1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Для доказательства необходимости рассмотрим (не более чем счетное) множество Л=(а: РЯ=а)>0), Тогда для каждого а ф А 2»1(< ~,) - ~1га<,г, причем семейство величин ($.1(а„~«))< > г будет равномерно интегрируемым. Поэтому в силу «достаточности» М$„1(;,) — М11(а,г, агф А, а значит, М$.1(1< >,;) — Мг1(г-,г, а 4 Л, и — со. (15) Зафиксируем е- 0 и выберем сначала а» ен А столь большим, что Магг>,0<е12, а затем 1гг» столь большим, что для всех гг=йг, М»»1(«> а<) ~ МУ(1 > ал + ег/2~ и значит, М$<1(е >, ) =- е, Выберем, наконец, а, = а, и столь больгшгм шю для всех п~ Лг» ЬЕ 1(г >, ) ж Тогда зпрМ"„,1(; >, ) е, л что и доказывает равномерную интегрируемость семейства случайных величин Д„)„> г. 4. Остановимся на некоторых критериях равномерной интегрируемости.
Прежде всего заметим, что если гД„) — семейство равномерно интегрируемых случайных величин, то (16) зпр М ~$„) ( оо. < В самом деле, для фиксированного е>0 и достаточно больших с>0 зп Р М $„( = зп Р [М (( 2„~ 1( ~ т ~ >,) ) + М (,; Б„(1(, «, с,) )] ~ := зп Р М (~ Бл ~ 1(, г„~ > <)) + зц Р М (! в< ( 1( г„, ,( с)) ~= е + с, < л что и доказывает (16). Оказывается, что условие (16) вместе с так называемым условием <равномерной непрерывности» является необходимым и достаточным для равнбмериой интегрируемости. Л е м м а 2.
Для того чтооы семейство слу гайных величин Д„)„- г было равномерно интегрируемо, необлодимо и достаточно, чтобы М($„(, и»1, были равномерно ограничены (т, е. выполнено условие (16)) и чтобы М ( К„~ 1л), п» 1, были равномерно непрерывны (т. е. зпр М (, 'Е„' ,,1л)-э-О, когда Р(А)-~-0). 5 6 интеГРлл лизеГл млтемлтическое ожидлние 207 Доказательство.
Необходимость. Условие (16) было проверено выше. Далее, М (~ Ел ~ 1А) = М ~~ 3п ~1АП('$„~ ~ с)) + М (~ сс ) 1лп(' $с ! (с)) -'="~ ~ М ~,' Е„~ 1(, ~, ~,))+сР (А). (17) Выберем с столь большим, что еир М ~,'$,~1( г„~ ~.Д ~г12 Тогда с если Р(А) =е(2с, то из (!7) зир М (,' $„( 1А) ~ е, л зпр Р(,'с„) ~с) = — зир М ~ $„(-~0, с-ьсо, а значит, для достаточно больших с в качестве множества А можно взять любое из множеств ( ~ 2„( =» с), и ~ 1. Поэтому зиР М(~асс~1(,Я ~~с)) == а, что и доказывает РавномеРнУю интегРируемость. Лемма доказана. В следуюшем предложении дается удобное достаточное условие равномерной интегрнруемости.
Лемма 3. Пусть 2о $„...— последовательность интегрируемых случаиных величин и 6 = 6 (1) — неотрииательная возростаюи(ая функция, определенная для (= О, такая, что Вш — = со, й у) сс (18) (19) зпр М(6 ( ~3„,')1( со. Тогда семейство случайных величин ($„)„~ ~ является равномерно интегри руемььи. доказательство. Пусть е- О, М=зирМ(6(~$с))) а= с = —. Выберем с столь большим, что — ~а для 1~с.
Тогда си б (Г) М~~ $л ~ 1(~ес( ясД~, М6 (~ ес ~)'1()еч!)сД~ Равномерно по всем и ~ 1. что и доказывает равномерную непрерывность, Достаточность. Пусть г)0 и б)0 таково, что из условия Р(А)(б,следует, что равномерно по п М(~5„~1А)~г. Поскольку для всякого с ~ 0 М ( г„( ) М ( 1, ( 1( е, ~,1 ~ сР ( ( $„г --з с) (ср. с неравенством Чебышева), то 208 гл и. математическая основлння теогиш ввиоятностеп 5.
