1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Поэтому ~%4 (С) с==,%(С), Следующим важным примером является 7. Измеримое пространство (0,,%(0)), где 0 — пространство функций х=(х,), Г ~ [О, 1], являющихся непрерывными справа (х, =х!. для всех 1< 1) и имеющих пределы слева (в любой точке 1 ~ 0). Так же, как и в случае пространства С, в 0 можно ввести метрику !((х, у) так, что о-алгебра,%„(0), порожденная открытыми множествами, будет совпадать с а-алгеброй,%(0), порожденной цилиндрическими множествами.
Эта метрика 4((х, у), введенная $2 лтгаггы и Гпгмт хлгаьяы Л Б. Скороходом, определяется следующим образом: ~)(х, р) =- От(',е ьО: Л) ~ Л: зцр;.х~ — )о <о,+ +знр; г — Х(г),'== а';, (18) где Л вЂ” множсс.во строго гозрастающпх непрерыщ;ых на 10, 1) функций ).=-). (() с ). (О) =-О, л(1).=1.
8, Измеримое прострзнс~во ~Ц Иь а ='~'. Наряду с прост' ~=-т овг ранством (Р г, Л Яг)), являющнхюя прямым произведением Т копий числовой прямой с системой борелевских мнгж~ств, в теории вероятностей рассматривают также измеримые пространства ( Ц Ыь ~ ~в ',.7, „образованные следующим образом. ' наг )-г Пусть Т вЂ” произвольный набор инде ксов и (Я„У А — измеримые пространства, )ад Т. Обозначим Р ==Ц Я,— множес во всех функг ций м=-(кв), )ив Т, таких что вью Ы, для каждого )а= Т. Совокупность цилиндрических множеств а ~ ..., (В,х...хВ„)=(ы: в,, ~: —.В» ..., сь с=В„~ где Во ~.У~, образует, как нетрудно показать, алгезру. Наимень- шую о-алгебру, содержащую все пклиндричсскнс множества, обозначают м .7 о а измеримое пространство ( ЦРь, в 7 А назы- )ЕТ вают пряжыж произведенная измеримых пространств фь:У ), г~Т.
9. Задачи. 1. Пусть =.Л, и .Ла — и-алгебры полмпожгств пространства Р. Будут ли и-алгебрами системы множеств чу ():=та ==-(А: А =..Я, и А = Лг), .-'Ог():Лзю(А: А е=,.Э, нли Л ==.Й,)з 2. Пусть Ю= (г)„0м ...) — некоторое счетное разбиение (а и;Ме п(~Ф). Будет лн число множеств, сос виляющих,:3, также счетно? 3. Показать, что яяа) д~ з2()с) у2я м) 4. Доказать, что множества (Ь) — (1) (см. п. 4) принадлежат %)т' ). 5. Доказать, что множества А, н Аа (см.
п, 5) не принадлежат ЭЯ(е, и), 1ЬВ ГЛ П МХТЕМКТ11с!ЕСКНЕ ОСНОВЛНПя ТЕОР!ц! ВГРОяТНОСТГП 6. Доказать, что функция (15) действительно задает метрику. 7. Доказать, что чй,(Й")=-.;З(гтк), и- 1, н Зь()т' )=чЗ(Й ). 8. ПТсть С=С(О, со) — пространство непрерывных функций х=(х,), определенных для ! - О.
Показать, что относительно метрики р(Х, у) = ~, 2 кц1!П! Зцр ',Х,— у,!, 11, Х, уЕ=С к=1 [0<с<к это пространство является полным сепарабельным метрическим пространством и о-алгебра Зь(С), порожденная открытыкш множествами, совпадает с о-алгеброй:.З(С), порожденной цилиндрическими множествами. $ 3. Способы задания вероятностных мер на измеримых пространствах 1.
Измеримое пространство ()к, З()т)), Пусть Р = Р (А)— вероятностная мера, определенная на борелевских множествах А чцсловой прямой. Возьмем А =( — со, х), и положим Р(х)=Р( — ОО, х], хее)с'. (1) Так определенная функция обладает следующими свойсгвамп: 1) г (х) — неубыва1ои!ая функция; 2) г ( — со) = О, г (+со) = 1, где г ( — ОО) = 1'пп г (х), г (+со) =11!и г" (х); к,' — ок к ! со 3) г" (х) непрерывна справа и имеет пределы слева в каждой точке х ~ Я. Первое свойство очевидно, последние два вытекают из свойства непрерывности вероятностной меры.
