1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Пусть теперь 2 (в„оа) = Тг(а»„гаг), У ен,У. функция множеств )' (~) ~ Та (2»13212)»((Р1 ~ Р2)г а,ха, является, очевидно, о-коиечной мерой. Нетрудно проверить также, что таковой же является функция множеств т (~) ~ ~ ТГ ( 1~ е»2) Р2 (~(2»2)~ р'1 (г(~~1)' а~) аг Как было установлено выше, 7, и т совпадают на множестве ш»да У=АхВ, а значит, и на алгебре а:У. Отсюда по теореме Кара- теодори следует, что ). н т совпадают для всех Р ~,У. Перейдем теперь к доказательству собственно утверждений теоремы Фубини.
В силу (47) ~+(а»1, а» )»((Р хР ) ( о, ~ 2ь (2»1, 2»г)»((Р»хР2)(оо. а,ха, а,ха, Согласно доказанному интеграл ~ $+ (ы„ог) Р, (а»2»1) являетгя ,У,-измеримой функцией от а»1 и ь (е»1 а»2) Р2 (г(1аг)~Р»(»(2»1) = ~ $2 (2»1 ь»2) г((Р»хР2) «со' а,)1», й архаг Поэтому в силу задачи 4 (см. также свойство / в п. 2) ~ $»(2»„а»2) Р2 (г(122) (со (Р,-п.
и.). Точно так же и ~ Ч-(а»„е»2) Р, (г(а»1) ( со, (Р,-п. н.), а значит, »ь(2»1, ь»2) ~Р2(де»2) (оо (Р»-п. и.). Ясно, что за исключением некоторого множества еФ, имеющего Р,-меру нуль, ~ ~( „ые)Р2((ы2)= а, 4+(211, а»2) Р2(»(2»2) — ~ $ (2»1, Ог))12(6(0»2). (о4) $2 ИНТЕГРАЛ ЛПБЕГА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДА11ИВ 9!9 Полагая входящие сюда интегралы равными нулю для и, ен 0А", можем считать, что (54) выполнено для всех 011 ~ 2)1. Тогда, интегрируя (54) по мере р, и учитывая (50), получим, что 2 ( 1~ 0'2) 1'2 ( 101)1 Р1 ((0'1) п1)ир ь (0'1~ 0'2) )22 (~'( 2)1 (21 (2(011) ~ Г) 9 (011 021)(22("012)1р1("021) = ~ Б+(021э 022) "(р1Х)12У— (0'1 0'2) 4.'(1111 Хр2) ~ 5 (0)1~ 012) 0( (321 Х (12) а1ха2 и,хи, Аналогичным образом устанавливается первое соотноше11ие в (48) и равенство ),((1,ХИ,) — ~ ) ) $ (021, 022) )21(2(021) ~82(0(022).
а,ха, п 1~01 Теорема доказана. СлеДствие, Если ~ ( ~ ~ $(021, 012) ~Р2 (1(Г02)1111 (1(021) (со о,( о, утверждения теоремы Фубини также выполнены. Действительно, при сформулированном условии из (50) следует (47), а значит, справедливы и все утверждения теоремы Ф) бини. Пример. Пусть ($, 2)) — пара случайных величин, распределение которых имеет двумерную плотность )Ел(х, у), т. е. Р (($, 21) ~ В) = ~ Г"-„(х, у) ГТх 12у, В еп В ()т2), где ~вч(х, у) — неотрицательная л(Я2)-измеримая функция, а интеграл понимается как интеграл Лебега по двумерной лебеговской мере.
