1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 35
Текст из файла (страница 35)
5 «интегелл лпвеГА матеыктическос о>кидкнив зо) А. Зля простых случайных величин утверждение очевидно. Пусть Е=.=-О, $„) Е, где ń— простые случайные величины, и с=-О. Тогда сЕ„'( сЕ н, значит, М(с',) =1!шМ(сЕ„) =с!пиМЕ„=сМЕ. « и В общем случае надо рассмотреть представление Е=$« — Е- н заметить, что для с-.=О, (сЕ) =-сЕ', (с«ь)-=-сЕ-, а для с 0 (с")"=— =- — сЕ-, (сЕ)- = — сЕ'. В. Если 0»Е.-гь то М«и Мг) определсны и неравенство МЕ» Мг) сразу следует из формулы (6). Пусть теперь МЕ) — со, тогда МЕ-«со. Если Е: гь то Е+== >1' и «---=т)-, Поэтому МйМ- <оо, следовательно, М>) определено и М»=МЕ" — МЕ- = .==.
М!)' — Мн- = М>1. Аналогичным образом рассматривается случай, когда Мт) ( оо. С. Поскольку — 1Е' ,«>Е.= '",!, то из свойств А и  — М ( Е ) - МЕ ==.= М , 'Е,', т. е. ! МЕ ' .= М, Е (. Е). Следует из В и того, что (Е!л)" = Е")л» Е, (Е!л)- = Е-Тл -= ",—. Е.
Пусть «г»0, т)=-О и пусть >!Е„', и (г)„) — последовательности простых функций таких, что Е. Т Е, т)„Т гь Тогда М(Е„+т)„) =- = — - М««+Мт)„и М(Е„+Ч„) т М(Е+т)), М:", Т М$, Мг)„Ф Мг) и, зиачнг, М($-)->))=М,"+Мг). Случай, когда М($!«сю, М(т)1(со, сводится к рассмотренному, если воспользоваться тем, чзо =-е' —" ч=-н' — ч-, е'»1$~, Е-»!5! >1'-=)>1!, >1»101. Следующая группа утверждений о>носительно математических ожиданий связана с понятием «Р-почти наверное». Будем говоргпь, что некоторое свойство в»к!о»кено «Р-почни наверное», если с!)и(сспгвс)егп лгножеспгво «е ен,у с Р(; Ф") =0 такое, что это свойсгпво выполнено для киждой точки в> с»)',в>!".
В моего слов «Р-почтн наверное» часто говорят «Р-почти всюду» или просто «почти каверна«» (и. и.), «почти всюду» (и. в.). Г. Если»»=0 (п. н.), то МЕ=О. В самом деле, если Š— простая случайная величина, Е = х'х«7л, (в>) и х» ~ О, то по условию Р (А») = О, а значит, МЕ=О. Если же Е~О н О.«=.э =.Е, где э — простая случайная величина, то .,=0 (п. н.), а следовательно, Ма=О и Мз = зцр Мэ = О.
Общий случай сводится к рассмотренгокэ: ! «Е) номУ обычнь м переходом к представлению Е = Е+ — Е с учетом того, что Е+»,'Е!, Е--»(Е( и (Е(=0 (п. н.). л. Если Еу= т) (и, н.) и М ( Е)» ск>, то М ( «1 !» со и М' = Мг) (см. также задачу 3). 202 ГЛ [1 М1ТСЛ1ЯТИЧГСКИЕ ОСИОВ1ШИ ТСОРИИ ВСРОЯТНОСТСП В самом деле, пусть вг =(ы: ",~п), Тогда Р (Рг ) =0 и Е= ='11.+Е! г 0=11! „+01-л =11! +"! — „. По свойствам Е и Г М==М-! .-(-Мг! -„=-Мэ! „=Мц! —., Но Мй! .=О, поэтому по свойству Е М'=.—.Мц! я+Ми! „=Мгр Н.