Определен не 1. Всякая функция Г=с" (х), удовлетворяющая перечисленным условиям 1) — 3), называезся функцией распределения (на числовой прямой Й). итак, каждой вероятностной мере Р на.(7Т, ыз(Р)) соответств1ет (в силу (11)) некоторая функция распределения. Оказывается, что имеет место и обратное утверждение. Теорема 1. Пусть г" =с (х) — некоторая функция распределения на числовой прямой )7. Тогда на (сх', З()7)) существует и прип1ом единственная вероятностная мера Р такая, что для любьсх — со =- а <, (! <, со Р (а, Ь) = Р (Ь) — Г (а).
(2) Доказательство. Пусть а"с — алгебра множеств А нз )с, являющихся конечнымп суммами непересекающихся интервалов 5 3 ЗАДАНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ Л1ЕР вида (а, Ь): Л = ) (аь, Ьь), ОНРРдслим на этих множествах фрнкццю л1ножестВ Рь, полагаЯ Р,(А) = У, '(г" (Ьл) — г (а„)1, А ~ асг. (3) Ь =-1 На алгебре яг эта формула определяет и, очевидно, однозначно некотор)ю конечно-аддптивную функцию множеств. Поэтому, сели показать, что на агой алгебре эта функция к тому же счетноаддитивна, то существование и единственность требуемой меры Р на;,Ю((с) будет непосредственно вытекать из следующего общего результата теории меры (приводимого без докакзтельства).
Теорема К ар а теодо р и. Пусть й — некоторое прострпнстео, ос — алгебра его подл!ногкесте и Ю=о(п е) — наименьисая п-алгебра, содерлсаи!ая а ~. Пусть рь — и-конечная мера на (О, е с). Тогда суи1еспгеуспс и притом единстесннач л!ера р иа (л), чгг'(а К)), ясляюи11!Яся продолжениея р„т. е. такая, чпго )с(А)=)сь(Л), Л е-=о"г. Итак, покажем, что функция Рь счетно-аддитивна на алгебре о ~. Согласно теореме из ~ ! для этого достаточно проверить непрерывьосгь Р„в Сг, т.
е. проверить, что Р,(лл) ~ !), А„~ суг, А, Г. Пусть Л„Ам ... — некоторая выбранная последовательность множеств из а г' со свойсгвом л„~ Сгг. предположим сначала, что все множества А„принадлежат некоторому замкнутому интервалу ( — йг, Л!(, )у(со. !!Оскольку Л состоят из конечного числа сумм шпервалов вида (а, Ь! и поскольку в силу непрерывности справа функций г (х) Р,(а', Ь! = г (Ь) — г" (а') — ~ с (Ь) — г"(а) = Р„(а, Ь) при а' ! а, то для каждого А„найдется многкество В„~ г-г такое, что его замьпсание (В,.) — А„и Рь (Л„) — Р, (В„) ( е.
2-", где е — некоторое заранее заданное число, большее пуля. По предположеншо () А„.= Я, а значит, и () (В,! = с)г. Но множества (В„1 замкнуты, поэтому найдется такое конечное пь — — пь(е), что (4) !еа гл и мотгв1отические Осиоаония теОРии ВеРОятиОстей (В самом деле, [ — >о, й!] — компакт, а система множеств [[ — Л', л1]'л,[В„]],- ! образует овкро1тое покро!тпе этого компакта, Тогда по лемме Гейне — Бореля существует конечное подпокрытие; л„ Ц ([ — й, ж],[В„]) =[ —.У, й!] л==! л а значит, П [В„,1=- ц>).
л — ! Учитывая (4) и ю, что Лл, л: — Лл„! л: — '... о: — А„находим Р (А")=Р(А "ПВ,'+Р ~ПлВ '1= в.-! ] в=! л ! л, — Р!А„,Д в,'!-Р„(! !!в,,в !)~ л ! «Х Ро(лв Рл)л-Х с'2 ле. в=! 1--! то Ро(А.)=Р (Л [ — >У У]+Ро(Л ()[ — Ф Ф])'=- --=Ро(АП[ — !У Ч)+е)2 и, применяя предшествующие рассуждения (с заменой Лл ! а А,() [ — Л1, >в']), получаем, что для достаточно больших и Р„(А„() (][ — 111, 11!]) Е)2. Тем самым снова Р,(Ал) [О, и — лсо. Теорема доказана, итак, между вероятностными мерами Р на (вс, лР()1)) и функ- циями распределения г на числовой прямой 1т существует взаимно однозначное соответствие, Меру Р, построенную по ф) нкцин )г, принято называть вероятностной мерой Лебега — Стплтьеса, отве- чаю!цей функции распределения г".
