1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Очевидно, что верно и обратное: если Рз представимо в виде (3), то с является дискретной случайной величиной. Случайная величина $ называется непрерывной, если ее функция распределения Рь(х) непрерывна по х ~Р. Случайная величина $ называется абсолготно неггрерыеной, если существует неотрицательная функция ) =~ь(х), называемая плотностью, такая, что Р,(х) = ~ )~(у) йу, х — йг, (4) (интеграл понимается в смысле Римана, а в более общем случае — в смысле Лебега;.см. далее 3 6). 2. Установление того, что некоторая функция 5 =$(ог) является случайной всличиной, требует проверки выполнимости свойства (1) для всех множеств В ~.У.
Следующая лемма показывает, что класс таких «пробных» множеств может быть сужен. Лемма 1. Пдспгь 8 — нскоторая система лгнолсеств пгакая, что о(б)= су(!«). Для пгого чтобы некоторая функция В=$(ог) была,у -измеримой, необходилго и достаточно, чпюбы (ог: $ (иг) я Е) ен,У' (6) для всех Е ы 8. Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость очевидна.
Для доказательства достаточности опять воспользуемся принципом подходящих множеств. Пусть .2т-система тех борелевских множеств 0 из,Я(Р), для которых 5-! (О) ~,У, Операция «взятия прообраза» сохраняет, как нетрудно проверить теоретико-множественные операции объединения, пересечения и дополнения: й- ('() В„1=.Ц5- (В.), '! а / сс $-г(ПВ„'~=П5- (В.), ~- (В„)= ~- (В„). (6) Оп р еде лен не 3. Функция Р;(х)=Р(еи 2(иг) .-х), х~Р, называется функцией распределения случайной селичины $. Для дискрезной случайной величины мера Р. сосредоточена не более чем в счетном числе точек и может быть представлена в виде ьеа ГЛ И М1ТСМ1ТИЧГСКИЕ ОСИОВХПИЯ ТЕОРИИ ВСРОЯТИОСТГИ Отсюда следует, что система йй является о-алгеброй. Значит, В с Щ с:,,Рд ()Р) и о (В) ~:.
о ( 'л) = .;т = гЭ Я), Но о(В) =..%(гь), следовательно, 'У= гй(гх). Следствие. Лля того чтобы С =Е(ы) была случайной величииои, необходимо и достаточно, чтобы для любых хе= )Г (ю: Е(ьь) (х) е=:У, плп (Ри Е(ьь) (х) е=,У, Локазательство сразу следует из того, что каждая из систем множсс !в о'! =(хь х(с, се= )(), Во=(х! х~с, с ~ гх) порсждает о-алгебру Я()х), о(Ж!)=о(61)=.Я()х) (см. з 2). Приводимая ниже лемма дает возможность конструирования случайных величин как функций от других случайных величин.
Лемма 2. Пусть Гр =Гр(х) — борелевская йоункция, а Е =-Е(!о)— случайная величина, Тогда сложная функция ь) =гр Е, т. е. функция т) (!о) = Гр (Е (!о)), является также случайной ее!аниной. Лок аз ательств о следует из того, что для В ен,гв()х) (ьс 1) (Го) ~В)=!!оь: !р(Е(ьь)) он В)= (!о: Е(ьь) Ен!р-'(В)ьь я-.У, (7) поскольку гр-'(В)ен Х ()х). Таким образом, если Š†случайн величина, то такие функ- ции, как, скажем, Е", $'= игах Я, О), $-= — пй!и ($, О), ~ Е) также являются случайными величинами, поскольку функции х"„ х-', х-, )х) являются борелевскими (задача 4). 3, ОтПраВЛяяСЬ От ЗадаННОй СИСТЕМЫ СЛуЧайНЫХ ВЕЛИЧИН (Рьь, можно из нпх стропьь новые функции, например У,')Е„!, (ипЕ„, Ф=! 1!ив хо„и т.