Покажем, что тогда одномерные распределения для 9 и 2) также имеют плотности )ь(х) и („(д), причем Г; (х) = ~ Г'22 (х, Д) 0(Д (55) 10 (9) 1 12ч (х Р) 2(х' 220 гл н мс(та(ситичвскиа основ((ния твои(и авгоятностви В самом деле, если А ен Я(Я), то по теореме Фубини Р ($ я А) = Р ((~, т]) ен А х)() = ~ )»ч (х, у) ((х ((у = лхл = ~ ) ) )»ч(х, у) ((у~ (]х, А (л что и доказывает как наличие плотности распределения вероятностей у $, так и первую формулу (55). Аналогично доказывается вторая формула. Согласно теореме из й 5, для того чтобы случайные величины в и ]] были независимы, необходимо и достаточно, чтобы г'»„(х, у)=г»(х)гч(у), (х, у)~Р', Покажем, что в случае наличия двумерной плотности )»ч(х, у) величины $ и ]] независимы тогда и только тогда, когда г»„(х, у) =)'»(х) г„(у) (56) (равенство понимается почти наверное относительно двумерной лебеговской меры). В самом деле, если выполнено (56), то по теореме Фубини г"»„(х, у) = )'»„(х, у) (Хх(]д оо $ Г»(х) Д„(у) (Ех((у = ( —, к] Х( — ° и] ( — со, к!СС( — со, у] ~»(х)(]х~ ~ 1,(у) (д) = у»(х) "ч(д) ( — со.
к] ,( — со, у] и, следовательно, $ и (] независимы. Обратно, если они независимы и имеют плотность (»„(х, у), то опять-таки по теореме Фубини г»„(х, у) (]х ((д = ( — .к]х( —,к] ) (х)((х') ~ ~ ~„(у)((у~= (( с..] /(( — .к] 1»(х) 1„(у) (х (д. ( — со, к]Х(-со. у] Отсюда следует, что для любого В ен И()(') ~ ~»ч (х, у) ((х (]д = ~ )» (х) ) „(у) ((х (]у, в в и пз свойства ! легко вывести, что выполнено (56). 5» ИНТЕГРАЛ ЛИБЕГА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ »2! 1О. В этом пункте будет рассмотрен вопрос о соотношениях между интегралами Лебега и Римана. Прежде всего отметим, что конструкция интеграла Лсбега не зависит от того, на каком измеримом пространстве (Й,,У) заданы подлежащие интегрированию функции.
В то же время интеграл Римана для абстрактных пространств не определяется вовсе, а для случая пространств Р = )с" он определяется последовательным образом: сначала для )с», а затем с соответствующими изменениями переносится на случай и > 1. Подчеркнем, что в основу построения интегралов Римана и Лебега положены разные идеи, Первый шаг в конструкции Римана состоит в том, что точки х ен )х! группируются по признаку их близости па оси х.
В конструкции же Лебега (для 1)=!с!) точки х е:- )т! группируются по другому признаку — по близости значений, подлежащих интегрированию функций. Следствием этих разных подходов является то, что соответствующие интегральные суммы Римана будут иметь предел лишь для не «слишком» разрывных функций, в то время как лебеговские интегральные суммы будут сходиться к предельным значениям для более широкого класса функций. Напомним определение интеграла Римана — Стилтьеса.
Пусть 6 = 6 (х) — некоторая обобщенная функция распределения на (см. п. 2 ~ 3), )А — соответствующая ей мера Лебега — Стилтьсса, и пусть д=д(х) — ограниченная функция, обращающаяся в нуль вне отрезка [а, Ь). Рассмотрим разбиение У= [х„..., х„), а=х»<х»<...<х„=Ь, отрезка [а, Ь1 и составим верхние и нижние суммы » » = 'У, я;[6(х!„) — 6(х!)), Д = 'У,'д; [6(х;„) — 6(х,)), !=! — ;=!— где д! = Бир д(у), Ь!! = (п( д(р). » с»<»» с»( Определим простые фуш«ции дР(х) и д!» (х), полагая на х;, < (х(х! дг(х) =д!, Ат (х) =дь и определяя е»а(а) =УР(а) =д(а). Ясно, что тогда Х =(1.-5)~ а (х) 6(!(х) а ГЛ !! МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕП н ~~.',, = (Е-5) 1 уг(х) 6 (с(х).