П) с1ь Е-.— и 0 п У."-=О. Тогда Е=О (п. н.). Для доказательства обозначим А =(св: Е (1в)» О), Ап=(м: $(11) ="- »11п',. Ясно, что Ап1А и 0==-Е !я»Е 1„, Поэтому по свой- и ству В О=-.М:-!я»М1;-=О, Следовательно, О=МЕ1, =-'-Р(Ап) и, значит, Р(Лп) = 0 для всех и = 1, Но Р (А) =1пп Р (А,) и, сле- довательно, Р (А) = О, 1. П)сть Е и 11 таковы, что М 'Е' » =О, М ~ П ~'» ОО и дтя всех Л ~ К М(Е!я) и М (П!я), ТОГда С=-= ц (П, Н.). В самом деле, пусть В=(вя Е(ы)»1)(ой). Тогда М(т)!я):== ~ М (Е!в) ~ М (т)!11) и, значит, М (с!в) = М (т)!в). В силу свой- с-ва Е М((Š— П)!в)=0 и по свойству Н (Š— П)!в=О (п, н.), откуда Р (В) = О.
Л. Пусть Р— расширенная случайная величина и М'Е'»ОО. Тогда ~ !»ОО (п. н.). Действительно, пусть Л = )ь1: 1Е(1в), =О:1 и Р(Л)»0. Тогда М'Е')М( Е(!в)=со Р(А)=ж, что пРоти- воречит предположенио М, Е»ОО. (См. также задачу 4.) 3. В этом пункте будут рассмотрены основные теоремы о пре- дельном переходе под знаком математичсского ожидания (шпе- грала Лебега). Теорема 1 (о монотонной сходимосп1). Пусп1ь гь Е, Е,, Е,, ...— случайные всвпчяяы, а) Если Е„- П для всех и ==:1, Мт)» — ОО и Е„) х~, гпв Мс„) МЕ. Ь) Если Е,(11 для всех и 1, Мт)»ОО и х~„.) Е, гпо МЕп ~ МЕ. Д о к а з а т е л ь с т в о.
а) Предположим сначала, что 11 - О. ПУсть длЯ каждого !1=-1 (Е~л ~п~ 1 — последовательность пРостых функкий таких, что Ел"~ 1 Еы и - со. Обозначим Г1 "1 = гпах Е~"'. 1(1: и Тогда гпах '=1„п1 «: шах кв = Еп. 1(П(п 1(Ф(п Пусть К=1ппк1п~. Поскольку для 1 (!т~ и и Е1п) --~пЫ=Е ф 6 питггг[ч лпвсгл митемлт[[чвскос ожидлнив 2ОЗ то, переходя к пределу при и — нсо, получим, что для любого я==1 кь-=1==3, а значит, Е = ь. Случайные геличниы „"'"! простые и ~['[ 1 г. Поэтому Мв = Мь = 1! пт М " (! 1п[ Мь,.
С другой стороны, очевидно, что, псскольку $,= ь. [==3, то 1[!и Мс. == Мь Тем самьпл !1п[Мс„=-МЛ.. Пус1ь теперы) — произвольная случайная зслнчпна с Мт!) — со. Если М[! = со, то в силу В М$„= М$ = оо и утверждение доказано, Пусть М[) ( сс. Тогда вместе с условием М[) ) — со ПОЛуЧаЕМ, ЧтО М[,т!', -'ОО. ЯСНО, ЧтО 0~$ь — т1Л[$ — [) дпя ВСЕХ ь[ 1?. Поэтому, согласно доказанному, М ($„— [!) у М ($ — Ч) и, значит, (по свойсгву Е и задаче 2) М;„-Мп ( М~-М !.
Но М,' [) ! - оэ, поэтому М'-„1 Мс, [[-~ "с[. Доказательство утверждения Ь) следует из а), если змее~о исходных величин рассмотреть величины со знаком минус. Следствие. Пусть ([1„)„! — последовательность неотрппательных случайных величин. Тогда МХч,[М! ь== ! л=- ! Доказательство следует из свойства Е (см. также задачу (2) теоремы о монотонной сходимости и того замечания, что ~х~ [1„( ь =- 1 ( 'У', т)„, й — о. а=- ! Теорема 2 (лемма Фату), Пдсо[ь [1, с„сч, ...-случа[1нь[е величинь!. а) Если $„- т! для всех л'= 1 и Мц) — оо, то М!пп $„=" 1!п[ Мч„.
