1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Покажем, что функция множеств О=О(А) обладает следую>пил! важным свойством абсолютной неггрерывносп>и относительно меры Р: если Р(Л) =О, и!о 0(А)=0 (Л ~ У) л 0(Л) =М Я 1л) = ~" хАР(ЛАПА)=0. А —..1 Если же Д„)„» ! — последовательность неотрицательных простых фУнкций таких, что сл 7 5==0, то по теоРеме о монотонной (зто свойство кратко записывают в Лля доказательства достаточно тельных случайных величин. Если рицательная случайная величина н виде: О((Р). рассмотреть случай неотрицал ь= ~, 'хл!л — простая неотА=.! Р(А)=0, то 2!3 $6 иитеголл лиБГГл млтемлтичсское Ожидлги!е сходимости О(Л) =М(~ 1„) =1ппМ($„1л)=0, поскольку М($„1л) =0 для любого п--1 н А с Р(А)=0. Итак, интеграл Лебега О(А) = ~ $ йР, рассматриваемый как функция множеств Л ~,У', является мерой со знаком, абсолютно- непрерывной относительно меры Р (О((Р), Весьма замечательно, что имеет место и обратный результат.
Теорема Радона — Н икодима. Пусть ((г, У) — изл!ери,иое пространство, р — о-конечная мера и Л вЂ” л!ера со знаком (т, е. Л=-Л,— Лоо где по крайней .иере одна из мер )ч или Л, конечна), являющаяся абсолютно непрерывной относительно р. Тогда существует У -измеримая функция 1=1(ог), принимающая значения в й=-( — Оо, Оз) такая, что Л(Л) =- ~гг(!о) р(йог), А е= У'. (38) С точяость!о до мнггкеств р-меры нуль функ!1ия 1" (о!) единственна: если и =- 1! (ог) — другая У -измеримая функг1ия токая, что Л(А) = 111(ог) р(дог), Л е=.У, то р(ои 1(оэ) Ф)г(ог)) =О. л Евли Л вЂ” леРа, то 1'=1(ог) пРинииает значенин в гсо=. 10, о4. Замечание. Функция 1=1(ог) в представлении (38) называется производной Радона — Никодима или плотностью меры Л ВЛ ох относительно меры )г, и обозначается — — или — (ог).
ви Теорема Радона — Никодима, приводимая без доказательства, будет играть ключевую роль в конструкции условных математии ских ожиданий (8 7). 8. Если $= У', »,)л — простая случайная величина, то 1=-! МК6) = ~од (»Д Р (Л!) = Х д (» ) гЛЕе (»!). (39) Иначе говоря, для подсчета математического ожидания функции от (простой) случайной величины $ нет надобности знать всю вероятностную меру Р, а достаточно знать распределение вероятностей Ре или, что эквивалентно, функцию распределения Г» Случайной величины $. Следу!Оплая важная теорема обобцгает зто свойство. Т е о р е м а 7 (о замене переменных под знаком интеграла Лебега).
Пусть (1Л,,У) и (Е, о) — два измеримы» пространства и Х=Х(ог) — У'1О-измеримая функция со значениями в Е. Нусть Р— вероятностная мера на (11, У) и Р» — вероятностная мера ГЛ и. МЛТЕМЛТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ на (Е, 6), индуцируемая Х Х (о))) Рх (А) = Р (Ви Х (а)) ен А), А ен Ж. (40) Тогда для всякой Е-измеримой функции д=д(х), х~ Б ~д(х) Рх(йх) = $ д(Х(е))) Р (с(о)), А ~ 8 (41) А Х ')А) (в том смысле, что если существует один из интегралов, то определен и второй, и они совпади)от). Дока затея ьство.
Пусть множество А ен О и и(х) = 7в(х), где В ен 8. Тогда искомое соотношение (41) превращается в равенство Р . (АВ) = Р (Х-) (А) П Х-' (В)), (42) справедливость которого следует пз (40) и замечания, что Х-'(А) () П Х ' (В) = Х ' (А П В). Из (42) вытекает, что (4!) справедливо для неотрицательных простых функций о=д(х), а значит, в силу теоремы о монотонной сходимости (41) справедливо и для произвольных неотрицательных 8-измеримых функций, В общем же случае надо представить функцию д- в виде у) — о- и заметить, что, поскольку для функций д) и с равенство (41) спРавеДливо и если, напРимеР, )У)(х)Рх(йх)(ОО, то А и ~ д+ (Х (о))) Р (йо)) ( со, а значит, из существования Х- <А) ~д(х) Рх(йх) следует существование интеграла ~ а(Х(о)))Р(йо)).