Особа важен случай, когда х(0, 0(х -" 1, х)1. О, Г (х) = х, 1, В этом случае соответствующую вероятностную меру (обознали и ее )) называют л!Евой .!>ебсеа на отрезке [О, 1]. Ясно, что 1,(а, (>]= Поэтому Р,(Ал) [ О, п-+ со. Откажемся теперь от предположения, что все А, с= [ — Ж, )!] для некоторого )У. Зададим е .
0 н выберем такое >У, ч!о Р,[ — 11>, !о']) 1 — е)2. Тогда, поскольку Лл лл Лл Д [ — й/, Л/]+ А„() [ — У, У], % 3 задания Всесг!Тностных мега =Ь вЂ” а. Иначе говоря, мера Лебсга интервала (а, Ь] (а тагже любого из интервалов (а, Ь), [а, Ь], [а, Ь)) равна просто его длине Ь вЂ” а. Обозначим Л ([О, 1]) =-. (А () [О, 1]: А =- =,а ()~)] совокупность борелевских множеств отрезка [О, 1].
На).ялу с эти ш множествами часто приходн~ся рассматривазь так н:зываем ге лсбеговские множества сзрезка [О, 1]. Будет говори ь, что мьжество Л г:-' [О, 1] относится к системе 0([0, 1]), если мгж ю найти такие борелевские множества А и В, что А = Л с= В и Х. (В' А) = — О. Нетрудно проверить, что система —...
([О, 1]) являсгся и-алгеброй. Именно ее и позыва ог агет люи лгбегоееких множегпго отрезка [О, 1]. Ясно, что .М([0, 1',) '=. аозт([0, !]). Меру ), определени)ю пока лшиь иа хгножес~вах из,~е([0, 1,*Б естественным образом можно прод"л кить и на сг:сгему лсбсговсггг:, множеств В([0, 1]). А именно, если Л =.,М([О, 1]) и А ~=- Л г: — В, где А, В е= Ф ([О, 1]), Л(В',А) = О, то положим л(Л).=). (А).
Ток определенная функция множеств Х вЂ”.--Х(Л), Л~;~([0, 1]) являегся, как нетрудно проверить, вероятностной мерои на ([О, 1], гм([0, 1])). Ее также называют лебегоеекой згерой (па спсгсмс лебсговских множеств). Заме чан не. Проведенная процедура пополнения (продолжения) меры прггмепяется и оказываегся полезной не только в рассмотренноьг случае. Например, пусть (11, У, Р) — некоторое вероятное~нос простраисзво.
Обозначим через Уи совокупность всех подмигжеств А прсстрансзва Й, для которых можно найти также множества В, и В, из,У, что В, г: — А г: — В, и Р (В,;~ В,) =-О. Естествсггным образом (с помощью равенства Р (А) = Р (В,)) вероятносзиая мера определяегся и для ьгггожсств А ~ Хе. Полученное таким образом новое вероятносзпое пространство (11, Уи, Р) назыиаезси пополнением пространства (РО У, Р) относительно меры Р. Если верошностиая мера Р такова, что У и = У, то она называется полной, а соответствующее пространство (ез, У, Р)— полным вероятностным проетранетеом.
Устанавливаемое равспсгвом Р (а, Ь] =Р(Ь) — Р (а) соответствие между вероятностными меракш Р и функциями распределения Р дает возможность конструирования разных вероятностных хггр с помощью задашия соответствующих функций распределения, Дискретные меры. Пусть функция распределения Р = Р (х) является (рис, 25) кусочно-постоянной, меняющей сваи значения в 'гочках х„х,, (ЛР(х,)) О, где ЛР(х) ==Р(х) — Р(х — )).
Соответствующая этой функции вероятностная мера Р сосредоточена 1ТО Гл и млтгм!тическив Основания теор!и! ВероятиОстеи в точках х„х„...: Р((ха)) =ЛР(х„) ~ О '5; Р((х,)) =1. Набор чисел (р„р.„...), где ра=Р((х/,)), называют дискре/ины/ц рас//редгь!и////с!! еероят//осте!1. ха .Та х Рнс. 25. Приведем таблицу наиболее употребительных типов дискретных вероятностных распределений с соответствующими наименованиями (табл. 1). Таблица 1 Гасисевелеиио Вероьтаостн и Парассетрн 1 /т' —,, /г= 1, 2..., М Дискретное равноиер!сое Бсритллиевское ст/ =1, 2, О р 1 ч=1 р -Р~1 Ч=1 — Р и = 1, 2, ... Бнноинальное и-! /ь и ", /.*=-О, 1,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