Ь) Если ч„~[) для всех п)1 и М[) (со, то 1!го М$„( М !пп $„. с) Если ! с„(~т! для всех и~1 и М[) (со, то М1!![п $„( !!п[ М$„-=1ип Мч, ( М!пп с„. 204 ГЛ П МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОЕАНПЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕП Доказательство. а) Пусть ь„= 1п1 е, тогда ы>л 1пп $„=!пп 1п1 ~,„=1пп~,. л слЪл Ясно, что с„7'!'пппб„и с".„- т! для всех л)1. Тогда из теоремы 1 М Ип!е„= М!пп ь„=1ппМс„=!пп Мс„ч-.1пп Мс„, что и доказывает утверждение а). Второе утверждение следует нз первого. Третье — есть следствие первых двух. Теорема 3 (Лебега о мажорируемой сходимости). Пусть т), $, Е„ф», ...— случайные величины такие, что )$„)-.='т), Мт!(Оо и с„-+ Б (и, н.).
Тогда М ! $ (( со, Ме»„- М$ (8) (9) М(е„— е! — »О при 6-»" Оо, До к а з а т ел ь от в о. В силу леммы Фату справедлива формула (7). По предположению И!и Е,=Инте„=$ (и. И.). Поэтому по свойству б М!пп $„= Игп Мел =1пп М5„=- М !Ип ел = Ме, что и доказывает (8). Ясно также, что)$!«=т).
Поэтому М'с!(Оо. Утверждение (9) доказывается так же,,если только заметить, что !с„— 5! . 24!. Следствие. Пусть т), $, $„...— случайные величины такие, что !$„! ~ т), $„ - с (и. и.) и Мт!Р ( ОО для некоторого р: О. Тогда М ! Е !Р - Оо и М ! С вЂ” $„)Р— О, и — со. Для доказательства достаточно заметить, что ! $ ! == Т), $ — 5„!Р-- =-.- (! ~(+ ! ~„!)л= (29)е. Условие с<,'$„/(т), Мт) (сс», входящее в лемму Фату, теорсму о мажорируемой сходимости и обеспечивающее выполнение формул (7) — (9), можно несколько ослабить.
Для формулировки соответствующего рез)льтата (теорема 4) введем Оп р еде л е н и е 4. Семейство случайных величин (ел)л ~ ! называется равномерно интегрируелтьсм, если енр ~ (Е!Р(с(сл)- О, с- со, (10,) (! тл ! ) с) пли (в других обозначениях) енрМ[!$„1!71,4 !~с!1- О, с- со. е е иптсгелл лпеегл млтсмлтпческое ожпдлппе 2ОЬ М"„- Мй, п- со, М, с„— ~(-+О, и-+-со. Доказательство. а) Для всякого с)0 М"„= М ~йл~(;„<,) ~+ М ~$.У(1„) с)~, В силу равномерной интегрируемости для всякого е ) 0 можно с выбрать столь большим, что (12) (13) епр, М (ч ~~(е„<-.) ~, ( е. В силу леммы Фату !ппМР"~(е.~-,)! М(1)шЬ„)(, - 4, Но й„((е ~,) =.-с„, поэтому !пп М~3,Е(; ~,)]= М~1!ш $„~. Из (12) — (14) находим, что 1пп Ма„=.- М ~1~в Ц вЂ” е. (!4) В силУ пРоизвольности е - 0 отсюда слелУет, что !пп Мье„- :--- М! пп $„.
Аналогично доказывается неравенство с верхними пределами. Утверждение Ь) вытекает из а) так же, как и в теореме 3. Аналогичным образом доказывается, что !пи М$„» М)пп е,. Что же касается утверждений Ь), то они доказываются так же, как соответствующие утверждения в теореме 3. Наиболее полно значение понятия равномерной интегрнруем~сти раскрывается в следующей теореме, дающей необходимое и достаточное условие для предельного перехода под знаком математического ожидания.
Теорема 5 Пусть 0»$ — $ и М$„(со Тогда Ме„— ~- ~ Мь ( со тогда и только тогда, когда семейство случайных величин д„)„~1 равномерно интегрируемо. Ясно, что если случайные величины с„, и~1, таковы, что )й„!»т1, Мп(со, то семейство Д„)„~ ~ будет равномерно интегрируемым.
Теорема 4. Пусть (с„),~ ~ — семейство равномерно интегрируемых случайньлх величин. а) Тогда М! пп е„=-.)пп М:„»! пп Мев„» М! пп с„. Ь) Если к тому вее 1„- $ (и, н.), пгогда случайная величина $ интегрирцема и воз гл. и. млтвмлтичвскиа основлния твоеии ввеоятностви Доказательство. Достаточность следует из утверждения Ь) теоремы 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
