 1) — множество точек ен Ь) ай — алгебра подмножеств 0; с) Р— конечно-аддитивная вероятность на а ~„ назьвается вероятностной моделью в расширенном смысле. Оказывается, однако, что для построения плодотворной математической теории, эта вероятностная модель является слишком широкой. Поэтому приходится вводить ограничения как на классы рассматриваемых подмножеств множества 1), так и на классы допустимых вероятностных мер. Определение 4.
Система У подмножеств 0 называется о-алгеброй, если она является алгеброи и, кроме того, выполнено следующее свойство (усиление свойства Ь) из определения 1): Ь*) если А„~,У, и=1, 2, ..., то ()А„~,У, ДА„еи У (в условии Ь') достаточно требовать, чтобы либо () А„еп,У, либо ПА„е=- У). Определение 5. Пространство 11 вместе с о-алгеброй его подмножеств,У называется измеримым пространством и обозначается (й, У').
Определение 6. Конечно-аддитивная мера р, заданная на алгебре а с' подмножеств множества 12, называется счетно-аддитивной (и-аддитивной) или просто мерой, если для любых попарно непересекающихся множеств А„А„... из А таких, что ~ А„ен а е 4 1 АКсиОМАтпКА КОЛМОГОРОВА Конечно-аддитивная мера р называется а-конечной, если пространство ь1 можно представить в виде ь1= ~Ч~ ~Р„, ь)„ен е )г(Й„) <оо, п=1, 2, ... Счетно-аддитивная мера Р на алгебре аК, удовлетворяющая условию Р(Я) =1, будет называться вероятност ой мерой илн вероятносигью (определенной на множествах алгебры ае). Остановимся на некоторых свойствах вероятностных мер, Если (сг — пустое множество, то Р (((г) = О. Если А, В ен и ~, то Р (А () В) = Р (А) + Р (В) — Р (А П В).
Если А, Венас и Вс:-А, то Р(В) =Р(А). Если А„аньес, п=!, 2,... и () А„ен ее, то Р(Аг() Аз()" )-:= Р(Аг)+Р(Аг)+" ° Первые три свойства очевидны. Для доказательства последнего достаточно заметить, что У, 'А„= ~; Вл, где В,=Л„Вл= л=! л=! = А,п...п А, П Ал, и) 2, В!ДВА = г)), г~), и, значит, Р ~ Ц Л ) = Р ~ ~ В,, = .У, Р (В.) «,~ Р (А.) '.л.=! ! гл=! г л=! л Приводимая ниже теорема, имеющая многочисленные применения, дает условия, при которых конечно-аддитивная функция множеств является в то же самое время и счетно-адднтнвной. Т е о р е м а.
Пусть Р— конечно-аддитивная фггнкггия множеств, заданная на алгебре а~, с Р (гг) =-! . Тогда следую гггге четыре условия эквивалентны: !) Р и-аддиигивна (Р— вероятность); 2) Р непрерывна сверлу, т. е. для лгобых множеств А,, А,„... ° ..~ а к таких, что Ал я Алы, () Л„е= мк л=! !пиР (Лл) =Р( ( ) Л„;; !48 ГЛ Н, МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕГ! 3) Р непрерывна снизу, т, е. для любых множеств А„А„.. ...енсе ваки, что Ал: — Ал+„П А„енот л=-1 со !Ип Р(АР) =Р( И А„1; 'л=! ) 4) Р непрерывна в (нуле», т. е. для любых множеспгв А„А„., со ...~,:у таких, что Ал„с: — 'А„П АР= 9 л=! 1пн Р(ЛА) =О. л Доказательство. 1) ==о 2).
Поскольку 0 Лл= Аг+(Ая'~А!)+(Аэ'~. А»)+", л=! то о Р) () А") Р(А) ( Р(А А)+Р(А А) ( =1 = Р (Лд+ Р (Аг) — Р (А!)+ Р (Ал) — Р (А»)+... = =1!и! Р (А,). л 2) =Ф3). Пусть п=-1, тогда Р(А„) =Р(А," (А,' Ал)) =Р(А,) — Р(А," Лл). Последовательность множеств (А,' А„)„- ! является неубывающегг (см. в следующем п.
3 таблииу) и Ц ('! ! '~. -Лл) = А! '~, Д А л л=- ! л =- ! Тогда в силу 2) со С Р(А,,А,)=Р( () (А,' А.)) л л =1 и, значит, 1пн Р (А„) = Р(А,) — !пн Р (А, ', Ал) = ( =Р(А,) — Р( Д (А," Ал)) — — Р(А,) — Р А,", П А„г= л =- ! .=, "l Р(А,) — Р(А,)-)Р (Д А„)-Р ( П А.) 149 4 г. лкспомлтикл колмогоговл 3) =:э 4) Очевидно. 4)=:о)) Пусть А„Аь, ...~аГ попарно ие псресекаются и '5, 'А„ев оК. Тогда Р ~ Аг)=Р~~~ А)+Р~ ~, А;), и поскольку ~ А,4(г), гг-ьоо, то г=ь+г ~; Рглг=гг ь Рглй-.гг лгу А)= г=г " г=.г " =-г l -гг (Р Я лгг — Р( Л лг))= -Р~, ~ А,,— гг Р( ~ А,г=гг ~ А) г=ь+г гг 1г= г 3. Теперь можно сформулировать ставшую общеприиятой сисгелгу аксиом Коллгогорова, лежащих в основе понятия вероятиостиого пространства.
Основное определен не. Набор объектов (а У Р) а) 11 — множество точек ы, Ь) г' — о-алеебра подмножеств (г, с) Р— вероятность на,г, назывиепгся оероятностной лгоделью или вероятностным проспгранством. При этом Я назгвается пространствои исходов или пргстранспгвом элементарных событий, множества А из У вЂ” собыпщями, а Р(А) — вероятностью события А, Из данного определения видно, что аксиоматика теории вероятиосчей существенно опирается иа аппарат теории множеств и теории меры. гь связи с этим полезио дать таблицу, показываюцгую, как различиые понятия иитерпретируготся в теории множеств и в теории вероятностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