Если $ и т! — независимые простые случайные величины, то, как и в п. 5 5 4 гл. 1, доказывается, что М"»,Ч=Мк Мп. Установим теперь справедливость аналогичного утверждения в общем случае (см. также задачу 5). Теорема 6. Пусть в и и — независимые сгучабные величины с М~$~<оо, М!т1~ со. Тогда М)аз!)<со н !2О1 Доказательство. Пусть сначала чь)О, и=--О.
Положим Тогда 5„( $, 1с„— $ ~:=:- — и т1„(т1, !!1„— и ~ ( 1(а. Поскольку ! М$<оо, М!1<оо, то по теореме Лебега о мажорируемой сходимости 1пп М$„= М$, 1пп Мд, = Мт!. Далее, в силу независимости З и !! М = ~! ~' М1 кт м = ~ —,М~„. „!! МУ!! !.! =М5„Мп„. Заметим теперь, что ~Мзи — М~„з1„( ( М ! $з! — Е„т1„((МП $! ,° ! т! — П„Ц-1- +М[~!! !'!ь — $~!1( ! М,+ 1 М~Ч+ — !-) О, -Ф М$Ч =11щ Мьь„т1„=1пп М$„1!щ Мп„= М$ Мгь причем л Поэтому М$п < оо Общий случай сводится к рассмотренному, если воспользоваться представлениями Г = $ — $-, т! = Ч' — и-, $!! = 5'!!' — а-Ч'— — 5'!Г+5-!Г. Теорема доказана. 6.
Приводимые в этом пункте неравенства для математических ожиданий систематически применяются и в теории всроятностеи, и в математическом анализе. 6 6 интеГРАл лиееГА млтемлтическое ожидхние 209 Н ер а вен ство Чебышева. Пусть Š— нготрицагпельная случайная величина, тогда для всякого е)0 Р (й == е) ~ —,~. (21) ,Г(ок азательство сразу следует из того, что Мг ) М Д 1!! >,>1» ЕМУ<.„>,! = еР Д ) е). Из (21) получаем следующие разновидности неравенства Чебышева, если Š— произвольная случайная величина, то Р(Е)е) =+ (22) Р (/ $ — М$ ( ) е) =. +, (23) где 03 = М (~ — М$)6 — дисперсия случайной величины $.
Неравенство Коши — Буняковского. Пусть $ и т) такова, что М~е(оо, М116< со, Тогда М~$т),'< со и (М ~ $т) 1)6 ~ Мг' Мпе. (24) Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем предполагать, что М" .О, МЧ' ">О. Тогда, обозначая с= ~, Ч= ч, находим, что поскольку 2)~т1(~$6+т)', то 2М ,'ей ( ( М;='+ М зг = 2, т, е.
М~ат1~~1, что и доказывает (24). Если же, скажем, М66=0, то тогда по свойству! 5=0 (п. н.) и по свойству г М$61=0, т. е. (24) также выполнено. Н е р а вен ство Иенсе и а. Пусть у=о(х) — выпуклая книзу борелсвская функция и М ~ 5(со. Тогда д (М;;) ~ Мд ($). (25) Полагая х=5 и хв=МС, из (26) находим, что да й(М,)+(й — МЦ.) (М:) и, следовательно, Мо(е) о(М$), До к а зат ель ство. Если функция д=д(х) выпуклая книзу, то для каждого х,е=)! найдется число х(хь) такое, что для всех хен)! п(х)=:д(х )+(х — х ) А(х ).
(26) З!О ГЛ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ Из неравенства Иенсена выводится целая серия полезных неравенств. Получим, к примеру, Неравенство Ляпунова. Если 0<а<(, то (27) (М13 ~ )11 «(М ~ 1 ~1)111, Лля доказательства обозначим г =(/з.
Тогда, полагая т(=Д," и применяя неравенство Иенсеиа к функции д(х) = ~ х!", находим, )Мт! ~" = М , 'т! (", т. е. (М ' $ и)1М «М ! 3 1т что и доказывает (27). Из неравенства Ляпунова вытекает следующая цепочка неравенств между абсолютными моментамш М ~ $ ) «(М ~ $ ~') ц' «... «(М ~ Р ~")"". (28) Н е р а в е н с т в о Г е л ь д е р а. Пусть 1 < р < со, 1 < д < со и — + — = 1.