А Х- )А) Следствие. Пусть (Е, 8)=()Т,,%(Р)) и $=~(о)) — случайная величина с распределением вероятностей Ре. Тогда, если д =д(х) — борелевская функция и существует любой из интегралов ~д(х) Ре(йх) или ~ дЯ(а))) Р(йо)), то А $-НА) ')у(х)Ре(йх)= ~ д($(о)))Р(йо)). А Ф-НА) В частности, при А =(г получаем, что Мд(~(е))) = ~дЯ(о))) Р(йо)) = ~у(х)Ре(йх). (43) Мера Ре однозначно восстанавливается по функции распределения Ре (теорема 1 в З 3). Поэтому интегралы Лебега )у(х) Ре(йх) часто обозначают ~д(х) Ре(йх) и называют интегралами Лебега— 21э 4 в интаггхл лпвагх математическое ожидании Стилтьеса (по мере, соответствующей функции распределения Р» (х)). Рассмотрим случай, когда функция распределения г» (х) имеет плотность 7»(х), т.
е. пусть к г»(х) = ~ )»(у) с(у, (44) где 1» =1» (х) — неотрицательная борелевская функция, а интеграл понимается как интеграл Лебега по лебеговской мере на множество ( — со, х) (см. замечание 2 в и. 1). В предположении (44) формула (43) принимает следующий вид: Мд (с (со)) = ~ д (х) 7» (х) йх, (45) где интеграл понимается как интеграл Лебега от функции д(х)7»(х) по лебеговской мере. В самом деле, если и(х)=То(х), Вен.З()с), то требуемая формула превращается в равенство Р»(В)= ~~ (х)йх, Вен,З(Р), (46) справедливость которого следует нз теоремы 1 9 3 и формулы ь г» (о) — Г» (а) = ~ )» (х) йх.
Р В общем случае доказательство то же, что и в теореме 7. 9. Рассмотрим специальный случай измеримых пространств (Й, У) с мерой р., где ()=й,хс)„У =- У, З,У„а мера р=- =- р,хр,— есть прямое произведение конечных мер р, н р, (т. е. такая мера на У, что р,хр,(АхВ)=р,(А,) р,(В), А я Ум Вен Уг', существование такой меры будет следовать из доказательства тео емы 8). Ь' риводимая далее теорема играет ту же самую роль, что и известная теорема из анализа о сведении двойного интеграла Римана к повторному. Теорема 8 (теорема Фубини). Пусть с=3(ьь,, не) является У, З У,-измерссмой функцией, интегрируемой по мере р, хр,: ( $ (оз„со,) , ,'й (р, х р,) с со.
(47) асх а, Тогда интегралы $ $(сьм со,)р,(йсь,) и ~ В(оэ„о,)р,(йсое) а, й, Есе ГЛ Н МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1) определены для всех а, и в,; 2) являются Уе- и У,-измеримыми функ!(иями, соответственно, р (вес ~ !Е(св„ве) ! р,(с(в!)=сю)=0, а, р, (в,: ~ ~$(в, в )!р (дв,)=со)=0 (48) и 3) ь (о1~ вс) д (11! Хре) ~ ~ ь (во вс) 112 (две)~р! (дв1)— а,ха, а~~ а, = ~ 1) $(в„со,)р!(двс)~рч(с(ве). (49) а,,'а, Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем прежде всего, что для любого фиксированного в, ее (с! функция с„ь (в,) = Е (в„в,) является .У,-измеримой по в, Пусть У ен У', З У, и с(в,, ое) =1е(в„в,). Обозначим У„,', = сос е= й.,: (в,, ве) ~У) — сечение множества У в точке в„и пусть е',= (Г~ У: Р„, ЕН,У,).