а н если !д(х)!~С, то по теореме о мажорируемой сходимости ь 1(пт ~ Р„= (Е-5) ~ д (х) 6 (с(х), !ип ~ =(Е-5) )д(х) 6 (с(х), а где д(х) =!!пще (х), д(х) =1!щде,(х). Если пределы !Ип~ч~а и 1!и! 5,'Р конечны, совпади!от и их оби(ее значение не зависит от выбора последовательности разбиений (У»), то говорят, что функция д=д(х) интегриру ма по Римону— Стилтьесу, а соответствующее общее значение пределов обозначается Ь (1с-5) ~ д (х) 6 (с(х). а (58) В том случае, когда 6(х) =х, этот интеграл называется интегра- лом Римана и обозначается (1с) ~д(х) с(х. а Пусть теперь (Е-5) ~ д(х) 6 (ь(х) — соответствующий интеграл а Лебега — Стилтьеса (см.
замечание 2 в п, 2). Теорема 9. Если функция д=д(х) непрерывна на «а, 5], то она интегрируема по Риману — Сти,атьесу и Ь (Р-5) ~ д (х) 6 (!(х) = (Е-5) ~ д(х) 6 (с(х). (59) а а Локазательство. Так как функция д(х) непрерывна, то д(х) = д(х) = д(х). ПоэтомУ в силУ (57) !Нп У,'г =!(щ ~, » аа» аь— Пусть теперь «У») — последовательность разбиений таких, что У» ~ У»„. Тогда у Р"у *= " а-и $ Ь ИНТЕГРАЛ ЛИБЕГА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ 223 Таким образом, непрерывная функция д=д(х) интегрнруеь1а по Риману — Стилтьесу и, более того, ее интеграл совпадает (опять- таки в силу (57)) с интегралом Лебега — Стилтьеса.
Рассмотрим несколько подробнее вопрос о соотношении между интегралами Римана и Лебега в случае лебеговской меры на прямой )т. Т е о р е м а 10. Пусть д = д(х) — ограниченная функция на [а, Ь]. а) Функция у=у(х) интегрируема по Риману на [а, Ь1 тогда и только тогда, когда она непрерььвна почти всюду (относительно лоеры Лебега ) на Ю([а, Ь1)). 5) Если д=д(х) интегрируема по Риману, пю она интегрируема по Дебегу и л ь ()т) ~ д (х) Йх = (Е) ~ д (х) Х (Йх).
(60) а а Доказательство. а) Пусть функция д=д(х) интегрируема по Риману, Тогда, согласно (57), ь ь (Е) ~ д (х) ) (с(х) = (Е) )у (х) )„(т(х). а а 1!о д(х) а-д(х) ~д(х), поэтому в силу свойства Н д(х) =д(х) =д(х) ()„-п. н.), (61) откуда нетрудно вывести, что функция д(х) непрерывна почти всюд; (относительно меры ),).
Обратно, пусть функция д = д (х) непрерывна почти всюду (относительно меры ).). Тогда выполнено (61) и, следовательно, у(х) отличается от измеримой (по Борелю) функции д (х) лишь на множестве А с Х(сал ) =О. Но тогда (х: д(х) с) =(х: д(х) с) П ь4 +[х: д(х) (с) ПаЕ =(х: д(х) (с) Да4 +(х: д(х)(с) Йьг, Ясно, что множество (х; д(х) ='с) ()аФ" ~Л([а, Ь)), а множество (х; д(х) а-с) () аг является подмножеством множества ь4, имеющего лебеговскую меру )л равную нулю и, следовательно, также принадлежащего Л([а, Ь!). Тем самым д(х) тй([а, Ь!)-Измерима и как ограниченная функция интегрируел1а по Лебегу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