Если М ! Е !~Р < со, М ! т! 1ч < оо, то М ~ $т11< ОО и Р Ч М ) $11 ! «(М ) 'с(Р) '1Р (М ! т! 1т) "т. (29) Если М~ 5,1Р=О или М!т!!Р=О, то (24) следует немедленно, так же как и в случае неравенства Коши — Буняковского (являющегося частным случаем неравенства Гельдера при р =у= 2). Пусть теперь М)$',Р О, М!т)!Ч>0 и ч (М ! Е,Р! 11 ' " (М , Ч,т)н ' Воспользуемся неравенством хаут « ах -(-Ьу, (30) справедливым для положительных х, у, а, Ь, а+Ь=1 и вытекающим непосредственно из свойства выпуклости кверху логарифмической функции: 1и (ах+ Ьу)» а! п х+ Ь 1п у = 1п х"у'. ! ! Тогда, полагая х=ЕР, у=т!т, а= —, Ь= —, находим, что Р' Ч' откуда Мй « — М5Р+ — Мт!д= — +--=1, ! - 1 - 1 ! Р Ч Р Ч что и доказывает (29).
4 6. ИНТЕГРАЛ ЛИВЕГА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ 2!! Неравенство Минковского. Если М(е ~Р<ОО, М~Ч,'Р< < со, ! = р < оо, тло М ! С+ Ч !Р < Оо и (М~~+ч,) (М~~;) +(М~ч,.)! . (31) Установим прежде всего следующее неравенство; если а, Ь ) 0 ир= 1,то (а+(т)Р = 2Р-т (аР+6Р). (3» В самом деле, рассмотрим функцию Е(х) =(а+х)Р— 2Р-тх У,(ил+ хР). Тогда Е' (х) = р (а+ х)Р-т — 2т'-'рхл-', и поскольку р-"- 1, то г"'(а) =О, Е'(х) ) 0 для х< а и р'(х)<0 для х ) а. Поэтому г" ((т) =: !пах Е (х) = Е (а) = О, что и дает неравенство (32). В соответствии с этим неравенством ~ Ц+т! /Р«(! $ !+'т! /)Р ='2Р-т(, 'Е <м+' т),'Р) и, значит, если М , '$'А< со, М',т)'Р < оо, то М ;'с+Ч Р< со.
Если р=-!, то неравенство (3!) следует из (33). Будем теперь предполагать, что р)1. Возьмем д~ 1 таким, 1 ! что — + — =1. Тогда Р Ч ~В+Ч!'=~$+Ч~ ~В+Ч,' '=!$~ !$+Ч~' '+~Ч~~с+Ч~' ' (34) Зак!етт!м, что (р — 1) д=р. Поэтому М (' $+ Ч ~Р т) т = М! $ + т! ~Р < со, и, значит, в силу неравенства 1ельдера М(,~~~~+ч -» (М~~ ) (М ~+ч =(М;~;Р) Р(М;5+Ч.ГР)п < Точно так же и М (,'ч ~!$+ч,'-т) «(М 1 ч,")" (М ! с+т! ~')и' Поэтому в силу (34) М' ,~+и (»«(М' ,5+ т!,'Р)ит ((М ( $Р)|тл+(М ! Ч,'Р)ИР). (35) Если М~С+Ч(Р=О, то требуемое неравенство (31) очевидно, Пусть теперь М!$+Ч,Р)0. Тогда из (35) находим ! (М ' Р+ !! ~Р) т «(М ( ~ ~Р)ИР+ (М ( Ч )Р) ИР, что и дает требуемое неравенство (31), поскольку 1 — — = —. 1 ! Ч Р 2>2 ГЛ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ 7.
Пусть 5 — случайная величина, для которой определено математическое ожидание М$. Тогда, согласно свойству л), определена функция множеств 0 (А) =— ~ $ с(Р, А ~,У. л (Зб) Покажем, что зта функция является счетно-аддитивной.
Предположим сначала, что $ — неогрицательная случайная величина. Если Л„А, ... — попарно иепересекаюгциеся множества из Х и А = ~'Ал, то в силу следствия к теореме 1 0(А)==М(с ул)=М(с !ел )=М(;"$ ул )= М(й 7л )=- а(Л,), Если же $ — произвольная случайная величина, для которой Ме определено, то счетная аддитигность 0 (А) следует из представления О (А) = 0" (А) — О- (А), (37) где О (А)=~й бР, О-(А)=~Ь-бР, установленной счетной аддитивности для неотрицательных случайных величин и того факта, что ппп(О'(>1), 0 (сл))(со. Итак, если М$ определено, то функция множеств О=О(А) является мерой со знаком — счетно-аддитивной функпией множеств, представимой в виде О=О,— О„где по крайней мере одна из мер О, илн Ол конечна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