Надо показать, что для любого а, й'„, =,У. Если У=АхВ, А ее Ä ~,У'а то (В, если в ЕЛА, (АХВ)н,=~ ~ ф, если в! Еф А. Поэтому прямоугольники с измеримыми сторонами принадле- жат в „,. Далее, если У ЕН,У, то (Г)щ —— У';, а если (У")„> ! — мно- жества из .У, то (() сч')ни = () У",. Отсюда следует, что Ын,= У. Пусть теперь $(вс, а.,) )О. Тогда, поскольку для каждого о, функция е (в„в,) является .У,-измеримой, то определен интег- рал ~ ь (вс, ве) ре (дое).
Покажем, что этот интеграл является а, У,-измеримой функцией и ~ ~~ 1(в„в,)Р,(двс)|Р,(дв!)= ~ $(0)„ве)д(Р,ХР,). (50) а [01 1 а,ха. Предположим, что $ (о„в,) = 1л х а (о„в,), А я У „В я У;. Тогда, носко.!ьку 1лха(св„све) =1А(в,) 1в(01„), то $ 1лхв(в! ве)ре(два)=1А(в!) $ 1в(ве)рс(дае) (51) а, ау и, следовательно, интеграл в левой части (51) является,У',-изме- римой функцией. Пусть теперь 3(в„ 01,) = 1е(в„ ве), У ен У =,У, З,У,. Пока- жем, что интеграл )(ас) = ~ 1Р(в„ве)р,(дв,) является,У-изме- З 6 ИНТЕГРАЛ ЛИБЕГА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ 217 римым.
С этой целью обозначим В'=(Р ее Р: 7'(ат1) —,У,-изме- рима). Согласно доказанному множества Ах В принадлежат и (А ее,У'„В ен Р2), а значит, и алгебра а Г, образованная из конечных сумм йепересекающихся множеств такого вида, также принадлежит Й'. Из теоремы о монотонной сходимости следует, что система и является монотонным классом, е =)А(ь). Поэтому в силу включений а К: — В'2: —.2' и теоремы 1 из З 2,У'=о(а Р') = = р(а К) 2: — р(й') = и 2= У, т.
е. 2'= У. Наконец, если $(22„222) — произвольная неотрицательная,У- измеримая функция, то У;-измеримость интеграла ~ $(22„122)х хр2(2(222) следует из теоремы о монотонной сходимости и тео- ремы 2 ~ 4. Покажем сейчас, что мера )2=)21Х)22, определенная на У == =-,У, З УГ2 и обладающая свойством )21хр,(АхВ) =р,(А) р2(В), А ~ 1 'м В еи У'„действительно существует и единственная. Положим для Р ен,У' )2 (Р) ~ ~ ~Р21 (Та2) р2 (2(222)~)21 (2( 1)' о~1 о Как было показано, внутренний интеграл является,У1-измери- мой функцией и, следовательно, функция множеств р(Р) действи- тельно определена для Реи У.
Ясно, что если Р=АхВ, то р (А х В) = р, (А) р, (В). Пусть теперь (Р2) — непересекающиеся множества в,Р. Тогда р(ХР")= ~ ~~ 7(„.)„,( )(12(2(ы2)1( (( )= = ~ У~~ Т,. (212)(12(2(12,)]р (2( )= =.'У' ~ Ц 7„. (ыа) р Ф )1р (2( ) = У') (Р") т. е. )2 является мерой (о-конечной) на ,У. Из теоремы Каратеодори следует, что эта мера р является единственной мерой со свойством р (Ах В) = )21(А) ра(В). Установим теперь формулу (50). Если $ (221, <о2) =1Аха(22„222), А ее,У„В я,У;, то ТАха(221, (2)2((р хр )=р1Хр2(АХВ), (52) о,хо, и так как ТА в(ы„ыз) =1А(221) 7в(222), то 7А х В (021 222) )22 (2(222)1 )21 (2(221) = ~ ~ IА (121) ) 1'в (221~ 222) )22 (2(212)~ р1(2(121) =)11(А) )22(В). (53) з1а гл и мгтематичвскив основлния твоеии вваоятностеи Но по определению меры Р,хР, Р, х Р, (А х В) = Р, (А) Р, (В), Поэтому из (52) и (53) следует справедливость (50) для $ (2»„2»2) = = Тл х в (2»1 2»г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