д. Заметим, что эти фУнкции пРинимают свои значе- ния, вообще говоря, )же в расширенной числовой прямой гх= =1 — оо, Оо). Поэтому целесообразно несколько расширить класс ,У-измеримых фуьпсций, допуская, чтобы они принимали также значения ь-оо, Определение 4. Функция Е =Е(!о), определенная на (Я,,У) и принимающая значения в )х=( — со, оо), будет называться рас- !ииренной случайной величиной', если для любого борелевского множества В ен огв (Д) выполнено условие (1), % 4. слэчк! пгые Вслгг пгны ! Следующая теорема, несмотря на се простоту, является ктсчевой при ггсстроеггигг интеграла Лебега 6 б).
Теорема 1. л) Для любой (в толг числе и расширенной) случайной величины Е =- э (ьэ) найдется аослсоовательность ароса ы с случайных вешчин ьг, ьэ, ... ягаких, чпго ! ь„'-.=: $ и ь,(ьэ) — ~ьз(ы), и - со, для всех ьэ ей 11. Ь) Если к толгу вке ь(ьэ) эО, пго наиденгся поэсэгсдгэваггге.гьнссгггь простых слу гсгггных вели игн ег, ьэ, ... огаких, чого Е„(гэ) г $(ы), , д,ч .е.
Оэ =11. .г(оказ ат ель ство. Начнем с доказательства второго угвсрждения. Положим для гг=1, 2..., ~э гг — г ~.(ьэ)== у „Угэ — г л~(ть)+п1гег э>.г(ьэ) зл ( эл эь 1!епосредственно проверяется, что построенная последовательность ь,(гээ) такова, что Е„(ьэ) ) $(гэ) для всех ьэе-:(э. Из этого утверждения вытекает также справедливость перво~о утверждения, если только заметить, что с может быть представлена в виде з=-э'— — ь . Теорема доказана. Покажем теперь, что класс расширенных случайных величии замкнут относительно' поточечной сходимости. С этой целью заметим прежде всего, что если ь„3„...— последовательность расширеггных случайных величин, то функции ьцрь„, !п1З„, (ип"„и 11ог ь„также являются случайными величинами (быль можст, расшггреггггыыгг). Следует это непосредственно из того, что (ы: гтрк„)х)= ( ) (гсс 5„) х) ~ У, л (: !п(ч„<х)=- '()'(ыг $„<х) ен У П н 1(пг$„=1п( гшр 1„„1!пг$„=-эггр !п1 й .
п т>л ээ эээ>л Теорема 2. Лусгпь 3„$м ... — последовательное нь расширенных случаиньгх величин и Е(ьэ)=1!гэга„(ьэ). Тогда з(ьэ) также является расширенной случайной величиной. Доказательство сразу следует из сделанного выше замечания и того, что (ек $(ьэ) <х)=(гсс !пи э„(ьэ) <х)= =(гь: 1нп 5„(ьэ) =1нп з„(о>)~ Д !1!ш$„(ьэ) <х~= = 11 Д (! !ш $„(ьэ) < х~ = (! (гп $ь (ьэ) < х~ ~,У. 1ОО ' гл и мттемктичвскпн основлнии тсоглщ всиоятностш1 4. Остановимся еще на некоторых свойствах простейших функций от случайных величии, рассматриваемых на измеримом пространстве (Р, У) и принимающих, быль может, значения в расширенной числовой прямой Д=( — сс, оо)ь). если ~ и ч — две случайные величины, то $+ч, в — ч, вч и с)Ч также являются случайными величинами 'в прсдполс>кешщ, что они определены, т.
е. не возникает неопределенностей тиса В самом деле, пусть (с„) н (Ч„) — последовательности случайных величин, сходящиеся к $ и Ч (см. теорему 1). Тсгда ьл — Чл -' 6 — Ч .+- ' — 1- Е.чь — и И, Ч +;; Г(н„=с) Р О Каждая из функций в левых частях этих соотношений являе:ся простой случайной величиной.
Поз~ему в силу тсоремы 2 пгедельные функции В 1-Ч, $Ч и 5/Ч также являются случайными величинами. 5. Пусть с — случайная величина. Рассмотрим множества пз .У вида (еи с (о1) я В), В ен Уд (В). Наименьшую о-алгебру, порожденную такими множествами, называют о-алгеброй, порожденной случаиной величиной с. Будем ее обозначать У . Если гр — гскоторая борелсвская функция, то из леммы 2 след)ет, что функция Ч=ф ° е также являе1ся случайной величиной, прячем ыгь-измеримой, т. е.
такой, что (ья Ч(со) я В) я 7е, В =— ~ =.3 ()с) (сы. (7)). Оказывается, что справедлив и обратный результат. Т е о р е и а 3. Пусть ч) — Г;-итл1ерил1оя случайная величина. 7'огда найдегпся такая борсгевская функция ф, чп1о т)=ф ° С, 1п. е. для каждого ю е= П ч) (ое) = цо (з (со)). Доказательство. П)сть Ф вЂ” класс всех ~т пзмеПглых функций ч) =11 (оч), а Фе — класс,Уе-измеримых функций, предс,авимых в виде ф.$, где гр — некоторая борелевская функция. Ясно, что Фе -Фм Утверждение теоремы состоит в том, по иа самом деле Ф: =Фе. ') В дальнейшем принимаются обычные соглашения относительно ерпфмеа тичсских операций в й: если а ы й, то а -+. со=-~. со, — = О; а.
оп=со ж го если а )О и а со= — со, есле а ( О, О (1- со) =О, =о-,'-=-= л — - — оо.—— й С. СЛГЧлтсНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1 Пусть А ~,Г-, н с! (в) = /д (в). Покажем, что т! = !1!., Действительно, если А ~«У», то найдется В е— = „Я()7) такое, что А = =-(в: в(в) ~ В!. Обозначим ((, хенВ, ув(х)= ~ Тсггда )с(в) =уе(«(в)) я Ф . Отсюда следует, что и любая про- стая,У;.-измеримая функция У ес(л (в), А; Е=-,Уг, также принадс=! лежит классу Ф». Пусть теперь с) — произволюсая,У'ь-измеримая функция.
По творе.се 1 найдется последовазельность проссых У;-измеримых функций (с),) таких, что п„(в)- с)(са), п — «-со, ве=!!. Как только что было установлено, существуют такие борелевские функции фн = ср„(х), чго г!„(в) = фн ($ (в)). При этом ф„(я (в)) — с) (в), и со !а~с! Обозначим В =',х~ !с! !(и!ср„(х) сусцествует).
Это множество л является борелевскнм. Поэтому функция 1йп ф„(х), х ен В, ср (х)= О, хфВ также является борелевской (см. задачу 7). Но тогда, очевидно, г! (в)= )(сп фл ($ (со)) = ф («(в)) для всех л в ~ с). Следовательно, с!«ь=-Ф;. 6. Рассмотрим вероятностное пространство (й, У, Р), в кото- ром о-алгебра У порождается некоторым конечным или счетным разбиением Ю=(0„0„...), ~'0,=(1, Р(0д)0.
Ьудем при эсс««! предполагать, что 0; являются атомами относительно меры Р, т. е. если А «: — 0с, А ~ У, то или Р(А) =0 или Р(0! ьА) =О. Лемма 3. Пусть $ — У-измерим!!я 4ункс(ия, где У =о(Ю). Тогда В постоянна на атомах разбиения, т. е. $ предстаеима е виде $(в)= хХ,' х»1о (в) (Р-п, и,). (8) »=! (Запись «» =с! (Р-и. н.)» означает, что Р(5~»)) =0.) Доказательство. Пусть 0 — атом разбиения относительно меры Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
